在給定的數域上, 把一個多項式分解成若干個不可約多項式的積的形式, 叫做多項式的分解因式。多項式的分解因式是一種重要的恒等變形, 在初等數學中有著廣泛的應用。在初中代數中, 已經學習過提取公因式法、公式法、分組分解法和十字相乘法等基本方法。這些方法要根據多項式的結構特征靈活地加以應用。這里, 討論幾種分解因式的其他方法, 這里的因式分解都是在有理數域上進行的。
1 用待定系數法分解因式
用待定系數法分解因式, 就是按已知條件把原式假設為若干個因式的乘積, 使這些因式的乘積與原式組成恒等式, 求出各待定系數的值。
例1, 分解因式x4-x3-5x2-6x-4
解:設x4-x3-5x2-6x-4= (x2+ɑx+b) (x2+cx+d)
=x4+ (ɑ+c) x3+ (b+ɑc+d) x2+ (ɑd+bc) x+bd
例2, 分解因式2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2
解:這是一個關于x, y, z的二次齊次式, 注意到2x2-7xy+3y2= (2x-y) (x-3y) , 可設
2 用余數定理和綜合除法分解因式
多項式f (x) 有因式x-ɑ的充要條件是f (ɑ) =0, ɑ就是 (x) 的一個有理根。求出f (x) 的有理根, 就能得到f (x) 的一次因式。這一方法的關鍵是如何尋找有理根。
【定理】設f (x) =ɑ0xn+ɑ1xn-1+…ɑn是一個整系數多項式。若有理數是f (x) 的一個根 (這里u和v是互素的整數) , 那么v整除f (x) 的最高次項系數ɑ0, 而u整除f (x) 的常數項ɑn。
例3, 分解因式f (x) =2x4+7x3-2x2-13x+6
解:因為f (x) 的最高次項系數2的因數是±1, ±2, 常數項6的因數是±1, ±2, ±3, ±6, 所以可能的有理數根是±1, ±2, ±3, ±6, ?！遞 (1) =0, f (-1) =12∴1是f (x) 的根, -1不是。用綜合除法, 經過逐次試除, 也是f (x) 的根, 其余不是。以2與-2為例:
∴f (x) =2x4+7x3-2x2-13x+6= (x-1) (x+2) (x+3) (2x-1)
3 利用行列式分解因式
被分解的多項式有時可表示成適當的行列式, 根據行列式的性質, 對行列式進行推演, 逐步化成因式乘積的形式。
例4, 分解因式x4+6x3+x2-24x-20
解:原式= (x2+6x+1) -4 (6x+5)
例5, 分解因式x2z+z2y+y2x-xz2-zy2-yx2
因式分解的問題形式多種多樣, 解題時要多做試探, 靈活地運用各種方法, 才能順利地解決問題。
參考文獻
[1] 趙振威主編.中學數學教材教法[M].上海:華東師范大學出版社, 1999.[1]趙振威主編.中學數學教材教法[M].上海:華東師范大學出版社, 1999.
[2] 張禾瑞, 郝鈵新編.高等代數[M].北京:高等教育出版社, 1999.[2]張禾瑞, 郝鈵新編.高等代數[M].北京:高等教育出版社, 1999.