教案是為教師設計使用的(一般不向學生公開),學案是教師為學生設計、由師生共同完成的(印發給學生),教案和學案的統一設計要體現兩者的融合,使兩者相輔相成、相得益彰。下面是小編為大家整理的《圓的標準方程教案1》的文章，希望能夠很好的幫助到大家，謝謝大家對小編的支持和鼓勵。
第一篇：圓的標準方程教案1
高中數學第四章圓與方程4.1.1圓的標準方程教案
圓的標準方程
教學目標
(1)在理解推導過程的基礎上，掌握圓的標準方程的形式特點，理解方程中各個字母的含義，能合理應用平面幾何中圓的有關性質，結合方程解決圓的有關問題.
(2)理解掌握圓的切線的求法.包括已知切點求切線;從圓外一點引切線;已知切線斜率求切線等.
教學重點和難點
重點：圓的標準方程的理解、應用;圓的切線方程.(已知切點求切線;從圓外一點引切線;已知切線斜率求切線).
難 點：從圓外一點引切線，求切線方程，已知切線斜率求切線.
教學過程設計
(一)導入新課，教師講授.
同學們，前面我們研究了直線(特殊的曲線)的方程及其有關問題，今天我們研究圓及與圓有關的問題.
什么是“圓”.想想初中我們學過的圓的定義.
“平面內與定點距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓”.
定點就是圓心，定長就是半徑.
根據圓的定義，我們來求圓心是c(a,b)，半徑是r的圓的方程.(引導學生推導)
設 M(x,y)是圓上任意一點，圓心坐標為(a,b)，半徑為r.
則│CM│=r,
兩邊平方. (x-a)
2+(y-b)2
=r2
,
我們得到圓的標準方程，
這就是圓心為C(a,b)，半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程. 如果圓的圓心在原點.O(0,0).即a=0.b=0.
問題1.說出下列圓的方程：
(1)圓心在點C(3, -4), 半徑為7. (2) 經過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3). 問題2 說出下列方程所表示的圓的圓心坐標和半徑：
(1) (x + 7)2 + ( y ? 4)2
= 36 (2) x2 + y2 ? 4x + 10y + 28 = 0 (3) (x ? a)2 + y 2
= m2
例1.寫出圓心為C(2，-3)，半徑長等于5的圓的方程，并判斷點 m1(5.-7)，m2(-5,-1) 是否在這個圓上。
跟蹤訓練
已知兩點M(3,8)和N(5,2). (1)求以MN為直徑的圓C的方程;
(2)試判斷P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圓上，在圓內，還是在圓外?
探究：在平面幾何中，如何確定點與圓的位置關 系? 點與圓的位置關系: (x2220-a)+(y0-b)>r時,點M在圓C外 (x2220-a)+(y0-b)=r時,點M在圓C上 (x2220-a)+(y0-b)
例2 ⊿ABC的三個頂點的坐標分別是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程
例3 己知圓心為C的圓經過點A(1,1)和B(2,-2),且圓心在直線l:x-y+1=0上,求圓心為C的圓的標準方程. (二)學生課堂練習
1.點(2a, 1 ? a)在圓x2
+ y2
= 4的內部,求實數 a 的取值范圍. 2.根據下列條件，求圓的方程：
(1)求過兩點A(0,4)和B(4,6),且圓心在直線x-y+1=0上的圓的標準方程。(2)圓心在直線5x-3y=8上，又與兩坐標軸相切，求圓的方程。 (3)求以C(1,3)為圓心，且和直線3x-4y-7=0相切的直線的方程。
1、課本練習題1.(1)x
2+y2
=9;(2)(x-3)2
+(y-4)2
=5;
(3)(x-8)2+(y+3)2
=25.
2、課本練習題2.x
2+y2
=196.
教師講授，師生研究
下面我們來研究圓的切線問題：
(1)已知切點坐標，求過這切點的切線方程.
例1 已知圓的方程是x2
+y2
=r2
，求經過圓上一點M(x0,y0)的切線的方程.
[分析]切線是直線，已知切線過切點，因此應從點斜式考慮，連接圓心O與切點M，切線l⊥OM，OM的斜率可求出，則切線的斜率l也可求出，由點斜式可得到切線的方程.
解： 設切線l的斜率為K，切線l：y-y0=K(x-x0),
∴切線l的方程是
這個公式很重要，要熟記其特征與各個字母的含義.
(2)已知切線的斜率，求切線的方程.
4 (三) 小結.圓的切線的求法.
