數形結合小學數學應用范文第1篇
華羅庚先生說過:數缺形時少直觀, 形少數時難入微, 數形結合百般好, 隔裂分家萬事休。數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統一, 是數學發展中的內在因素, 數形結合貫穿于數學發展中的一條主線, 使數學在實踐中和應用更加廣泛和深遠。一方面, 借助于圖形的性質將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化, 給人以直觀感;另一方面, 將圖形問題轉化為代數問題, 可以獲得準確的結論。“數”與“形”的信息轉換, 相互滲透, 不僅使解題簡捷明快, 還開拓思路, 為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。
數形結合思想也是基本的數學思想方法, 在中學教學中合理應用數形結合可以使學生加深對數學知識的理解, 培養學生良好的思維習慣, 提高學生的解題能力。
2 數形結合思想在解題中的應用舉例
運用數形結合思想分析解決問題時, 要遵循三個原則: (1) 等價性原則; (2) 雙方性原則; (3) 簡單性原則。
數形結合應用廣泛, 不僅在解決選擇題、填空題顯示出它的優越性, 而且在解決一些抽象數學問題中常起到事半功倍的效果;數形結合的重點是研究“以形助數”, 但在解析幾何, 向量中主要是“以數解形”;近年高考試題中都有關于數形結合思想方法的考查, 且占比例較大。
2.1 用函數圖象解決有關問題 (如方程、不等式等問題)
例1.在等差數{a n}列中a1=25, S9=S17, 問此數列前幾項和最大?
分析:此題解法較多, 利用二次函數圖像, 即“數形結合”方法較簡便。
∴Sn的圖像開口向下的拋物線上一群孤立的點, 最高點的橫坐標為最大。
2.2 用三角函數圖象和三角形與三角函數的結合
例2.計算:
分析:初看無法把此代數問題幾何化, 但將其正確地進行恒等變形, 便能應用熟知的數學模型構造出巧妙的幾何圖形來, 充分體現了以形輔數的作用。
原式
此時可構造一個外接圓直徑為1的?ABC, 300, 700, 800分別為其內角度數, 則根據正、余弦定理可得, 原式
變式: (2009年上海卷理11題) 。當0≤x≤1時, 不等式成立, 則實數k的取值范圍是________。如圖1所示。
分析:作出的圖象, 要使不等式成立, 由圖可知須k≤1。
2.3 用直線、曲線的關性質來進行數研究
例3.求函數的最小值。
分析:考察式子特點, 從代數的角度求解, 學生的思維受阻, 這時利用數形結合為轉化手段, 引導學生探索代數背后的幾何背景, 巧用兩點間距離公式, 可化為
令A (0, 1) , B (2, 2) , P (x, 0) , 則問題轉化為在X軸上求一點P, 使|PA|+|PB|有最小值。如圖, 由于AB在X軸同側, 故取A關于X軸的對稱點C (, 0-) 1, 故 (|PA|+|PB
2.4 用韋恩圖與數軸來研究集合及其運算問題
例4.設集合A, B, C (如圖2) 。
滿足A∪B∪C={3, 2, 1}, 且B和C沒有公共元素, A和C只有一個公共元素, 則滿足條件A, B, C共有 () 。
分析:作出滿足題意的韋恩圖, A和C只有一個公共元素, 則有3C1種, 由圖可知, 圖中還有四個區域, 還有兩個元素, 則每個區域有2個選擇, 共有24=16種。滿足條件A, B, C共有163C1=48, 故選B。
(2009年上海卷理) 已知集合A={x|x≤1}, B={x|x≥a}, 且A∪B=R, 則實數a的取值范圍是________。
