分數應用題是六年級數學教材中教學的一個重點,也是學生學習的一個難點。因為這類題比較抽象,學生往往因分析失誤而錯解。在一次六年級檢測試卷中,經過初步統計,分數應用題的分值約占了30%左右,可見分數應用題在六年級數學中的地位和比重,然而正是這些抽象的分數應用題造成了孩子們對分數應用題的望而生畏,怎么思考也弄不明白。因此本文從解決分數應用題的實戰出發,向同行們探討一下解決分數應用題的“武林秘籍”。
那從實戰的考題開始我們的旅程吧:
【典型題目】某種商品8月的價格比7月漲了30%,9月的價格比8月又降了20%。9月的價格和7月比是漲了還是降了?變化幅度是多少? 【昌黎縣2015年1月6年級期末試卷應用題最后一題】
見到此題,是不是覺得解決起來有點難呢? 好,我們就一起先來探究一下分數應用題的解法技巧吧。
1解決分數應用題也有“武林秘籍”
畫線段圖與寫數量關系是解決分數應用題的兩個有效手段,可以說它們正是我們要尋覓“武林秘籍”?？梢赃@么說畫線段圖是分數應用題的基本分析途徑,線段圖的正確分析往往決定著數量關系的正確與否。當然兩個有效手段可以單獨使用,也可圖文并茂地一起使用,這可是準確、快速解決分數應用題的法寶。
例1:六年級有女生90名,男生是女生人數的1/3,男生多少人?
要點:畫圖時要先畫出單位“1”的量。結合畫圖和關鍵句“男生是女生人數的1/3”,可以看出這道題是把女生人數90人看做單位“1”,把女生人數平均分成分率1/3的分母份,即3份,所以先把表示女生人數的線段圖平均分成3份,男生人數占其中的分子份,即1份,所以男生人數畫的要和女生中的1份長度同樣多,也就是女生人數的1/3是男生人數,根據一個數成分數的意義用乘法計算, 所以數量關系為女生人數×1/3=男生人數。
例2:弟弟體重24千克,哥哥比弟弟重1/4,哥哥體重多少千克?
畫圖:關鍵句“哥哥比弟弟重1/4”,顯然“比弟弟重1/4”是把弟弟的體重看做了單位“1”,也就是標準量的意思,所以畫圖要先用線段圖畫出弟弟的體重,平均分成1/4的分母份,即4份。那分子1的含義是什么呢? 分子1的意思是把弟弟的體重看做單位“1”,平均分成4份,哥哥的體重比弟弟多1份,那哥哥當然應該畫5份了。
結合畫線段圖的分析:哥哥比弟弟重1/4,也就是哥哥的體重等于在弟弟體重的基礎上再加上弟弟體重的1/4,才等于哥哥體重,所以數量關系1為:弟弟重量+弟弟重量的1/4=哥哥重量,所以列式為24+24×1/4;
又因為哥哥比弟弟重1/4,也可理解為把弟弟的體重看作單位“1”,也就是1份,哥哥比弟弟重1/4份,那么哥哥就是(1+1/4)份,而1份,也就是單位“1”對應的數量是24kg,求哥哥的體重千克數,就是求弟弟體重的(1+1/4)倍是多少,根據一個數乘分數的意義 ,用乘法計 算 ,所以數量 關系2是 : 弟弟體重 ×(1+1/4)=哥哥體重 ,列式為 :24×(1+1/4)
這里的細節是:
分析出正確的數量關系固然重要, 靈活運用也是固不可少的。如根據數量關系:弟弟體重×(1+1/4)=哥哥體重,如果已知了弟弟體重求哥哥,那當然用乘法直接計算即可。如果已知了哥哥體重求弟弟體重呢? 對了,用除法啊,根據分數除法的意義,已知兩個因數的積是哥哥體重,和其中的一個因數(1+1/4),求另一個因數,也就是弟弟體重,用除法計算;或者呢,設單位“1”的數量(弟弟體重)為x千克,根據數量關系列方程解答即可。
通過以上畫圖及數量分析我們總結出以下規律:
1.已知單位“1”的數量 ,求它的幾分之幾 (百分之幾 )用乘法計算;
2.如果單位“1”未知 ,卻需要先求出單位“1”是多少 ,那這一步一定是除法或方程;
3. 還有一種類型就是求甲數是乙數的幾分之幾 ( 百分之幾),基本方法就是:甲數÷乙數。此類較復雜的就是求甲比乙多(或少 )幾分之幾 (或百分之幾 )的問題 ,意思是甲比乙多 (或少 )的占單位“1”的幾分之幾(或百分之幾)基本方法是:甲數和乙數的差(永遠是大數減小數)÷單位“1”,單位“1”的判斷當然是比誰誰是單位“1”了,簡單一句話就是差值÷單位“1”, 求商即可。
2解決分數應用題的“一般步驟”
我們還是一起回到開頭引用的那道題:
某種商品8月的價格比7月漲了30%,9月的價格比8月又降了20%。9月的價格和7月比是漲了還是降了? 變化幅度是多少?
教學步驟可以如下設計:
2.1明確問題 ,求什么
問題“9月的價格和7月比是漲了還是降了? 變化幅度是多少? ”,要認識到:(1)共求兩個問題;(2)第一個問題是價格是漲了還是降了,應該進行價格的比較再得出結論;第二個問題是變化幅度, 因為緊接第一個問題, 所以根據“9月的價格和7月比”,我們就知道既然“和7月比”,當然要把“7月價格”看作單位“1”了,據此分析,“變化幅度”意思是漲了的錢數(或是降了的錢數)占單位“1”(7月份價格)的百分數。
2.2找準數量 ,怎么求
關鍵句,兩個。在學生的實際教學中,可以畫圖分析,也可通過關鍵句直接分析題目的數量關系。上面題目中的關鍵句,一是“8月的價格比7月漲了30%”,二是“9月的價格比8月又降了20%”。
第一句理解:是8月價格和7月價格比較,漲了30%,7月價格是單位“1”,那么說明8月價格是7月價格的(1+30%)倍,數量為8月價格=7月價格×(1+30%)。
第二句理解:是9月的價格和8月相比較,8月價格是單位“1”,9月價格降了8月份的20%, 也就是9月的價格是8月價格的(1-20%),數量關系為:9月的價格=8月價格×(1-20%)
根據兩個關鍵句的理解和分析, 我們知道要求9月的價格就必須先根據數量關系2求出8月價格, 而要求8月價格就必須根據數量關系1知道7月價格,但遺憾,7月價格沒有,未知。這時我們就應該想到對于未知數量, 我們可以把它看作一個整體,用單位“1”來表示。
2.3正確列式 ,認真做
(1) 設7月價格為1 ( 這里的1是把7月價格看作一個整體,看作1份,看作1個標準量,用單位“1”來表示)
8月價格 :1×(1+30%)=1.3
9月價格 :1.3×(1-20%)=1.04
∵1.04﹥1∴9月價格比7月份漲了。
(2)(1.04-1)÷1=0.04÷1=0.04=4%
注: 也就是求9月比7月漲的價格份數占7月價格的百分之幾。
答:變化幅度為漲了4%
2.4仔細驗算 ,深反思
這一步,要告訴學生,做一個負責任的孩子,做完后問問自己做的對嗎,合理嗎?有沒有更便捷的方法……使我們的學生養成一個學會反思的習慣。
到了這里,你是不是對分數應用題的教學困惑有了“柳暗花明又一村”的感覺? 愿我感悟的拙見能為您的教學拋磚引玉,能為畢業班的孩子不再對解分數應用題而發愁而感到欣慰……