(1)已知切點求切線，把切點(x2
0，y0)坐標代入公式x0x+y0y=r即得到切線方程.但這種代法對同學們來講，目前只適用于圓心在原點的圓.
(2)已知斜率求切線，可設切線的斜截式y=kx+b，代入圓的方程，由△=0，求出截距b.這種求法適用于圓心在原點的圓，計算量較小.
(3)過圓外一點作圓的切線，把切線高為點斜式，根據圓心到切線的距離等于半徑這一基本性質，確定斜率，得到切線.這一求法較有普遍性，同學們要牢牢掌握，圓心不在原點時，用起來方便. (四)課時小結 1.圓的標準方程 2.點與圓的位置關系 3.求圓的標準方程的方法：
①待定系數法
②幾何法
(五)作業.
習題7.6
1、
2、
4、5
5
第二篇：數學教案(圓的一般方程)
教學簡案
【課
題】圓的一般方程 【教學目標】
1、知識目標：(1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心和半徑，掌握方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件;
(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程，能用待定系數法求圓的方程。
(3)利用圓的方程解決與圓有關的實際問題。
2、能力目標：通過對方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件的探索，培養學生探索、發現及分析解決問題的實際能力。
3、情感目標：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。
【教學重點】圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間互化，根據已知條件確定方程中的系數D、E、F。
【教學難點】對圓的一般方程的認識、掌握和應用。 【教學方法】講授法，分析法。 【教學用具】多媒體輔助教學 【教學流程】
一、情景創設 問題1：
在平面直角坐標系中，以C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的方程是什么?
1 問題2：
將圓的標準方程展開整理后，能發現哪些特征?(尋找新知識的生長點)
結論：(多媒體顯示)
將(x?a)2?(y?b)2?r2 展開得x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0，我們發現任何圓都能表示為一個具有以下特征的x,y的二次方程：
(1)x2和y2項的系數同為1;
(2)不出現交叉乘積的二次項xy。
問題3：
x2?y2?2x?4y?6?0是圓的方程?若是，寫出圓心坐標和半徑;若不是，則說明理由
二、探索研究
二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件是什么?
(創設一種鼓勵的寬松的氛圍，讓學生充分發表自已的觀點，教師適當引導。)
二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，通過配方后可以化為
D2E2D2?E2?4F (x?)?(y?)?
224(1)當D2?E2?4F?0時，方程表示以(?為半徑的圓;
DE1,?)為圓心，D2?E2?4F222(2)當D2?E2?4F?0時，方程表示一個點(?DE,?); 22(3)當D2?E2?4F?0時，方程沒有實數解，因而方程不表示任何圖形。 板書：圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F?0)
2 指出：(1)圓心(?DE1,?)，半徑D2?E2?4F; 222 (2)圓的標準方程的優點在于它明確指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點;
(3)給出圓的一般方程，會寫出它的圓心和半徑;若給出相關條件，則能求出圓的方程。
三、應用舉例
例
1、判斷下列方程是否表示圓，如果是，并求出各圓的半徑和圓心坐標：
(1)x2?y2?6x?0;
(2)2x2?2y2?4x?8y?12?0;
(3)2x2?2y2?4x?8y?10?0; (4)x2?y2?6x?10?0;
(5)x2?2y2?4x?8y?10。
(解略)
例
2、求以O(0,0),A(1,1),B(4,2)為頂點的三角形的外接圓方程，并求出它的圓心和半徑。
(分析：應用圓的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，將已知三點的坐標代
入這個方程，得到一個三元一次方程組，解這個三元一次方程組，即可求得
圓的一般方程，對圓的一般方程配方即可求半徑長和圓心坐標。同時，將這
種求圓的一般方程的方法稱為“待定系數法”。)
四、課內練習
1、判定下列方程中，哪些是圓的方程?如果是，求出它們的圓心和半徑：
(1)2x2?2y2?4x?5?0;
(2)x2?y2?3x?4y?12?0;
3 (3)x2?2y2?4x?2y?5?0;
(4)?x2?2y2?4x?2y?1;
(5)3x2?4xy?(x?2y)2?4
2、求過三點A(2，2)，B(5，3)，C(3，-1)的圓的方程。
五、課內拓展
若圓x2?y2?Dx?Ey?F?0與y軸相切于原點，則D，E，F應滿足什么條件?若圓與y軸相切呢?