【答案】a≤1, 因為A∪B=R, 畫數軸可知:數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系, 既分析其代數意義又揭示其幾何直觀, 使數量關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象、巧妙、和諧地結合在一起。在中學數學學習和解題過程中, 要善于運用數形結合的方法來尋求解題途徑, 制定解題方案, 養成數形結合的習慣解題先想圖, 以圖助數。用好數形結合的方法, 能起到事半功倍的效果。
摘要：數形結合是根據數學問題的條件與結論間的內在聯系, 既分析其代數含義, 又揭示其幾何意義, 使數量關系和空間形式巧妙結合并尋找解題途徑, 使問題得到解決, 它包含“以形助數”和“以數輔形”兩個側面。從而把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來, 使抽象思維與形象思維結合, 使復雜問題簡單化, 抽象問題具體化。
關鍵詞：數形結合,中學數學,解析
參考文獻
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數形結合小學數學應用范文第2篇
數形結合在小學數學中的運用
數形結合是數學中重要思想方法之一。它既具有數學學科的鮮明特點，又是數學研究的常用方法。數形結合思想----就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合。
贊科夫說:“教會學生思考,這對學生來說,是一生中最有價值的本錢”,而要教會學生思考,實質是要教會學生掌握數學的思想方法。常用的數學思想方法有很多,而數形結合思想具有數學學科的鮮明特點,是解決許多數學問題的有效思想。將抽象的數量關系形象化，具有直觀性強，易理解、易接受的特點。將直觀圖形數量化，轉化成數學運算，常會降低難度，并且使知識的理解更加深刻明了。
數形結合小學數學應用范文第3篇
1小學數學教學中應用“數形結合”思想的意義
小學生在數學學習的過程中由于受到自身認知能力與思維理解能力的限制, 一般在學習中會很快產生厭煩心理, 最終產生厭學, 導致在數學學習的道路上誤入歧途, 越走越遠。 因此, 在這一教學背景下, 就衍生出數形結合思想, 這一思想是將復雜而抽象的數量關系轉化為較為直觀的圖形進行分析和解決數學問題, 從而降低數學問題的難度, 并且還能夠幫助學生理解題目中的數量關系, 激發其學習數學知識的興趣。 現階段, 數形思想已經成為一種較強常見的小學數學教學方法, 通過數與形之間的有效轉化, 培養小學生的邏輯思維與抽象思維能力, 并且與形象思維相結合。 為了能夠有效引導學生學習理解數學知識, 在數學教學中可以通過屬性結合思想的方式, 將抽象的數學知識變得具象化, 從而加深學生對相關知識點的理解與記憶功能。 比如說學生在進行異分母加減法的學習中, 可以通過直觀的圖形實例讓學生明白通分的意義, 然后引導學生在計算環節養成通分的習慣, 使其掌握正確的異分母計算法則, 當講解重疊問題的時候, 也可以采用數形結合的方式進行授課, 比如說某班級中有9 人喜歡玩籃球, 8 人喜歡玩足球, 都喜歡的有5 人, 問這個班有多少人。 然后引導學生使用數形結合的思想將問題變得具象化, 從而更好的理解重疊部分的意義。通過學習使用韋恩圖, 將更加有效的使問題的中心浮現出來, 有助于學生快速分析、解決問題, 提高學生的解題能力, 強化課堂教學成果。
2小學數學教學中應用數形結合思想的策略
2.1 對數學概念學習的運用
教師在進行小數意義的講解的時候, 就可以通過多媒體課件幫助學生掌握相關概念的知識要點, 使學生更加深入的了解知識點。 比如說學習1/10 米=0.1 米的時候, 就可以通過放大教學直尺的圖案, 讓學生找到其中的一段。 然后引導學生任意找出0.1 的長度, 從而使學生明白這是指一米的十分之一, 而不是所謂的0~0.1 米。 然后在讓學生一米內有多少個0.4 米、0.6 米的方式引導學生加以思考, 然后追問學生這里面有多少個0.1米等方式讓學生親自動手、動腦將數字與圖形巧妙的結合在一起。 從而強化學生對相關概念的理解, 提高學生對小數的認知程度, 幫助學生在其腦海中建立全新的小數概念, 使學生能夠達到活學活用的效果, 從而達到理想的教學目的。
