1 引言
我們知道泰勒級數和麥克勞林級數不能夠直接用來對如ex, tanx類的函數求近似值, 然而, 有限項泰勒級數或麥克勞林級數, 也就是去掉截斷誤差后剩下的有限項構成的級數是一個多項式函數, 可以用來逼近已知的函數.這種多項式叫做泰勒多項式或麥克勞林多項式.
2 泰勒多項式
2.1 階的泰勒多項式
我們強調函數f (x) 在a點的值可以被過點 (a, f (a) ) (圖1) 的切線近似地逼近.這條線叫做函數的線性近似線, 并且我們發現p1 (x) =f (a) +f′ (a) (x-a) , p1 (x) 是由兩項組成的, 即泰勒級數f (x) 關于a展開的0階和1階。稱此為一階泰勒多項式。如圖1所示, 可以認為p1 (x) 是函數f (x) 在x=a附近的近似逼近函數。
例1在函數f (x) =lnx中求在a=1處的一階泰勒多項式, 并用它來求ln 0.9, ln1.5的近似值。
解因為f (x) =lnx, ;則f (1) =0, f′ (1) =1.因此p1 (x) =0+1⋅ (x-1) =x-1于是, x趨近于1時lnx≈x-1并且ln 0.9≈0.9-1=-0.1, ln 1.5≈1.5-1=0.5, ln 0.9和ln 1.5正確的四位的值分別為-0.1054和0.4055。正如所料, ln 0.9的近似值比ln 1.5的近似值更確切。因為0.9比1.5更接近于1。如圖 (2) 所示
2.2 n階導數的泰勒多項式
當x趨近于a時, p1x線性近似的精度最高, 但近似精度隨著x逐漸遠離a。利用高階泰勒多項式近似會取得更好的效果。, 上式是關于f (x) 勒級數的前三項組成的, 對于f (x) , p2 (x) 將會比線性近似的p1 (x) 有一個更好的效果。以a為基數的n階泰勒多項式是
例2對f (x) =lnx以a=1為基數的函數p2 (x) , 并用它來求ln 0.9, ln1.5的近似值.
正如所料, 這個公式比線性近似p1 (x) 的近似度更高.圖3展示出了函數
f (x) =lnx以及它的近似值p2 (x) .
3 泰勒多項式誤差的探討
麥克勞林多項式當a=0時, n階的泰勒多項式就化簡成為n階麥克勞林多項式, 麥克勞林多項式應用于戈x=0附近的近似。
例3求ex和cosx的n階麥克勞林多項式.用n=4求e0.2和cos (0.2) 的近似值。
為了讓大家更好地從圖中理解麥克勞林公式是如何求cosx的近似值的, 我們給出了一個圖, 圖中包括p1 (x) 、p5 (x) 、p8 (x) 和cosx。如下圖4
在例3中, 我們用4階麥克勞林公式求cos (0.2) 近似值的過程如下:
, 這個例子向我們展示了在求近似值的兩種誤差.第一種是所選方法的誤差, 我們用4階的多項式而不是精確的級數部分和來計算cosx.第二種誤差是計算的誤差, 這是由近似帶來的誤差, 正如我們把無限循環小數0.9800666?用0.9800667來代替一樣。
我們可以用更高階的麥克勞林多項式來減小誤差, 但是用更高階的多項式意味著更多的計算, 這也增加了計算出錯的可能性.如果想得到一個更好的數值分析值, 就必須在這兩種錯誤中找到一個平衡點, 而這不僅僅是一門科學更是一種藝術, 然而關于方法誤差我們還是可以探討一些確切的東西的, 我們下面就證明這些東西。
方法中的誤差帶余項的泰勒公式是:, 誤差就是余項Rn (x) , 即是x與a之間的實數.這個誤差公式是由約瑟夫·路易斯·拉格朗日給出的, 因此經常稱為泰勒多項式的拉格朗日誤差公式。當a=0時, 泰勒公式就是麥克勞林公式。
我們的問題就是要求c點, 我們只知道c是x與a之間的數, 對大多數的問題來說, 我們必須根據c的邊界來確定泰勒余項的范圍.下面的例子論述了這個觀點。
例4近似計算e0.8, 誤差值要小于0.001。
解對于f (x) =ex, 麥克勞林公式的余項為因此, 而0
, 很容易檢驗當n≥6時, 成立, 所以當我們用6階的麥克勞林公式時就能得到我們想要的精度。
, 經過計算器計算得到2.2254948。0.001
我們能夠確保誤差小于0.001嗎?當然可以.我們的近似與精確答案會不一樣嗎?也許會, 但我們可以很自信地寫上2.2255, 誤差一定小于0.001。
求|Rn (x) |界的方法Rn (x) 的精確值幾乎是永遠得不到的, 因為我們不知道c, 只知道它在一定的區間內.因此, 我們的任務就是c在區間內|Rn (x) |的最大可能值.而這通常是很困難的, 因此我們只找一個|Rn (x) |比較好的上界, 這需要用到不等式的一些性質, 我們主要的方法就是用三角不等式|a±b|≤|a|+|b|以及當分子變大、分母變小時, 分數值變大這一規律。
例5如果c在區間[2, 4]內, 對于的最大值, 給一個合適的上界。
例6用2階的泰勒公式近似計算cos620, 然后給出近似誤差的一個上界。
解由于620接近600, 因此, 我們用泰勒公式在求近似值。
由于誤差很小, 我們可以很確定地寫上cos620=0.4694654, 誤差小于0.0000071。
計算誤差到目前為止的所有例子中, 我們都假設了誤差小到可以忽略的程度, 因為我們的計算只是涉及計算次數很少的問題, 但是有必要說明的是, 當用計算機做上千甚至上百萬次計算時, 誤差可能會積累而導致一個扭曲的答案。
有兩類重要的計算誤差的來源即使采用計算器也無法避免, 考慮下列計算:a+b1+b2+b3+?+bm其中, a遠大于式中任何的bi (i=1, ?, m) , 例如, a=10000000而bi=0.4, i=1, ?, m.如果我們依次把b1、b2等加到a中, 我們每一步都近似等于10000000, 然而, 當bi的和加到25時, 我們應該認為bi的和影響了總和.在把很多小的數加到一個或兩個大的數之前, 先計算所有小的數的和是明智的.
另一類更可能的計算誤差的來源是在兩個相近的數相減時, 丟掉了有效數字, 例如, 用0.823445減去0.823421, 每個數都有六位有效數字, 而它們的差得0.000024, 只有兩位有效數字, 我們通過一個求導數的例子來說明丟掉有效數字而造成的麻煩。
例7對于函數f (x) =x4, 求f′ (2) 。
解:, 理論上說, 當n增大時, 結果應該越接近真實的值32.但是當我們用8位小數的計算器計算時, 當n變得太大時, 我們注意一下發生了什么.
即使用16位或32位的計算器也會發生同樣的問題, 如果不顧及計算中的有效數字, 當n足夠大時, 在上式中的微商將會變為0.數值分析時一定要熟知這種類型的計算誤差.
摘要：本文從泰勒級數展開式談起, 用數值和圖形探討多項式函數如何近似逼近一般函數, 并針對近似誤差的種類和誤差估值大小做了有益的探討.
關鍵詞：泰勒多項式,麥克勞林多項式,近似,誤差
參考文獻
[1] 華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社, 1987.
[2] 復旦大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社, 1978.
[3] 同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京:高等教育出版社, 2002.
[4] 西南財經大學經濟數學系.微積分教程[M].成都:西南財經大學出版社, 2005.