推理證明解題技巧范文第1篇
班級________座號_________姓名__________
1、已知數列{an}中，a1=1，當n≥2時，an=2an-1+1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的一個表達式是()
A.n2-1B.(n-1)2+1C.2n-1D.2n1+1 -
2.用反證法證明命題“若整系數一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理數根，則a，b，c中至少有一個偶數”時，下列假設正確的是().
A.假設a，b，c都是偶數B.假設a，b，c都不是偶數
C.假設a，b，c至多有一個是偶數D.假設a，b，c至多有兩個偶數
3.用數學歸納法證明n(n+1)(2n+1)能被6整除時，由歸納假設推證n=k+1時命題成立，需將n=k+1時的原式表示成()
A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)
C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不對
4.已知f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2,則f(1)+f(2)+„+f(n)不能等于()
(A)f(1)+2f(1)+„+nf(1)(B)f?n(n?1)?n(n?1)?f?1? ?(C)n(n+1)(D) 2?2?
225.設a,b是兩個實數,給出下列條件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a+b>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是()
(A)僅②③(B)①②③(C)僅③(D)③④⑤
6.f(n)?1?111???? (n∈N*),經計算得23n
357f(2)?,f(4)?2,f(8)?,f(16)?3,f(32)?,推測當n≥2時,22
2有.
7.如圖所示是按照一定規律畫出的一列“樹型”圖,設第n個圖有an個“樹枝”,則an+1與an(n≥2)之間的關系是
.
8. 在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1:
若兩個正四面體的棱長比為1:，則它們的面積比為1:類似地，在空間中，，則它們的體積比為________.
9. 設p=2x4+1，q=2x3+x2，x∈R，則p與q的大小關系是________.
10. 用反證法證明命題“如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，證明的第一個步驟是________.
11. 用數學歸納法證明關于n的恒等式時，當n=k時，表達式為1×4+2×7+„+k(3k+
1)=k(k+1)2，則當n=k+1時，待證表達式應為________.
12.在含有3件次品的10件產品中，取出n(n?10,n?N*)件產品，
記?n表示取出的次品數，算得如下一組期望值E?n：
0110C3C7C3C3當n=1時， E?1?0?1?1?17?; C10C1010
02110C3C7C3C7C32C76當n=2時， E?2?0?; ?1??2??222C10C10C1010
0312130C3C7C3C7C32C7C3C79當n=3時， E?3?0?; ?1??2??3??3333C10C10C10C1010
„„
觀察以上結果，可以推測：若在含有M件次品的N件產品中，取出
*n(n?N,n?N)件產品，記ξn表示取出的次品數，則Eξn
13.已知數列?an?滿足：a1?0，an?1?
(Ⅰ)計算a2,a3,a4的值; 1?an(n?N*) 3?an
(Ⅱ)由(Ⅰ)的結果猜想?an?的通項公式，并用數學歸納法證明你的結論.
14. 已知f(x)=x2+px+q.
(1)求證：f(1)-2f(2)+f(3)=2;
1(2)用反證法證明：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|. 2
15.觀察下列不等式1?131151117?1???1??2?2?， ，，22222223323441?11119?2?2?2? 223455
(1)請歸納當n?2時，符合上述規律的一個不等式;
推理證明解題技巧范文第2篇
高二文科數學期末復習---推理與證明
一.1.
二.1. 觀察下列數:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,„中x,y,z的值依次是 ()
(A)42,41,123;(B) 13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,27,123.
2.類比平面內正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可推出正四面體的下列哪些性
質，你認為比較恰當的是()
①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等;②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等;③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等
A.①; B.①②; C.①②③; D.③。
3. 由①正方形的對角線相等;②平行四邊形的對角線相等;③正方形是平行四邊形，根據
“三段論”推理出一個結論，則這個結論是()
(A) 正方形的對角線相等(B) 平行四邊形的對角線相等(C) 正方形是平行四邊形(D)其它
4. 下列表述正確的是()
①歸納推理是由部分到整體的推理;②歸納推理是由一般到一般的推理;③演繹推理是由一般到特殊的推理;④類比推理是由特殊到一般的推理;⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤
5. 用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是()
(A)假設三內角都不大于60度;(B) 假設三內角都大于60度;
(C) 假設三內角至多有一個大于60度;(D) 假設三內角至多有兩個大于60度。
三.典型例題：
例1 、在必修⑤里面我們曾經學習了基本不等式：當a?0,b?0時,有
且還知道此結論對三個正數、四個正數均成立，即 a?b?ab成立,并
2當a,b,c?0時,有a?b?ca?b?c?d?abc成立當a,b,c,d?0時,有?abcd成立 3
4猜想，當a1,a2,?,an?0時，有怎樣的不等式成立?