2.2 引導學生掌握計算方法及計算原理
屬性結合思想的運用主要是通過將算式形象化、具體化的方式幫助學生更好的理解相關計算概念的原理, 從而達到熟練掌握應用計算方法的目的。 比如說, 某個砌墻工人每小時可以完成墻體的1/2, 問這個工人在1/4 小時內可以完成這個墻體的幾分之一。 然后在教學中可以采取具體的步驟進行引導:首先讓學生通過自己對問題的理解用圖形將1/2*1/4 這個算式表示出來, 然后學生進行組間交流, 并將自己理解的圖形表示方式展示出來, 進而展現自己對相關問題的理解效果, 然后通過全班交流討論與點評的方式進行綜合研究, 最終由教師指正錯誤, 進行講解。 總的來說, 在進行數學教學的過程中, 通過算式圖形化、具象化的方式將有效的使學生將圖形與算式的概念聯系到一起, 從而提高學生對算式的理解與表達能力, 強化學生對數學原理的理解程度, 從而讓學生能夠靈活的運用相關計算方法、法則, 達到預期的教學效果。
2.3 針對問題表述準確找到解題切入點
將數形結合的思想引入到數學教學當中, 引導學生利用該思想通過寫、畫、算的方式激發自己的思維, 從而尋找到準確的問題切入點, 最終找到問題的答案, 達到教學的預期效果。 比如, [ (25+x) ×2-11]÷9=5, 求x。 一些學生在看到這個題目時, 覺得計算比較復雜, 不知道從何下手, 產生畏難情緒。 而如果采用逆向思維預算方法, 根據數形結合思想, 畫出推理圖, 5×9=45+11=56÷2=28-25=3, 從而很快解答該題目, 促進學習效率提升。
2.4 對數學教學中的重點難點進行突破
數學知識往往比較抽象復雜, 其中的重點以及難點問題更是如此。 如果教師在授課時采用較為直接的推理方法, 學生可能難以對其進行充分的理解, 但是如果應用數形結合解題思想必然會達到出其不意的教學效果。 比如說教師在進行分數、百分數等問題的講解過程中, 通過數形結合解題思想就可以有效的對這些類型的問題進行解答, 其講解的效果也必然十分的到位。 不僅如此, 通過數形結合對問題進行直觀形象的表達, 將有助于對問題中各種數量之間的關系進行表示, 從而達到學生快速理解、求解的效果。 讓學生在問題的解答中變得輕松便捷, 從而激發學生對數學知識的學習興趣, 更好的掌握各級數量之間的聯系。 然后通過自己的總結, 尋找到符合自己的便捷解題方法, 達到課堂教學的最終效果。 提升學生學習小學數學的學習效率, 強化學生學習數學知識的信心與熱情。
3結語
綜上所述, 在進行小學數學的教學中采用數形結合教學思想, 將有助于提高教學的實際效果。 教師在重視數形結合思想進行教學之后, 通過采取與之相對應的教學對策將有效的激發學生的學習興趣, 提升學生對問題的解讀能力, 進而達到或超過預期教學目的, 取得優異的教學效果。
摘要：數學教育教學工作的開展是一項十分艱巨的任務, 做好小學數學教學將有助于為學生打下堅實的基礎, 為學生的未來發展奠定良好的根基。所以, 將數型結合思想應用與小學數學的教學中, 制定行之有效的教學對策, 針對數學概念、重點難點進行教學, 將有助于提高學生對問題的理解能力與相關解題技能的運用效果, 從而提高小學數學教學的效率。
關鍵詞：小學數學,數形結合,原理運用
參考文獻
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[2] 王淑萍.利用數形結合思想, 提高學生的聯想能力[J].江蘇教育學院學報, 2012年02期.
