含絕對值不等式的證明范文第1篇
1.實數絕對值的定義:
|a|=
這是去掉絕對值符號的依據，是解含絕對值符號的不等式的基礎。
2.最簡單的含絕對值符號的不等式的解。
若a>0時，則
|x|
|x|>a
注:這里利用實數絕對值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數軸上的動點P(x)到原點的距離。
3.常用的同解變形
|f(x)|
|f(x)|>g(x)
|f(x)|<|g(x)|
4.三角形不等式:
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
例題選講:
例1.解不等式 |x2+4x-1|<4.............①
解:① -4g(x); f2(x)
-a
-5
即原不等式的解集是(-5，-3)∪(-1，1)。
例2.解不等式|x2-3|>2x...........①
解:①
即原不等式的解集(-∞，1)∪(3，+∞)。
例3.解不等式|
|≤1...........① -33
x<1或x>3。 x2-3<-2x或x2-3>2x
x2+2x-3<0或x2-2x-3>0
解: ①
(2)
(3) (x+4)(3x+2)≤0,x≠1。
]。
-4≤x≤-|2x+3|2≤|x-1|2
(2x+3)2-(x-1)2≤0
(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0
。
∴原不等式的解集為[-4，-
例4.解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①
分析:為了去掉絕對值符號，首先找到兩式的零點-1和2，它們把(-∞，+∞)分成了三個區間;(-∞，-1)，
[-1，2]，(2，+∞)。從而可將不等式①化為三個不等式組。求它們的解集的并集即可。
解:將不等式①化為三個不等式組
(I)
-2
(II)
-1≤x≤2;
(III)
2
∴原不等式的解集為(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即(-2，3)。
例5.解不等式|x+1|+|x-2|<1。
解:∵ |x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴ 原不等式無解。
說明:本題沒有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判斷出結果。它提示我們今后解這一類問題，應先判斷。
例6.已知:|a|<1, |b|<1。求證:|
證法1：欲證①，只需證
只需證(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需證-(a2-1)(b2-1)<0............②
∵ |a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立，
∴ 原不等式成立。
證法2：欲證①，只需證-1<
只需證(
只需證
·
<0, +1)(
-1)<0,
<1, <1,
|<1.........①
只需證|a+b|<|1+ab|, 只需證(a+b)2<(1+ab)2, 只需證(a+b)2-(1+ab)2<0,
只需證
<0,
只需證
<0............③
∵ |a|<1, |b|<1, ∴ a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0,
又(1+ab)2>0, ∴③式成立，
∴ 原不等式成立。
例7.求證:
證法1:
∵
∵ 上式顯然成立，∴
又
證法2：這里只證明
分析:觀察兩式結構均為y=
≤
=
+
≤
成立。 ≤ |a+b|≤|a|+|b|。
|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)
≤
≤
+
。
≤+。
∴ 原命題成立。
的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需證明函數在[0，+∞)上單調遞增即可。
證明:設0≤x1≤x2, 則
-=，
∵ 0≤x1≤x2, ∴ x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴
≥0。
∴ -≥0, 即≥,
設x1=|a+b|, x2=|a|+|b|
∵ |a+b|≤|a|+|b|,
∴
參考練習:
≤。
1.解不等式 |x2+3x-8|≤10。
2.解不等式 |x+7|-|x-2|<3。
3.解不等式 |
4.解不等式 |log3x|+|log3(3-x)|≥1。
5.求y=
6.設f(x)=x2+ax+b是整系數二次三項式，求證:|f(1)|<
7.已知|x|<
參考答案:
1. [-6, -2]∪[-1, 3];
2. (-∞, -1);
3. [
4. 提示:首先求定義域(0，3)。其次求出二零點1，2。分三個區間(0，1]，(1，2]，(2，3)解即可。解集(0， ]∪[
，3)。 , 2)∪(6, +∞); , |y|<
, |z|<
, (ξ>0)。求證:|x+2y-3z|<ξ。
, |f(2)|<
, |f(3)|<
,不可能同時成立。 的值域。
-3|>1。
5.提示:可用反解法解出sinx=
6.提示:用反證法
略證:假設|1+a+b|< , |4+2a+b|<
，則解不等式||≤1得y∈[-4, -]。
, 及|9+3a+b|<同時成立。
由題設a, b∈Z, ∴ 1+a+b∈Z,
∴ 1+a+b=0.........①
同理4+2a+b=0.......② 9+3a+b=0.........③
由①，②解得a=-3, b=2。 但不滿足③式，故假設不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同時小于
7.證明略。
含絕對值不等式的證明范文第2篇
?a?a+???b?a?b或-???b?a?b;其二，??a?b??a?b。前者的幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，后者是數量積的性質，這兩個結論用于證明不等式，可以使證明思路清晰明快，過程簡單明了之功效。
????