學生討論，各抒已見，相互補充，完善結論。
我們還可以繼續探究：如當圓與x軸相切;過原點;原點在圓內;等等情況時，系數D、E、F應滿足的條件。
八、歸納小結
(教師引導，由學生總結一節課的收獲，然后顯示幻燈片同時教師總結。)
五、布置作業
(1)課堂作業：《數學指導用書》第25頁課外習題1(1)(2)(3)(4)、
2、4。 (2)課外作業：《數學指導用書》第26頁課外習題
5、
6、7。
第三篇：高中數學教師資格面試《圓的一般方程》教案
2015山西教師招聘考試
高中數學教師資格面試《圓的一般方程》教案
一、教學目標 【知識與技能】
在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件。
【過程與方法】
通過對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，學生探索發現及分析解決問題的實際能力得到提高。
【情感態度與價值觀】
滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。
二、教學重難點 【重點】
掌握圓的一般方程，以及用待定系數法求圓的一般方程。 【難點】
二元二次方程與圓的一般方程及標準圓方程的關系。
三、教學過程
(一)復習舊知，引出課題
1.復習圓的標準方程，圓心、半徑。
2.提問1：已知圓心為(1,-2)、半徑為2的圓的方程是什么? (二)交流討論，探究新知
1.提問2：方程x2 +y2 -2x+4y+1=0是什么圖形?方程x2 +y2 -2x-4y+6=0表示什么圖形?任何圓的方程都是這樣的二元二次方程嗎?(通過此例分析引導學生使用配方法) 2.方程x2 +y2 +Dx+Ey+F=0什么條件下表示圓?(配方和展開由學生相互討論交流完成,教師最后展示結果) 將x2 +y2 +Dx+Ey+F=0配方得：
山西教師資格面試考試
山西特崗教師考試
2015山西教師招聘考試
3.學生在教師的引導下對方程分類討論，最后師生共同總結出3種情況，即圓的一般方程表示圓的條件。從而得出圓的一般方程是：x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 4.由學生歸納圓的一般方程的特點，師生共同總結。 (三)例題講解，深化新知
例1.判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程?如果是，請求出圓的圓心及半徑。
例2.求過三點A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。
(四)小結作業
師生共同總結今天這節課所學知識點 作業：分必做題和選做題。
四、板書設計
五、教學反思
更多教師資格面試開始盡在山西教師招聘網
山西教師資格面試考試
山西特崗教師考試
第四篇：直線與圓的方程的應用說課教案
人教版數學必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應用
直線與圓的方程的應用(說課教案)
蘄春一中 邵海建
各位專家、老師：
下午好!
我今天說課的內容是人教版數學必修2§4.2.3直線與圓的方程的應用，我講這節課的方式主要是從這幾個方面考慮。
教材分析
直線與圓的方程在生產、生活實踐及數學中有著廣泛的應用。本小節設置了兩道例題，分別說明直線與圓的方程在實際生活中的應用，以及用坐標法研究幾何問題的基本思想及其解題的過程。為此我確定了這節的重難點是： • 教學的重點:利用平面直角坐標系解決直線與圓的方程的應用; • 教學的難點:如何構建平面直角坐標系,利用平面直角坐標系與用其它的方法的解決直線與圓的方程的應用問題的優點。
教學目標
• 知識目標：利用平面直角坐標系解決直線與圓的方程的應用; • 能力目標：會用“數學結合”的數學思想解決問題，讓學生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應用，培養學生分析問題與解決問題的能力;
• 情感目標：通過建立平面直角坐標系解決直線與圓的方程的應用讓學生體會到數學的強大與數學的優美。
教法分析
新課程強調教師要調整自己的角色，改變傳統的教育方式，要體現出以人為本，以學生為中心，讓學生真正成為學習的主人而不是知識的奴隸?；脒@個我舉出一些生動有趣的問題讓學生去探討得到用坐標法解決問題的步驟，體會成功的快樂。
現代認知學認為，揭示知識的形成過程，對學生學習新知識是十分必要的。同時通過展現知識的發生、發展過程，給學生思考、探索、發現和創新提供了最大的空間，可以使學生在整個教學過程中始終處于積極的思維狀態，進而培養他們獨立思考和大膽求索的精神，這樣才能全面落實本節課的教學目標。
學情分析 人教版數學必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應用
學生在學這節知識前已經了解了在直角坐標系下直線的方程與圓的方程，以及直線與圓的位置關系等知識，但還沒有形成用代數的方法去解決幾何證明問題及實際應用題。為此我將本節課的內容分為以下幾個部分：舊知復習，新課引入，知識探究，舉一反三，實戰演練，課后練習。
教學過程
一.復習舊知:
• 大家知道確定一個圓需要哪些要素嗎? • 前面我們用什么方法研究直線與圓的有關問題?