數形結合小學數學應用范文第4篇
摘要：在小學數學教學中，運用數形結合思想進行教學，有助于小學生更好地學習，促進學生的有意義識記，順利解決數學問題?！耙孕沃鷶怠弊鳛閿敌谓Y合思想的一種，在小學數學教材中的運用并不鮮見，無論是數與代數、圖形與幾何還是統計與概率、綜合與實踐等教學內容，都能運用“以形助數”思想輔助教學。
關鍵詞：小學數學;數形結合;以形助數
一、數形結合思想的內涵及其在小學數學教學中的運用意義
在課堂教學中，教師要堅持以學生為主體，教師為主導，在講授知識的同時更要充分發揮學生的主觀能動性，使得學生在思考與探究、合作與交流的過程中，能夠形成良好的數學思維、獲得基本的數學活動經驗、理解和掌握基本的數學知識與技能。這是《義務教育數學課程標準（2011年版）》（下文簡稱《課標》）所體現的課程理念，除此之外，《課標》在課程總目標中提出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！庇纱丝梢钥闯?，《課標》從課程理念到課程目標，都強調數學教學并不是簡單地傳授相關數學知識，它更注重于學生思維的鍛煉，講究培養學生的數學思想和引導學生掌握數學方法。
學生的心理發展具有一定的方向性和順序性，階段與階段之間是不可逾越的。處于學齡初期的學生以具體形象思維為主，到了四年級，學生的思維雖逐漸以抽象邏輯思維為主導，但是，其抽象邏輯思維仍然需要具體形象思維的支撐;而總的來說，數學這一門課程的知識較為抽象。這樣，數學課程知識的抽象性與小學生的具體形象思維就構成了一對矛盾。如何解決這一矛盾，讓學生學習數學時不那么吃力？“數形結合思想”的運用能有效解決這一現實問題，它能讓復雜的知識簡單化，讓抽象的知識形象化，促進學生更好地理解問題表征，從而順利地解決數學問題。
數形結合一般包含“以數解形”“以形助數”兩個方面，是指將抽象的數量關系與直觀的圖形結構巧妙地結合起來，達到抽象問題具體化、復雜問題簡單化，以實現優化解題途徑的目的。
如何將數形結合思想滲透在小學數學教學中，以有效培養學生的數形結合思想，讓其自覺地運用在數學問題解決中？筆者認為，要達到這個目的，數學教師就必須將數形結合思想的運用貫穿于教學的始終，無論是數與代數、圖形與幾何還是統計與概率、綜合與實踐等教學內容，都要有意識地滲透數形結合思想?，F筆者結合自身實踐，談談如何將數形結合思想中的“以形助數”運用在小學數學教學中。
二、數形結合思想在小學數學教學中的運用
（一）數與代數
在四年級上冊第1課“大數的認識”中的“1億有多大”的教學時，若教師直接采用語言傳授的教學方法，則無法讓學生直觀地感受“1億”到底有多大。為此，筆者先把學生分成3組，第1組探究我校的課室一般能容納多少人，要容納1億個人需要多少間這樣的課室;第2組探究我們所用的一本數學教科書有多重，要有多少本這樣的數學教科書才能有1億克;第三組測量學校的升旗桿有多高，要有多少根這樣的升旗桿才能有1億米高。
任務分配下去后，學生饒有興趣地積極行動起來。經過探究合作與交流，第1組學生探究出1間課室約能容納100個人，需要100萬間課室才能容納完1億人;第2組學生測量出一本數學教科書大概150克，大約需要67萬本這樣的教科書才能達到1億克;第3組學生測量出學校的升旗桿為12米高，大約需要833萬根這樣的升旗桿才能有1億米高?？粗@一組龐大的數據，學生紛紛發出感嘆聲。
在活動探究中，筆者利用“以形助數”的思想，巧妙地把抽象的大數“1億”轉換成具體的事物——課室、教科書、升旗桿。這樣一來，不但能順利地讓學生直觀感受“1億”這個數到底有多大，還能讓學生在探究過程中習得合作精神和實踐能力。
（二）圖形與幾何
五年級上冊第6課的教學內容為“多邊形的面積”，主要涉及了平行四邊形、三角形、梯形以及組合圖形的面積計算。在實際教學過程中，筆者發現，很多學生容易混淆面積公式，特別是教材安排了平行四邊形面積的內容后緊跟著三角形面積的內容，在做題的時候，學生要么忘記除以2，要么多了一個除以2。這就證明學生還未真正理解多邊形的面積公式，只是死記硬背。
平行四邊形的面積公式為S=ah，三角形的面積公式為S=ah÷2，為了讓學生牢牢掌握這兩個多邊形的面積公式，筆者借助圖形的分解，幫助學生理解平行四邊形與三角形之間的聯系。
首先，筆者出示了四個三角形，并問學生：哪兩個三角形能拼成平行四邊形？這兩個三角形有什么關系？