一、利用a-b?a?b證明不等式
例
1、函數f(x)?，a?b，求證：
f(a)?f(b)?a?b
解析：f(a)?f(b)?a?b
即??a?b
??
構造兩個向量 a?(1,a),b?(1,b)，?可??以理解為兩個向量的模的差a?b，那么a?b表示向量???c?(0,a?b)的模，其中a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b) 。 ????
因此，原不等式等價于證明a?b?a?b，其中a?b，向量 ??a和b不可能同向，不取等號。
????
二 利用a?b?ab證明不等式
2222例2 、已知實數mnxy滿足m?n?a,x?y?b
(a?b)，求mx?ny得最大值
???解析：構造向量a?(m,n),b?(x,y)，
則a?? ??a?b?mx?ny????，因為a?b?ab，所以mx?ny
?
?my
?nx取最大值。 ?例
3、已知a?b?
1,解析： 構造向
量???a?b?1m?，n??
12?2 ???n?(1,1),m?，。 ???
。m?n?????因為m?n???
m?n
所以，
含絕對值不等式的證明范文第3篇
(1)理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義;
(2)掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式;
(3)能根據實際題目靈活地選擇適當地證明方法;
(4)通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學建議：
1.知識結構:(不等式證明三種方法的理解)==〉(簡單應用)==〉(綜合應用)
2.重點、難點分析
重點：不等式證明的主要方法的意義和應用;
難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的;
②綜合性問題證明方法的選擇.
(1)不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立(或都不成立)，而并非是帶入具體的數
值去驗證式子是否成立.
(2)比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉化為證明與之等價的a-b>0.這種證法就是求差比較法.由于當b>0時,a>b<==>(a/b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉化為證明與之等價的(a/b)>1(b>0).這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差?變形?斷號”.
其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.
變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號是正或負的數(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側的式子同號的不等式.
(3)綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列已知條件推導變換，推導出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關系是：
(已知)==〉(逐步推演不等式成立的必要條件)==〉(結論)
(4)分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據.
②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關系是：
(已知)<==(逐步推演不等式成立的必要條件)<==(結論)
④分析法是證明不等式時一種常用的基本方法.當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決.特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更實用.
(5)關于分析法與綜合法關系
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，逐步地推導，最后達到題設的已知條件.即推理方向是：結論已知.
綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題.即：已知 結論.
③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件.
綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件.
④一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的.
第一課時不等式的證明(比較法)
教學目標
1.掌握證明不等式的方法——比較法;
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學重點:比較法的意義和基本步驟.
教學難點:常見的變形技巧.
教學方法; 啟發引導法.
教學過程：
(-)導入新課
教師提問：根據前一節學過(不等式的性質)的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數與的大小?
找學生回答問題.
(學生回答：
，
，
，)
[點評]要比較兩個實數 與
的大小，只要考察 與
的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現在我們就來學習：用比較法證明不等式.
目的：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入本節課學習的知識.
(二)新課講授
【嘗試探索，建立新知】
教師寫出一道(證明不等式)例題的題目
[問題] 求證
教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明.
學生研究證明不等式，嘗試完成問題.
[本問點評]
①通過確定差的符號，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過.
②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化.
③理論依據是：
④由
，
，知：要證明
只需證
;需證明
這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
目的：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想.
【例題示范，學會應用】
教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評.