例
2、用適當方法證明：已知：a?0,b?0，求證：
例
3、求證：
(1)a2?b2?3?aba?b);(2) 6+>22+5。
例
4、用反證法證明：2,3,5不能為同一等差數列的三項.例
5、已知數列{an}滿足Sn+an=2n+1,(1) 求出a1, a2, a3的值;
(2) 推測an的表達式并證明。
例
6、已知數列?an?的前n項和為Sn，且a1?1,Sn?n2an(n?N)，
(1)試計算S1,S2,S3,S4，并猜想Sn的表達式;
(2) 證明你的猜想，并求出an的表達式。
例
7、已知：空間四邊形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，判斷直線EF與平面ABD的
關系，并證明你的結論.ab??a? ba
鞏固練習：
1、設a,b,c大于0，則3個數：a?111，b?，c?的值() bca
A、都大于2B、至少有一個不大于2C、都小于2D、至少有一個不小于
22、已知f(x?1)?2f(x)(x?N*),f(1)?1 ，猜想f(x)的表達式為()f(x)?
24212A.f(x)?xB.f(x)?C.f(x)?D.f(x)? 2?2x?1x?12x?
13、下列推理正確的是()
(A) 把a(b?c) 與 loga(x?y) 類比，則有：loga(x?y)?logax?logay .
(B) 把a(b?c) 與 sin(x?y) 類比，則有：sin(x?y)?sinx?siny.
(C) 把(ab) 與 (a?b) 類比，則有：(x?y)?x?y.
(D) 把(a?b)?c 與 (xy)z 類比，則有：(xy)z?x(yz).
4、把下面在平面內成立的結論類比地推廣到空間，結論還正確的是()
(A) 如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則比與另一條相交 .
(B) 如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則比與另一條垂直.
(C) 如果兩條直線同時與第三條直線相交，則這兩條直線相交.
(D) 如果兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行. nnnnn
353,1 , ,,„„歸納出通項公式an =____。288
16、數列{an}中，a1?，an?1?3an?0，則an的通項公式為。
25、由數列的前四項:
7、有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數” 結論顯然是錯誤的，是因為_______________
8、在十進制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進制中數碼2004折合成
十進制為_______________
9、圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥
物“福娃迎迎”，按同樣的方式構造圖形，設第n個圖形包含f(n)個“福娃迎迎”，則012
3f(5)?f(n)?f(n?1)?(答案用數字或n的解析式表示)
10、設f(x)?
12?2x，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得
f(?5)?f(?4)?????f(0)?????f(5)?f(6)的值是________________
11、平面內的1條直線把平面分成兩部分，2條直線把平面分成4部分，3條相交直線但不
共點的直線把平面分成7部分， n條彼此相交而無3條直線共點的直線把平面分成____部分。
12、若數列{an}，(n∈N)是等差數列,則有數列bn=
列，類比上述性質，相應地：若數列{C
dn=____________ (n∈N)也是等比數列。
13、從1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),„,推廣到第n個等式為
_________________________.14、數列{an}的前n項和為Sn，已知a1?1,an?1?
證明：(Ⅰ)數列{
15、在數列{an}中，a1?1,
16、觀察(1)tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1;
推理證明解題技巧范文第3篇
一、選擇題
1.如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規律往下排起來，那么第36顆珠子()
A.是白色的B.是黑色的
C.是白色的可能性大D.是黑色的可能性大
A
2.由直線與圓相切時，圓心與切點連線與直線垂直，想到平面與球相切時，球心與切點連線與平面垂直，用的是()
A.歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.特殊推理
C
3.用演繹法證明函數y?x是增函數時的大前提是()
A.增函數的定義B.函數y?x滿足增函數的定義
D.若x1?x2，則f(x1)?f(x2) 33C.若x1?x2，則f(x1)?f(x2)
A
sinB?cosA?cosB，則該三角形是() 4.△ABC中，若sinA?