學生很快就發現第1個和第4個三角形能拼成平行四邊形，而且這兩個三角形是完全相同的。
此時，筆者追問：三角形的底和高與拼成的平行四邊形的底和高存在什么關系呢？每個三角形的面積與拼成的平行四邊形又有什么關系呢？學生也很快就能得出：拼出的平行四邊形的底和高等于三角形的底和高，每個三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。最后，筆者做簡單的總結：也就是說，三角形的面積=平行四邊形的面積÷2。
在這一教學過程中，筆者仍利用了“以形助數”的思想，借助圖形的分解與結合，讓學生理解為什么三角形的面積公式要除以2。經歷了這一過程，學生便能對三角形面積公式進行有意義的識記，有效地避免了與平行四邊形的面積公式相混淆。
（三）統計與概率
統計與概率這一教學內容本身就是“以形助數”思想的體現，如五年級下冊第7課“折線統計圖”這一教學內容將復雜、變化的數字以折線圖的形式表現出來，能讓人直觀地看到數據的變化。如下圖，將2006年至2011年中國青少年機器人參賽隊伍做成折現統計圖，能直觀地獲取2007年參賽隊伍最少、2011年參賽隊伍最少，從2009年開始參賽隊伍逐年增多等信息。
（四）綜合與實踐
部編版數學教材從二年級開始增加了“數學廣角”模塊，也就是“綜合與實踐”這一內容，目的在于讓學生認識到，實際生活中蘊藏著豐富的數學知識，引導學生積極地嘗試從數學的角度出發，運用所學的數學知識以及數學方法解決在實際生活中遇到的問題。
五年級上冊的數學廣角內容為“植樹問題”。植樹問題主要涉及三種植樹方法：兩端都植樹、一端植樹、兩端都不植樹。不同的植樹方法有不同的計算方法，為了讓學生理解三種不同的植樹方法并尋得其中規律，筆者結合圖形進行授課。
首先，筆者出示了下圖，并要求學生根據圖片完成下表。
完成后，筆者提問學生是否發現什么規律。學生很快便能發現，兩端植樹的方法，間隔數比棵樹少1;一端植樹的方法，間隔數與棵樹相等;兩端不植樹的方法，間隔數比棵樹多1。
最后，筆者與學生一起總結“植樹問題”的規律：兩端都植樹時，棵樹=距離÷間隔數+1;一端植樹時，棵樹=距離÷間隔數;兩端都不植樹時，棵樹=距離÷間隔數一1。
在這一教學中，教師并不是生硬地將植樹問題的規律直接灌輸給學生，而是結合圖畫，逐步引導學生發現其中規律，加深了學生對植樹問題的理解。
美國圖論學者哈里認為：“千言萬語不如一張圖?！比A羅庚說：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非;切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”從這可見，在小學數學教學中，滲透“以形助數”的思想，有助于以具體形象思維為主的小學生更好地理解相對抽象的數學知識，鞏固教學效果。
數形結合小學數學應用范文第5篇
摘要：數形結合思想是學生在進行數學知識認知中最為重要的思想之一，對提高學生的問題解答能力，發展學生的數學綜合素質中具有積極意義。而從實際的數學課程教學中我們可以看出，存在部分課堂中教師無法將數形結合思想有效應用在數學課堂中的現象，基于此，筆者從自身知識講解經驗出發，提出數形結合思想應用在概念教學、習題解答和復習環節的策略，淺談如何將數形結合思想與初中數學課程的教學相結合。
關鍵詞：數形結合;初中數學;概念;習題
在開展初中數學課程的教學時，教師有意識地將數形結合的思想滲透在課堂中，能夠幫助學生將抽象的數學理論與具體的圖像相結合，從而加深對數學知識的理解和記憶，提高數學課程的講解質量。那么在實際進行數學知識講解的過程中，教師應當如何針對學科的特點，以及數形結合思想的內容，優化教學策略，落實數形結合思想在數學課堂中的滲透呢？
一、應用概念教學，加深學生理解
數學概念是學生進行數學知識學習的基礎，學生只有掌握了基礎的數學概念，才能夠明確公式當中的每一符號所指代的意義，以及數學的本質。但是，在數學教材當中所呈現出的數學概念，大多是以抽象文字為主，學生由于自身的理解能力有限，很難直接將數學抽象概念與直觀的圖像相聯系，從而降低學生進行數學概念學習的效果。而現代教育技術的發展，使得教師在對學生進行數學概念的教學中，能夠將原本單調的文字進行直觀轉化，從而讓學生在動態、抽象的數學概念呈現形式中，深化自身的理解。