例1. 求證
[分析]由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得
關于的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證. ，將此式看作證明：∵
=
=
，
∴
[本例點評] .
①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號;
②作差后，式子符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定;
③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷;
④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 . 已知都是正數，并且
，求證：
[分析]這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證.
證明：
=
=
.
因為
都是正數，且
，
所以
.
∴
.
即：
[本例點評]
①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號;
②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法;
③例2的結論反映了分式的一個性質(若都是正數
1.當
時，
2.當
時，
.)
目的：鞏固用比較法證明不等式的知識，學會用比較法證明不等式時，對差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習】
教師指定練習題，要求學生獨立思考.完成練習;請甲、乙兩學生板演;巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正;點評練習中存在的問題.
練習：1.求證
2.已知 ，
， ，d都是正數，且
，求證
目的:掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號.反饋課堂教學效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
學生和老師一起分析歸納例題和練習的解題過程，小結用比較法證明不等式的解題方法，并讓學生記錄筆記.比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟(作差、變形、判斷符號).靈活掌握配方法和通分法對差式進行恒等變形.
(三)小結(培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識)
學生和老師一起小結本節課所學的知識，并讓學生記錄筆記.
本節課學習的用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的.掌握求差后對差式變形的常用方法(配方法和通分法).并在下節課繼續學習對差式變形的常用方法.
(四)布置作業
1.課本作業：P14.1，2，3.(供學生鞏固基礎知識)
2.思考題：已知
，求證：
( 培養其靈活掌握用比較法證明不等式的能力)
3.研究性題：設 ，
， 都是正數，且
(為培養學生創新意識)
作業答實:
思考題：，求證：
，又
，從而得證.
研究性題：.所以
含絕對值不等式的證明范文第4篇
步驟一：首先把不等式轉化關于某變量x的函數，并且求出x的定義域。 步驟二：證明該變量x的函數在其定義域的單調關系。
步驟三：由步驟二可得出該不等式的極小值或極大值，進而求出最小值或最大值。
步驟四：利用最小值或最大值證該不等式是正確。
②利用求等比數列和的方法證明不等式成立。
③利用列式分解法來證明不等式成立(經常用于數列不等式)。
Ⅰ利用分子分母的列式分解法分解。類型應是分子是常數，分母是可由兩個因子式的二元一次方程并且該兩個因子式相減可得一個常數。通常類型如下：c/a(x+b1)(x+b2) = c/a * 1/(b2-b1) * [1/(x+b1) - 1/(x+b2)] Ⅱ利用根號和列式分解法來證明不等式的成立。
Ⅲ利用對數的性質來進行因式分解。例如ln[n/(n+1)] = ln(n)-ln(n+1); ④利用假說演繹法來證明不等式的成立。
步驟如下(假設有5分，一般都可拿3分)：
步驟一：假設該不等式成立。
步驟二：當n = 1 時，該不等式成立。(1分或2分)
步驟三：當n = k+1 時，把他代入左邊的參數，再跟與 n = k的不
等式轉換。從而驗證當n = k+1 時，該不等式也成立。(3分或4分)
步驟四：綜上所述，該不等式成立。(0分或1分)
⑤利用放縮法來證明不等式成立。下面有幾種常見的關于放縮法的幾種類型。 Ⅰ利用已有的列式分解法的知識進行放縮。
Ⅱ利用上述已知的條件進行放縮。
含絕對值不等式的證明范文第5篇
§14不等式的證明
課后練習
1.選擇題
(1)方程x-y=105的正整數解有().(A)一組 (B)二組(C)三組(D)四組
(2)在0,1,2,…，50這51個整數中，能同時被2，3，4整除的有().
(A)3個 (B)4個(C)5個(D)6個
2.填空題
(1)的個位數分別為_________及_________.
45422(2)滿足不
________. 等式10?A?10的整數A的個數是x×10+1，則x的值
(3)已知整數y被7除余數為5,那么y被7除時余數為________.
(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數解x和y_________.
3.求三個正整數x、y、z滿足
22
3.4.在數列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數之和是3的倍數，而不是9的倍數的數組共有多少組?
5.求的整數解.