A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.以上都不可能 B
5.已知直線a，b是異面直線，直線c∥a，那么c與b的位置關系()
A.一定是異面直線B.一定是相交直線
C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線
C
6.在等差數列?an?中，若an?0，公差d?0，則有a4?a6?a3?a7，類比上述性質，在等比數列?bn?中，若bn?0，q?1，則b4，b5，b7，b8的一個不等關系是()
A.b4?b8?b5?b7
C.b4?b7?b5?b8
A
二、填空題
7.若△ABC內切圓半徑為r，三邊長為a，b，c，則△ABC的面積S?B.b5?b7?b4?b8 D.b4?b5?b7?b8 1r(a?b?c)，根
2據類比思想，若四面體內切球半徑為R，四個面的面積為S1，S2，S3，S4，則四面體的體積為.
1R(S1?S2?S3?
S4)
38.求證：一個三角形中，至少有一個內角不小于60?，用反證法證明時的假設為.三角形的三個內角都小于60?
9.m克糖水中有n克糖(m?n?0)，若再添加t克糖(t?0)，則糖水變甜了，試根據這一事實得出一個不等式.
nn?t ?mm?t
10
寫出該數列的一個通項公式an???，.
n?N*)
1
1.設a?
，b?
c?，則a，b，c的大小關系是. a?c?b
12.半徑為r的圓的面積S(r)??r，周長C(r)?2?r，r看作(0，??)上的變量，則2
(?r2)??2?r.①
①式可用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數.
對于半徑為R的球，若將R看作(0，??)上的變量，請你寫出類似于①的式子：
②式可用語言敘述為：.
?43??2; ?R?4?R???3?
球的體積函數的導數等于球的表面積函數
三、解答題
13.數列?an?中，a1?2，an?1?
表達式. an，n?N*，依次計算a2，a3，a4，并歸納猜想an的3an?1
a2?2222，a3?，a4?.猜想an?. 713196n?5
14.當一個圓與一個正方形的周長相等時，這個圓的面積比正方形的面積大.將此結論由平面類比例到空間時，你能夠得出什么樣的結論，并證明你的結論.
由平面類比到空間可得如下結論：當一個球與一個正方體的表面積相等時，這個球的體積比正方體的體積大.
證明略.
15.已知a，b，c?(0，1)，求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a不能同時大于1. 4
推理證明解題技巧范文第4篇
推理與證明
第三十二講
推理與證明
2019年
1.(2019全國II文5)在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測.
甲：我的成績比乙高.
乙：丙的成績比我和甲的都高.
丙：我的成績比乙高.
成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為
A.甲、乙、丙
B.乙、甲、丙
C.丙、乙、甲
D.甲、丙、乙
2010-2018年
一、選擇題
1.(2018浙江)已知，，，成等比數列，且.若，則
A.，
B.，
C.，
D.，
2.(2018北京)設集合則
A.對任意實數，
B.對任意實數，
C.當且僅當時，
D.當且僅當時，
3.(2017新課標Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據以上信息，則
A.乙可以知道兩人的成績
B.丁可以知道四人的成績
C.乙、丁可以知道對方的成績
D.乙、丁可以知道自己的成績
4.(2016年浙江)如圖，點列分別在某銳角的兩邊上，
且，.
(P≠Q表示點P與Q不重合)，若，為的面積，則
A.是等差數列
B.是等差數列
C.是等差數列
D.是等差數列
5.(2014北京)學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為“優秀”“合格”“不合格”三種.若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”，如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩個學生，那么這組學生最多有
A.人
B.人
C.人
D.人
6.(2014山東)用反證法證明命題“設為實數，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是
A.方程沒有實根
B.方程至多有一個實根
C.方程至多有兩個實根
D.方程恰好有兩個實根
7.(2011江西)觀察下列各式:
，，，，則的末四位數字為
A.3125
B.5625
C.0625
D.8125
8.(2010山東)觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數滿足，記為的導函數，則=
A.
B.
C.
D.