例如，在對學生進行“相交線”的概念教學中，教師就可以利用多媒體中的圖片展示功能，向學生介紹其中的“相交線”“鄰補角”“對頂角”等概念，促進學生提高對本節課概念的認識。在課堂中，教師先應用純文字的形式，向學生展示什么是“相交線”“鄰補角”“對頂角”等，讓學生從理論上對這些概念有一個初步的認識。隨后，教師借由圖片，向學生直觀展示兩條在同一平面上的相交線，并借助相交線中的各個角對學生進一步解說“對頂角”和“鄰補角”的概念，引導學生完成對本節課概念的學習。
顯而易見，在開展初中數學課程的教學中，教師能夠以現代教育資源為媒介，促進學生進行數學概念的學習，提高概念教學的效果。
二、應用習題解答，提高解題效果
“習題”是數學課堂中不可或缺的存在，在開展教學工作的過程中，學生能夠通過習題的解答，檢驗自身對數學知識的掌握情況，教師也可以通過學生的習題解答情況，獲得教學的反饋。而在實踐教學中，教師也可以利用數形結合的思想，讓學生對習題當中的內容進行整理，從而提高學生進行習題解答的效率，發展學生的解題能力。
例如，在“全等三角形”的教學中，教師就可以借助圖形，幫助學生進行習題的解答。為了檢驗學生對本節課知識的掌握情況，教師向學生提出“有一三角形ABC，AB=AC延長AC到點F，過F點做線段FE交AB與點E，交BC于點D，且BE=CF，證明DE=DF?！钡攘曨}，單純讓學生就題目當中的敘述進行解答，勢必會降低學生的解答效果，學生也沒有解題的頭緒，而教師讓學生根據習題進行繪圖，則能夠將原本繁瑣的習題內容，以直觀的圖畫進行展示，從而提高解答的效果。
可見，在對學生進行數學知識的講解中，教師能夠利用繪圖的形式，為學生找到解題的突破口，從而提高學生進行習題解答的能力。
三、應用復習環節，構建數學體系
“復習”是課堂教學的最終環節，學生通過復習環節能夠加深對數學知識的記憶，構建整體數學觀。而在將數形結合的思想滲透在初中數學課堂中，教師也可以利用“思維導圖”的形式，輔助學生進行數學知識的復習，讓學生在刻畫思維導圖中，構建整體數學知識體系，從而提高對數學課程的認知效果。
例如，在對學生講解“二次函數的圖像和性質”的數學知識后，教師就可以利用思維導圖的形式，促進學生進行數學知識的復習。在課堂中，教師先讓學生從“二次函數”的中心詞出發，延伸出“概念”“表達形式”“性質”“圖像”等支路，隨后，教師引導學生根據每一支路的主題進行之后內容的填充，促進學生在構建思維導圖的過程中，能夠深化對本節課數學知識的記憶和理解，構建有關二次函數知識的數學體系。
可見，在引導學生進行數學知識的的復習中，教師能夠利用思維導圖的形式，促進數形結合思想在數學課堂中的滲透，從而逐步提高學生復習的效果。
總而言之，數形結合的思想在初中數學課程的教學中具有重要意義，但是，真正有效地應用數學結合的思想，促進數學知識的教學，卻不是在一節數學課的教學中就可以實現的，而是一個逐漸積累的過程。因此，在之后開展初中數學課程的教學中，教師應當繼續學習數形結合思想的內涵，結合學生對數學知識的認知特點，不斷找尋數形結合思想與數學知識中的結合點，從而促進學生在應用數形結合思想中更快速地理解數學知識，提高認知的效果。
參考文獻
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數形結合小學數學應用范文第6篇
“數與形是數學中的兩個最古老 ,也是最基本的研究對象 , 它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分, 數與形是有聯系的, 這個聯系稱之為數形結合, 或形數結合。我國著名數學家華羅庚曾說過:“數形結合百般好,隔裂分家萬事非。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。將這兩個方面巧妙的結合起來,更容易反應事物的本質。數形結合是數學解題中常用的思想方法, 數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數學問題的本質;另外,由于使用了數形結合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡捷。在運用數形結合思想分析和解決問題時,要注意三點:第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征, 對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義;第二是恰當設參、合理用參,建立關系,由數思形,以形想數,做好數形轉換;第三是正確確定參數的取值范圍。
