熟知Lucas整數序列:U1=1, U2=p;Vn=an+bn, V0=2, V1=p, 其中a, b是二次方程x2-px-q=0的兩個根 (△=p 2+4 q>0) g c d (p, q) =1, Un, Vn稱為L u c a s數, 遞推公式為:Un+2=pUn+1+qUn;Vn+2=pVn+1+qVn, 當p=q=1時, F1=1, F2=1;L0=2, L1=1, 則數列{Un}, {Vn}被稱為Fibonacii數列{Fn}和Lucas數列{Ln}, 它們的通項分別為Ln=an+bn, 其中, 。
這些數列在許多領域中的理論與應用研究中起著非常重要的作用, 利用kummer恒等式和am±bm簡潔得到Ud整除Umd的表達式幾種形式。
定理1:Ud整除Umd的表達式是關于Vd, 按降冪排列的m-1次多項式與關于降冪排列的m-1次多項式。
證明:當m=2s+1, 由Kummer恒等式
得 (2) 式, 當m=2s, 同法得 (3) 、 (4) 式。
定理2:當m=2s+1, Vd整除Vmd的表達式是關于Vd, 按降冪排列的m-1次多項式與關于降冪排列的m-1次多項式。
當m=2s, Vd2整除Vm d-2 (-1) s (-q) sd表達式是關于Vd, 按降冪排列的m-2次多項式與關于降冪排列的m-2次多項式與關于[pvd+2qvoh]降幕排列的m-2次多頁式。
證明:當m=2s+1, 由Kummer恒等式 (0.2)
當m=2 s, 由K u m m e r恒等式 (0.2) , Vm d展開后最后一項為, 將其移到左端后, 此時右端表達式每項都含有, 從而得到 (7) 、 (8) 式。
摘要：設Un、Vn是Lucas數, 本文研究Lucas數Ud, Vd整除Umd, Vmd的表達式幾種形式。
關鍵詞：Lucas數,整除,表達式
參考文獻
[1] 胡以稔.關于Fibonacci數的兩個表達式[J].數學研究與評論, 1998 (2) .
[2] 王國炳.Fibonacci數Fd整除Ujd的遞推式與表達式[J].四川工業學院學報, 2003 (3) .