二、填空題
9.(2018江蘇)已知集合，.將的所有元素從小到大依次排列構成一個數列.記為數列的前項和，則使得成立的的最小值為
.
10.(2017北京)某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：
(ⅰ)男學生人數多于女學生人數;
(ⅱ)女學生人數多于教師人數;
(ⅲ)教師人數的兩倍多于男學生人數.
①若教師人數為4，則女學生人數的最大值為__________.
②該小組人數的最小值為__________.
11.(2016年山東)觀察下列等式：
;
;
;
;
……
照此規律，_______.
12.(2016年四川)在平面直角坐標系中，當不是原點時，定義的“伴隨點”為，當是原點時，定義的“伴隨點”為它自身，現有下列命題：
①若點的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點;
②單元圓上的點的“伴隨點”仍在單位圓上;
③若兩點關于軸對稱，則它們的“伴隨點”關于軸對稱;
④若三點在同一條直線上，則它們的“伴隨點”一定共線;
其中的真命題是
.
13.(2016年全國II卷)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.
甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是________________.
14.(2015陜西)觀察下列等式：
1-
1-
1-
……
據此規律，第個等式可為______________________.
15.(2014安徽)如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，過點作的垂線，垂足為;過點
作的垂線，垂足為;過點作的垂線，垂足為;…，依此類推，設，，，…，，則_____.
16.(2014福建)若集合且下列四個關系：①;②;③;④有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組的個數是____.
17.(2014北京)顧客請一位工藝師把、兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任務，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間(單位：工作日)如下：
工序
時間
原料
粗加工
精加工
原料
原料
則最短交貨期為
個工作日.
18.(2014陜西)已知，若，則的表達式為________.
19.(2014陜西)觀察分析下表中的數據：
多面體
面數()
頂點數()
棱數()
三棱錐
5
6
9
五棱錐
6
6
10
立方體
6
8
12
猜想一般凸多面體中，所滿足的等式是_________.
20.(2013陜西)觀察下列等式:
…
照此規律,
第n個等式可為
.
21.(2013湖北)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數。如三角形數1，3，6，10，…，第個三角形數為。記第個邊形數為，以下列出了部分邊形數中第個數的表達式：
三角形數
正方形數
五邊形數
六邊形數
……
可以推測的表達式，由此計算
。
22.(2012陜西)觀察下列不等式
，
，
……
照此規律，第五個不等式為
.
23.(2012湖南)設，將個數依次放入編號為1,2，…，的個位置，得到排列.將該排列中分別位于奇數與偶數位置的數取出，并按原順序依次放入對應的前和后個位置，得到排列，將此操作稱為C變換，將分成兩段，每段個數，并對每段作C變換，得到;當時，將分成段，每段個數，并對每段C變換，得到，例如，當=8時，，此時位于中的第4個位置.
(1)當=16時，位于中的第___個位置;
(2)當()時，位于中的第___個位置.
24.(2011陜西)觀察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此規律，第個等式為
.
25.(2010浙江)設，
將的最小值記為，
則，其中=_______.
26.(2010福建)觀察下列等式：K^S*5U.C#O
①
cos2=21;
②
cos4=88+
1;
③
cos6=3248+
181;
④
cos8=128256+
16032+
1;
⑤
cos10=1280+
1120++1.
可以推測，=
.
三、解答題
27.(2018江蘇)設，對1，2，···，n的一個排列，如果當時，有，則稱是排列的一個逆序，排列的所有逆序的總個數稱為其逆序數.例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列231的逆序數為2.記為1，2，···，n的所有排列中逆序數為的全部排列的個數.
(1)求的值;
(2)求的表達式(用表示).
28*.(2017江蘇)對于給定的正整數，若數列滿足
對任意正整數總成立，則稱數列是“數列”.
(1)證明：等差數列是“數列”;
(2)若數列既是“數列”，又是“數列”，證明：是等差數列.
29*.(2017浙江)已知數列滿足：，.
證明：當時
(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ).
*根據親們所在地區選作，新課標地區(文科)不要求.
專題十二
推理與證明
第三十二講
推理與證明
答案部分
2019年
1.解析：由題意，可把三人的預測簡寫如下：
甲：甲乙.