轉換數與形有三條途徑:(1)通過坐標系的建立,引入數量化靜為動,以動求解;(2)轉化,在通過分析數與式的結構特點, 把問題轉化到另一個角度來考慮;(3)構造,比如構造一個幾何圖形,構造一個函數,構造一個圖表等。
運用數形結合思想解題的三種類型及思維方法。“由形化數”:就是借助所給的圖形,仔細觀察研究,提出圖中蘊含的數量關系,反應幾何圖形的內在屬性。“由數化形”:就是根據題設條件正確繪制相應的圖形, 使圖形能充分反映出他們相應的數量關系,提示出數與式的本質特征;“數形轉換”:就是根據“數”與“形”既對立,又統一的特征 ,觀察圖形的形狀 ,分析數與式的結構,引起聯想,適時將它們相互轉換,化抽象為直觀并提示隱含的數量關系。
2利用數形結合思想巧解初等數學問題
2.1利用數形結合思想解代數問題
代數問題往往是比較抽象的, 若借助圖形則可以直觀的研究該問題, 并且可以簡化計算過程。代數中常利用數形結合思想解向量問題、函數問題、方程問題以及不等式問題。
以利用數形結合思想解函數問題和方程問題為例。
借助于圖像研究函數的性質是一種常用的方法, 函數圖像的幾何特征與數量特征緊密結合, 體現了數形結合的特征與方法,運用這種數形結合的思想有助于理解題意,探求解題思路, 檢驗解題的結果。
2.2利用數形結合解函數方程根的問題
例1:已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區間[0,2]上是增函數,若方程f(x)=m(m>0)在區間[-8,8]有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=?
分析:此題并沒有告知f(x)的具體解析式,我們也無法根據已知條件求出。從而我們考慮畫出f(x)的圖像,方程f(x)= m(m>0)的根,即是直線y=m(m>0)與函數f(x)的圖像交點的橫坐標。
因為定義在R上的奇函數,滿足f(x-4)=-f(x),即f(x-4)= f(-x),所以函數關于直線x=2對稱且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x) 知f(x-8)=f(x),即函數是以8為周期的周期函數,又因為f(x) 在區間[0,2]上是增函數,所以f(x)在區間[-2,0]上也是增函數。如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區間[-8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,不防設x1
對于抽象函數, 我們常常需要根據已知條件畫出函數的大致圖像,尋求解題思路。巧妙的利用數形結合,可以讓復雜的題目簡單化,明朗化。
2.3利用數形結合解函數單調區間問題
例2:確定函數 的單調區間。
畫出函數的草圖,由圖像可知,函數的單調遞增區間為 (-∞,0],[1,+∞),函數的單調遞減區間為[0,1]。
2.4.利用數形結合思想解方程問題
例3:ɑ為何值時, 方程2ɑ2x2+2ɑx+1-ɑ2=0的兩根在 (-1,1) 之內。
分析:顯然ɑ2≠0,我們可以從已知方程聯想到相應的二次函數y=2ɑ2x2+2ɑx+1-ɑ2的圖像與x軸的兩個交點在 (-1,1)之間。為此,我們大致畫出該二次函數的圖像,如圖所示。
為滿足要求,則必需滿足條件:
從而可解得ɑ的取值范圍為
2.5利用數形結合思想解幾何問題
有些較難的幾何證明題,學生看到后往往眼花繚亂,無從下手,此時借助于代數的方法,可較快地尋求到解題途徑。
以利用數形結合思想解平面幾何問題為例。
例4:過正方形ABCD定點C任作一直線與AB、AD的延長線分別交于E、F。求證:AE+AF≥4AB
分析:這是形的問題,但直接從形入手較難解決,如將結論變為:
(AE+AF)2≥4AB(AE+AF)
并從其形式聯想一元二次方程根的判別式,轉換為數的問題就容易解決了。
設AB=ɑ,AE=m,AF=n,連接AC
由 S△AEF=S△AEC+S△AFC得 m×n=ɑ(m+n)
設m+n=p,則mn=ɑp故m、n是方程x2-px+ɑp=0的兩實根。
