例題在數學教學中是非常重要的, 它能使抽象的理論知識變得具體和容易理解, 通過例題的講解, 可以讓學生理解所講的知識, 掌握解題的技巧, 鍛煉學生的思維能力與應用能力。本文以計算方法這門課程中插值多項式這一章的講解為例, 闡述了例題在課堂教學中的應用。
1 例題的提出時間要及時、合理
下面以講代數插值多項式這一節為例, 來談一下對于例題在講課過程的應用及作用。在講代數插值多項式時, 有三部分的內容:插值多項式的定義;插值多項式的存在唯一性;插值多項式的求法。
定義1:
設函數y=f (x) 在區間[a, b]上有定義, 且f (x) 已知在點a≤x0
則稱nP (x) 為函數y=f (x) 的n次插值多項式, 稱x0, x 1, L, xn為插值條件, 稱 (1) 為插值條件。
接下來應該講插值多項式nP (x) 的存在唯一性及插值多項式nP (x) 的求法。
其實在介紹完插值多項式的定義后, 可直接給出一個插值多項式的例子, 這樣既有助于學生理解插值多項式的定義, 又可引導學生考慮求插值多項式的方法, 同時過程中也滲透了插值多項式存在唯一性的證明。例如, 在講完定義1后, 我們給出下面的例題。
例1:已知函數y=ln x, 且已知Ln11=2.3979,
求y=ln x的二次插值多項式。
解:設所求的二次插值多項式為
由插值多項式的定義, 2P (x) 滿足插值條件:
即
如果由 (2) 求出a0, a1, a2, 則插值多項式2P (x) 就求出來了。問題是能不能由方程組 (2) 解出a0, a1, a2, 即方程組 (2) 有沒有解?如果有解, 這組解是不是唯一的?
由非齊次線形方程組解的理論知, 如果系數行列式不等于零, 則方程組存在唯一的解。
而方程組 (2) 的系數行列式為:
D為范德蒙行列式, 因此:
D= (12-11) (13-12) (13-11) ≠0。
所以由 (2) , 利用克萊姆法則, 可求出唯一的一組解a0, a1, a2。即存在唯一的插值多項式2P (x) 。
由此例題的講解過程, 可以看出, 首先大家能夠深刻理解插值多項式的定義, 掌握插值節點和插值條件的定義;同時提出了求解插值多項式的方法:先寫出插值多項式的形式, 然后由插值條件列方程組, 解方程組可確定出插值多項式。在求解插值多項式的系數a0, a1, a2的時候, 涉及到了插值多項式的存在唯一性的問題, 即由方程組能否解出唯一的一組解a0, a1, a2。這對于后面兩個問題 (插值多項式的存在唯一性和插值多項式的求法) 的討論作了很好的鋪墊和啟發。
2 例題的選取應該難易合適, 并應與所講解的問題密切相關
如果例題是為理論理解或算法理解而設置的, 則例題應選取簡單一些的;如果例題的選取是為了啟發學生的進一步深刻思考的, 則例題應選取稍微有點難度的。并且注意選取的例子應避免計算復雜。
例如, 在講完牛頓插值多項式的算法后, 為了讓學生掌握牛頓多項式的構造方法, 舉例如下。
例2:已知x=1, 2, 3, 4對應的函數值為f (x) =1, 2, 6, 12, 求函數y=f (x) 的三次牛頓插值多項式。
解:由牛頓插值多項式的公式, 得:
計算N3 (x) 需首先構造差商表計算f[x0, x1], f[x0, x1, x2], f[x0, x1, x2, x3], 構造差商表如下 (見表1) 。
所以, 所求的牛頓插值多項式為
此例題的特點是題目計較簡單, 但是緊扣所講解的內容, 即牛頓插值多項式的求法。這樣利于學生掌握牛頓插值多項式的計算, 并且此例子給出的數據的計算簡單, 這樣不會使時間浪費到計算中, 而便于學生對算法的理解和掌握。
而在學生們充分掌握Lagerange插值多項式的算法之后, 可以舉出稍微有難度的例題, 以拓寬學生的思路, 鍛煉學生的思維能力。
例3:已知函數y=f (x) 在x0=0, x1=1, x2=2處的函數值分別為1, 2, 3, 且已知f′ (0) =-1。求函數y=f (x) 的三次插值多項式H3 (x) , 使其滿足插值條件H (x i) =f (x i) , i=0, 1, 2且H′ (0) =f′ (0) 。
本例題提出的插值問題與講的Lag-range插值問題不同之處在于, 它不僅要求在插值節點處滿足函數值插值, 而且要求滿足導數值插值。此時插值多項式H3 (x) 的構造與Lagrange插值多項式的構造方法非常類似, 即構造插值基函數, 而插值基函數的構造方法與構造Lagrange插值基函數的思路一致。
例3:可以拓寬學生的思路, 讓學生在掌握了Lagrange插值多項式的基礎上, 思考利用類似的思路去構造別的類型的插值多項式, 例3的問題, 實際上是Hermite插值問題。這個例題, 因為有一定難度, 所以在學生充分掌握了Lagrange插值多項式的算法之后提出此例題, 比較合理。
3 例題的講解過程要善于啟發學生, 鍛煉學生的思考能力
在講解例題, 要善于啟發學生, 讓他們跟自己剛剛學過的知識相聯系, 一步一步地引導學生自己思考解決問題。
例如, 在講解例1時, 學生肯定自己能夠將二次多項式2P (x) 的形式假設出來, 即設P2 (x) =a0+a1 x+a2 x2。下面就讓學生思考從什么地方入手求出a0, a1, a2來?
這時學生便會思考找條件, 由于前面剛介紹了插值多項式的定義, 因此, 學生會想到利用插值條件來求a0, a1, a2。這樣便得到了方程組 (2) 。接著, 讓學生思考由方程組 (2) 能否求出a0, a1, a2?即方程組 (2) 時候有解?
學生此時會聯系高等數學中學到的線性非齊次方程組的解的理論, 想到若方程組 (2) 的系數行列式不等于零, 則方程組有唯一的解。這樣證明了二次插值多項式2P (x) 是存在的并且是唯一的。
解出了a0, a1, a2, 插值多項式2P (x) 便求出來了。
這時, 可以給學生提出思考題:證明滿足插值條件 (1) 的n次插值多項式是存在唯一的。這個問題是插值多項式這節課的第二個內容, 而這個內容, 在例1的啟發下, 學生自己就可以證明出來, 這樣可以充分鍛煉學生的思維能力。
由上面的過程我們可以看出, 在例題的講解過程中, 一定要充分發揮學生的積極性, 充分鍛煉學生的想象力和思維能力。
4 結語
總之, 例題是數學這門課程講解過程中非常關鍵的一環, 恰當例題的選取、適時例題的插入及適當的例題講解方法對學生理解知識、掌握知識、融會貫通知識有著非常重要的作用。特別是啟發式的講解方法可以鍛煉學生的思維能力與創新能力。
摘要：講授例題是數學教學中一個重要的組成部分, 講解例題的過程是理論和方法應用的過程。通過例題的講解, 可以讓學生掌握解題的技巧, 鍛煉學生分析問題、解決問題的能力。本文從何時提出例題, 如何選取例題以及如何講解例題這三個方面的來討論例題的講課中的應用。并提出可以利用啟發式方法來講解例題, 鍛煉學生的思維能力和創新能力。
關鍵詞：例題講解,數學教學,啟發式教學
參考文獻
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