乙：丙乙且丙甲.
丙：丙乙.
因為只有一個人預測正確，
如果乙預測正確，則丙預測正確，不符合題意.
如果丙預測正確，假設甲、乙預測不正確，
則有丙乙，乙甲，
因為乙預測不正確，而丙乙正確，所以只有丙甲不正確，
所以甲丙，這與丙乙，乙甲矛盾.不符合題意.
所以只有甲預測正確，乙、丙預測不正確，
甲乙，乙丙.
故選A.
2010-2018年
1.B【解析】解法一
因為()，所以
，所以，又，所以等比數列的公比.
若，則，
而，所以，
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B.
解法二
因為，，
所以，則，
又，所以等比數列的公比.
若，則，
而，所以
與矛盾，
所以，所以，，
所以，，故選B.
2.D【解析】解法一
點在直線上，表示過定點，斜率為的直線，當時，表示過定點，斜率為的直線，不等式表示的區域包含原點，不等式表示的區域不包含原點.直線與直線互相垂直，顯然當直線的斜率時，不等式表示的區域不包含點，故排除A;點與點連線的斜率為，當，即時，表示的區域包含點，此時表示的區域也包含點，故排除B;當直線的斜率，即時，表示的區域不包含點，故排除C，故選D.
解法二
若，則，解得，所以當且僅當時，.故選D.
3.D【解析】由甲的說法可知乙、丙一人優秀一人良好，則甲、丁一人優秀一人良好，乙看到丙的結果則知道自己的結果，丁看到甲的結果則知道自己的結果，故選D.
4.A【解析】表示點到對面直線的距離(設為)乘以長度一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那么我們需要知道的關系式，過作垂直得到初始距離，那么和兩個垂足構成了等腰梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么
，，作差后：，都為定值，所以為定值.故選A.
5.B【解析】學生甲比學生乙成績好，即學生甲兩門成績中一門高過學生乙，另一門不低于學生乙，一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且沒有相同的成績，則存在的情況是，最多有3人，其中一個語文最好，數學最差;另一個語文最差，數學最好;第三個人成績均為中等.故選B.
6.A【解析】“至少有一個實根”的反面為“沒有實根”，故選A.
7.D【解析】∵，，，，，，，∴(,且)的末四位數字呈周期性變化，且最小正周期為4，記(,且)的末四位數字為，
則，∴與的末位數字相同，均為8
125，選D.
8.D【解析】由給出的例子可以歸納推理得出：若函數是偶函數，則它的導函數是奇函數，因為定義在上的函數滿足，即函數是偶函數，所以它的導函數是奇函數，即有=，故選D。
9.27【解析】所有的正奇數和()按照從小到大的順序排列構成，在數列
中，前面有16個正奇數，即，.當時，，不符合題意;當時，，不符合題意;當時，，不符合題意;當時，，不符合題意;……;當時，=
441
+62=
503<，不符合題意;當時，=484
+62=546>=540，符合題意.故使得成立的的最小值為27.
10.6
12【解析】設男生數，女生數，教師數為，則
①，所以，
②當時，，，，，不存在，不符合題意;
當時，，，，，不存在，不符合題意;
當時，，此時，，滿足題意.
所以.
11.【解析】通過歸納可得結果為.
12.②③【解析】對于①，令，則其“伴隨點”為，而的“伴隨點”為，而不是，故錯誤;對于②設是單位圓上的點，其“伴隨點”為，則有，
所以，所以②正確;對于③設
的“伴隨點”為，的“伴隨點”
為，易知與關于軸對稱，所以③正確;對于④，設原直線的解析式為，其中不同時為0，且為該直線上一點，的“伴隨點”為，其中都不是原點，且，則，，
將代入原直線方程，得，
則，由于的值不確定，所以“伴隨點”不一定共線，所以④錯誤.
13.1和3【解析】為方便說明，不妨將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A，B，C從丙出發，由于丙的卡片上的數字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪一張，均含有數字1，再由乙與丙的卡片上相同的數字不是1可知，乙所拿的
卡片必然是C，最后由甲與乙的卡片上相同的數字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時丙所拿的卡片為A.
14..