因為m、n為實數,且p>0,由△≥0得p≥4ɑ
即AE+AF≥4AB
上述實例無不體現“數”與“形”的結合,互相滲透。把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合,使代數問題、幾何問題互相轉化,使抽象思維和形象思維有機結合;使數量關系和空間形式巧妙結合,以尋找解題思路,使問題得以解決。當然,要靈活運用數形結合的思想方法,就要熟悉某些圖形背景,熟悉有關數學式中各參數的幾何意義,建立結合圖形思考問題的習慣,在學習中不斷摸索,積累經驗,加深和加強對數形結合思想方法的理解和運用。數形結合思想在初等數學的思想方法中占有非常重要的地位,應用數形結合思想解決數學問題是一種享受,數學的美得到了更充分的展現。
3數形結合思想方法在應用時應注意的問題
在解題時,有時把數轉化為形,以形直觀地表達數來解決, 往往使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。同時也發現一個普遍的問題:一些能用“數形結合”巧解的題目,在自己做題時卻想不到用“數形結合”,等老師提示后才恍然大悟,但下次再碰到卻還是想不到要用“數形結合”。那么就要注意如下幾個問題。
3.1注意圖像延伸趨勢
例5: 判斷命題:“當ɑ>1時, 關于x的方程ɑx=logɑx無實解。”
錯解:在同一坐標系中分別作出函數y=ɑx及y=logɑx的圖象 (ɑ>1),可見它們沒有公共點,所以方程無實解,命題正確。
分析: 實際上對不同的實數ɑ,y=ɑx和y=logɑx的圖像的延伸趨勢不同。例如當ɑ=2時,方程無實數解;而當 時,x=2是方程的解。說明兩圖像向上延伸時,一定相交,交點在直線y= x上。
3.2注意圖像伸展“速度”
例6:比較2n與n2的大小,其中n≥2,且n∈N·。
錯解:在同一坐標系中分別作出函數y=2x及y=x2的圖像。
由圖可知,兩圖像有一個公共點。
當 x=2 時,2x=x2
當 x>2 時,2x
∴當x=2時,2n=n2;
當 x>2,且 n∈N·時,2n<2n;。
分析:事實上,當n=4時,2n=n2;當 n=5 時,2n>n2
錯因:沒有充分注意到兩個圖像在x≥2時的遞增“速度”! 要比較兩個圖像的遞增速度,確實很難由圖像直觀而得。本題可以先猜想,后用數學歸納法證明。
本題的正確答案是:
當n=2、4時,2n=n2;
當n=3時,2n
當 n≥5 時,n∈N·時,2n>n2。
4結語
數形結合思想是數學思想的一個重要組成部分, 它不僅在數學解題中有著強大的功能, 更在數學教學中發揮著巨大的作用。“形”的直觀與“數”的精確相輔相成,能優化解題,化解難點知識,學生易于理解接受。
但每一種數學方法的使用都有其邏輯依據、適用范圍以及步驟、細節,超出了一定的適用范圍,就會出現錯誤。因此要一分為二地認識數形結合的思想方法。首先體現在自身使用時的局限性:首先,在數形結合思想方法的應用過程中,有些圖形問題用數式處理,運算量很大,而用圖形處理則直觀、形象、簡潔,這會使學生漸漸認為圖形是萬能的,這種定向思維追求過頭,形成一種思維定勢,有時會束縛思維的擴散,只知其一不知其二,甚至以點代面;其次,數式問題不一定存在簡捷的圖形背景,數形轉化的通道常常很狹窄,技巧性較高,將數式轉化為圖形對學生來說是難點;最后,在數形結合的使用過程中還要注意考慮一些細節問題,如圖形描繪顯然不能達到百分百的精確,特別是較為復雜的圖形,稍不小心,圖形給人造成的錯覺,就容易將我們局限在幾何圈子里,難以完全把握住它的規律而造成誤解。還有在式、形的相互轉化過程中,圖形是否存在,若存在又是否是等價的。
另外數形結合的思想不能獨立于數學知識和其它數學思想方法之外。同一數學內容可能蘊含著幾種不同的數學思想方法, 同一數學思想又常常分布在不同的數學知識之中。數學思想方法彼此間并非孤立,有時將它們結合起來,多管齊下,效果更好、更快。
摘要：數形結合是初等數學中一種基本又十分重要的思想方法,常常能為解決有關初等數學問題提供一條捷徑。而數與形的相互轉換,相互滲透,使得某些抽象的數學問題直觀化、生動化,變抽象思維為形象思維。數缺少形時少了直觀,形缺少數時難入微。本文簡要介紹了數形結合的概念以及在初等數學中的作用與地位,又從向量、函數、方程、不等式、集合、幾何等幾個方面通過具體問題來討論了巧妙利用數形結合思想解決初等數學問題。