首先說明多項式數列。數列可用離散函表達即:
自變量只取數軸上整數, 故圖像是離散點。對f進行限制:f (n) 為n的多項式, 以左式為通項的數列, 都可用下法解決前n項和的求解即:
微分、積分互逆, 微分是連續函數某點因變量的無窮小增量, 積分是對連續變量無窮小增量的求和。這是先定義求無窮小增量的導數運算, 取逆得無窮小增量的求和運算 (積分) , 當然可定義一種求有限增量的運算, 取逆得有限增量的求和運算。
1 定義有限增量之比
1.1 割數的定義
導數是連續函數切線斜率的表達即因變量、自變量微分比, 由導數定義知它是對?y/?x取極限得到的, 我們保留?y/?x不取極限, 令?x=k, 得自變量隔k的割線斜率。
對象函數是 (2) 式, 自變量n的間隔取k, 用na表待求的斜率即:
此為Sn=f (n) 割線的斜率。
上式即 (2) 式的因變量、自變量的有限增量比, 稱割數。
1.2 割數公式
微分變為積分的關鍵在于求導公式變為積分公式, 使積分簡單易行。下仿求導公式來導多項式數列的割數公式。
在推多項式數列的割數公式前先定義多項式數列的規范型即:
Sn=F (n) ={n (n+k) (n+2k) L[n+ (m+1) k]}/ (m+2) (m為任意整數) (4)
例如:Sn=n, Sn=[n (n+k) ]/2, Sn=[n (n+k) (n+2k) ]/3L均是規范型。
在有了多項式數列的規范型 (4) 后, 只要解決: (1) 證明多項式線性組合的割數等于多項式割數的線性組合; (2) 任意多項式數列均可表示為規范型多項式數列的線性組合; (3) 推導出規范型的割數公式。
首先解決問題一:
存在S、n=且F、 (n有) RTn=G (n) an=?F/?n bn=?G/?nn=αSn±βTn
證明cn=?R/?n=αan±βbn
證明:nc=?R/?n={[αF (n) ±βG (n) ]-[αF (n-k) ±βG (n-k) ]}/k=α{[F (n) -F (n-k) ]/k}±β{[G (n) -G (n-k) ]/k}=αan±βbn證畢。
其次解決問題二:此其實是用給定的多項式數列構造規范型數列的初等變換, 舉例加以說明:
最后解決問題三:
Sn=F (n) ={n (n+k) (n+2k) L[n+ (m+1) k]}/ (m+2) 將n用代n-替k且代入左式得:
F (n-k) = (n-k) n (n+k) … (n+mk) / (m+2) 將左式與上式帶入 (3) 式得:
為規范型的割數表達。至此我們有了多項式數列的割數概念和求任意多項式數列割數的方法。仍以 (5) 為例:由于、n的割數是n、1, 將二者代入 (5) 得n2的割數為
2 將求割數取逆導求和運算
2.1 名稱的變化
為方便數列的名稱變一下, 由求和、求割數互逆知此時條件數列為 (1) , (2) 是待求數列, 稱 (1) 為 (2) 的割數列, (2) 為 (1) 的求和數列。
2.2 割數列標準型的定義
為割數列的標準型, 這樣割數列的標準型是與求和數列 (2) 的規范型是對應的。
2.3 求和公式
這步將由求和數列推割數列的公式取逆, 導由割數列推求和數列的公式。
有了割數列的標準型 (7) 后, 我們只要解決: (1) 證明多項式數列線性組合的求和數列等于多項式求和數列的線性組合; (2) 任意多項式數列均可表示為標準型多項式數列的線性組合; (3) 導出標準型割數數列的求和數列公式。
首先解決問題一:
存在S、n=且F、 (n有) cTn=G (n) an=?F/?n bn=?G/?nn=αan±βbn
若已知c則n=證?明R/?n, Rn=αSn±βTn
證明:cn=αan±βbn=α{[F (n) -F (n-k) ]/k}±β{[G (n) -G (n-k) ]/k}={[αF (n) ±βG (n) ]-[αF (n-k) ±βG (n-k) ]}/k=?R/?n由 (4) Rn=αSn±βTn證畢。
其次解決問題二:
此仍是初等變換, 以an=n2為例:
最后解決問題三:在 (6) 中可找到答案即 (7) 式中標準型割數列的求和數列為 (4) 中規范型數列。
3 求和步驟
由割數定義 (3) 式得:
將 (9) 、 (10) 、 (11) 、 (12) 疊加得:
為要求的求和公式, ap是初始項, na是末項。上式為求和公式, 以 (8) 例說明求和步驟:A:將an=n2化為標準型的線性組合, 由 (8) 知上式的標準型的線性組合。B:依割數列標準型與求和數列規范型的對應將 (8) 中標準型割數列化為規范型求和數列:
此相當于微積分中求不定積分, 綜合 (13) 、 (15) 得 (14) 例中的若干項的和。
下求最經典的, 需使 (13) 、 (15) 中的可得:
Sn=F (n) -F (0) =n (n+1) (n+2) /3-n (n+1) /2=n (n+1) (2n+1) /6 (16)
4 與經典方法的不同
由 (13) 可看出與經典方法相比此法優點是:此法可以解決相隔k項的求和問題, 如奇數項求和:Sn=a1+a3+L+a2l+1;可用于定義于整個數軸上的所有整數的離散數列。
摘要：目前的數列求和, 方法很散亂, 不易掌握。本文將要介紹求多項求和式數列的若干項和的一種系統方法, 根本上改變這種局面。
關鍵詞：多項式數列,割數,求和