【解析】觀察等式知：第n個等式的左邊有個數相加減，奇數項為正，偶數項為負，且分子為1，分母是1到的連續正整數，等式的右邊是.
15.【解析】解法一
直接遞推歸納;等腰直角三角形中，斜邊，所以，，，.
解法二
求通向：等腰直角三角形中，斜邊，
所以，，
，故=
16.6【解析】因為①正確，②也正確，所以只有①正確是不可能的;若只有②正確，①③④都不正確，則符合條件的有序數組為，;若只有③正確，①②④都不正確，則符合條件的有序數組為;若只有④正確，①②③都不正確，則符合條件的有序數組為，，.綜上符合條件的有序數組的個數是6.
17.42【解析】先由徒弟粗加一工原料，6天后，師傅開始精加工原料，徒弟同時開始粗加工原料，再9天后(15天后)，徒弟粗加工原料完成，此時師傅還在精加工原料，27天后，師傅精加工原料完成，然后接著精加工原料，再15天后，師傅精加工原料完成，整個工作完成，一共需要6
+21+15=
42個工作日.
18.【解析】由，得，
可得，故可歸納得.
19.【解析】三棱柱中5
+6-9
=2;五棱錐中6+6
-10
=2;立方體中6+8
-12
=2，由此歸納可得.
20.12-22+32-42+…+n2=·(n∈)
【解析】觀察上式等號左邊的規律發現，左邊的項數一次加1，故第個等式左邊有
項，每項所含的底數的絕對值也增加1，一次為1，2，3，…，指數都是2，符號成正負交替出現可以用表示，等式的右邊數的絕對值是左邊項的底數的和，故等式的右邊可以表示為·，所以第個式子可為12-22+32-42+…+=·(∈).
21.1000【解析】觀察和前面的系數，可知一個成遞增的等差數列另一個成遞減的等差數列，故，
22.【解析】觀察不等式的左邊發現，第個不等式的左邊=，右邊=，所以第五個不等式為
.
23.(1)6;(2)
【解析】(1)當=16時，
，可設為，
，即為，
，即，
位于中的第6個位置;
(2)在中位于兩段中第一段的第87個位置，位于奇數位置上，此時在中位于四段中第一段的第44個位置上，再作變換得時，位于八段中第二段的第22個位置上，再作變換時，位于十六段中的第四段的第11個位置上.也就是位于中的第個位置上.
24.
【解析】把已知等式與行數對應起來，則每一個等式的左邊的式子的第一個數是行數，加數的個數是;等式右邊都是完全平方數，
行數
等號左邊的項數
1=1
1
1
2+3+4=9
2
3
3+4+5+6+7=25
3
5
4+5+6+7+8+9+10=49
4
7
……
……
……
所以，
即
25.【解析】根據合情推理，利用歸納和類比進行簡單的推理，可得=
26.962【解析】觀察等式可知，的最高次的系數2,8,32,128構成了公比為4的等比數列，故.取，則，，代入等式⑤得
，即(1)
取，則，，代入等式⑤得
即(2)
聯立(1)(2)得，，所以=.
27.【解析】(1)記為排列的逆序數，對1，2，3的所有排列，有
，
所以.
對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置.
因此，.
(2)對一般的的情形，逆序數為0的排列只有一個：，所以.
逆序數為1的排列只能是將排列中的任意相鄰兩個數字調換位置得到的排列，所以.
為計算，當1，2，…，n的排列及其逆序數確定后，將添加進原排列，在新排列中的位置只能是最后三個位置.
因此，.
當時，
，
因此，時，.
28.【解析】證明:(1)因為是等差數列，設其公差為，則，
從而，當時，
，
所以，
因此等差數列是“數列”.
(2)數列既是“數列”，又是“數列”，因此，
當時，，①
當時，.②
由①知，，③
，④
將③④代入②，得，其中，
所以是等差數列，設其公差為.
在①中，取，則，所以，
在①中，取，則，所以，
所以數列是等差數列.
29.【解析】(Ⅰ)用數學歸納法證明：
當時，
假設時，，
那么時，若，則，矛盾，故.
因此
所以
因此
(Ⅱ)由得
記函數
函數在上單調遞增，所以=0，
因此
故
(Ⅲ)因為
所以得
由得
所以
故
綜上，