6.求證可被37整除.
7.求滿足條件的整數x，y的所有可能的值.
數學教育網http://
8.已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2(l+m+n)是完全平方數.
9.如果p、q、、都是整數，并且p>1，q>1，試求p+q的值. 課后練習答案
1.D.C.2.(1)9及1.
(2)9.
(3)4.
(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50. 2
23.不妨設x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數.
4.可仿例2解.
5. 分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法. ..
略解：a?b?2ab,同理b?c?2bc,c?a?2ca;三式相加再除以2即得證. 評述：(1)利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧. 如x1222232
2x2?x22x3???xn2x1?x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上
x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)(b?c)?256abc(a,b,c?0)時，可連續使用基本不3322
3等式.
(2)基本不等式有各種變式如(a?b
2)?2a?b
222等.但其本質特征不等式兩邊的次
數及系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.
6.8888≡8(mod37),∴8888
33332222≡8(mod37). 222227777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888
238+7=407,37|407,∴37|N.
223+77773333≡(8+7)(mod37),而237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0
及y為整數可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).
8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l為質數,且n+m>n-m>0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數. 2222
29.易知p≠q,不妨設p>q.令
(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.
含絕對值不等式的證明范文第6篇
導數及其應用
構造函數法證明不等式
一、教學目標：
1.知識與技能：利用導數研究函數的單調性極值和最值，再由單調性和最值來證明不等式. 2.過程與方法：引導學生鉆研教材，歸納求導的四則運算法則的應用，通過類比，化歸思想轉換命題，抓住條件與結論的結構形式，合理構造函數. 3.情感與態度：通過這部分內容的學習，培養學生的分析能力(歸納與類比)與推理能力(證明)，培養學生戰勝困難的決心和解題信心。
二、教學重難點：解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。難點：將命題的結論進行轉化與化歸，變成熟悉的題型。
三、教法學法：變式訓練
四、教學過程：
(一)引入課題：
1.復習導數的運算法則：
2.問題探源：
(教材第32頁B組題第1題)
利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證
(3)ex?1?x(x?0)(4)lnx?x?1(x?0)
3.問題探究：
1、直觀感知(幾何畫板演示);(2)推理論證 4高考探究：
例
1、(2013年北京高考)設L為曲線C：y?lnx在點(1，0)處的切線. x(I)求L的方程;
(II)證明：除切點(1，0)之外，曲線C在直線L的下方.
(類似還有2011年課標全國卷第21題)
1 選修2-2
導數及其應用
變式練習1：
證明：對任意的正整數n，不等式ln(?1)?1?1n11?1n 都成立
(類似還有2012年湖北高考題第22題)
變式練習2：
若函數y?f(x)在R上可導且滿足不等式xf/(x)??f(x)恒成立，且常數a，b滿足a>b，求證：.af(a)>bf(b)
變式練習3：
若定義在(0,??)上的兩函數y?f(x),y?g(x)均可導，滿足f/(x)g(x)?f(x)g/(x)，且對任意x?(0,+?)，都有f(x)?0,(g)x0?
變式練習4：
證明當x?0時，不等式(1?x)
思考題5.(全國卷)已知函數g(x)?xlnx 設0?a?b,證明 ：
五.小結： (1)知識點： (2)解題步驟： (3)數學思想方法
1?1x，設0?a?b，求證f(a)g(b)?f(b)g(a)
?e
g(a)?g(b)a?b?g()
222 選修2-2
導數及其應用
課后鞏固訓練：
1、已知函數f(x)?12x?lnx. 求證：在區間(1,??)上，函數f(x)的圖象在函數2g(x)?
23x的圖象的下方;
32、證明：對任意的正整數n，不等式ln(
3. 證明當x?0時,(1?x)
課后提高訓練：
1?1x111?1)?2?3 都成立. nnn?e1?x2
1. 已知m、n都是正整數，且1?m?n,證明：(1?m)n?(1?n)m
2.(2013年陜西高考最后一題) 已知函數f(x)?ex,x?R. f(b)?f(a)?a?b?設a?b, 比較f?的大小, 并說明理由. ?與