設計意圖是讓學生回顧已學過的知識，從而達到溫故而知新。并能很好的認識到知識的形成過程。
二.新知引入
某城市中的高空觀覽車的高度是100m,在離觀覽車約150m 處有一建筑物
某人在離建筑物100m的地方剛好可以看到觀覽車，你根據上述數據，如何求 該建筑物的高度?人的身高可以忽略不計。
設計意圖是通過一個實際的例子讓學生產生興趣，想通過數學去解決問題從而對本節知識產生興趣。
三.新知探究
• 問題一.如何將這個實際問題用數學語言來描述? • 問題二.這個問題同學們有什么方法解決呢? • 問題三.能不能用圓的方程來做呢? 設計意圖是著名教育家玻利亞說過解決問題是對過去的回憶，讓目標調動你的記憶力。這也是本節課的難點，我讓學生合作，小組討論等形式得到答案。從而體會到探究的樂趣，也得到了解決問題新的方法。并看到坐標法的好處及數學的優美。時間要15分鐘。
四.舉一反三
題一. 圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長(精確到0.01) 題二. 已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半. 五.課堂演練
1.某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m.現有一船,寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過?
設計意圖是通過反復訓練讓學生對坐標法接受并能很好運用。 人教版數學必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應用
六.課后小結
1.用坐標法可以解決很多實際問題,對于幾何的研究實現了騰飛; 2.用坐標法解決直線與圓的方程的應用的三個步驟: 第一步：建立適當的平面直角坐標系,用坐標與方程表示問題中的幾何元素,將實際問題轉化為代數問題; 第二步：通過代數運算,解決代數問題; 第三步：把代數運算結果”翻譯”成實際表達的含義. 設計意圖是課堂小結是對這節課內容的一個總結與回顧，同時也能鍛煉學生對知識的歸納并能從歸納中得出新的結論。
七.課后訓練
1.看課本P124體會坐標法的價值; 2.課本P133A組第8題與B組第一題,第二題
設計意圖是這個課后訓練的設置含有兩個部分，一部分為閱讀材料，讓學生通過閱讀了解坐標法的發展并體會坐標 法的好處;另一部分則是進一步訓練學生掌握坐標法這個方法。
課后反思
根據建構主義理論及新課程標準，學生是學習的主體，同是學生在掌握知識更注重知識的形成過程。本節課是在我的引導下，對已學知識進行歸納、總結，以形成更系統、更完整的體系 ;對已學知識進一步加深理解，強化記憶，是一個再認識，再學習的過程，對已掌握的技能、規律、方法進行深化和進一步熟悉，提高學生分析、理解問題的能力。而在課后和部分學生交流發現學生對本節知識的運用很熟練，但有一些細節地方還待加強，比如如何合理構建直角坐標系，運算的熟練性。
第五篇：橢圓及其標準方程教案2
教學目的
(1)使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程;
(2)通過橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力.
教學過程
一、橢圓概念的引入
第一組問題——復習提問：
1.什么叫做曲線的方程?
2.直線方程的一般形式是什么?簡述直線與二元一次方程的關系.
3.圓的一般方程是什么?主要特征是什么?
對上述問題學生的回答基本正確，如一般同學均能初步了解曲線方程的意義，理解直線與二元一次方程Ax+By+C=0是一一對應關系，掌握圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，它是關于x、y的二元二次方
22程，且具有以下重要特征：(1)x與y的系數都是1;(2)缺xy這樣的項;(3)D2+E2-4F>0.
[溫故而知新，以舊帶新，便于引導學生在已有的知識基礎上去探求新知識.]
第二組問題——引導學生聯想、歸納、分析、發現新問題：
1.如前所述，每一個二元一次方程都表示一條直線，那么每一個二元二次方程是否都表示圓，若不是，具備什么條件下它所表示的曲線就不是圓?
對此問題學生一般能回答：“當x2與y2系數不相等時或xy項的系數不為零[有的同學指出不滿足上述條件(3)時]，這樣的方程所表示的曲線都不是圓.”
2.圓的幾何特征是什么?
一般學生能回答：“圓上任意一點到圓心(定點)的距離等于半徑(定長)”.這時要進一步提問：“除上述特征外，你還能說出具有哪些特征的點的軌跡也是圓?”啟發學生回憶所學的例題、習題中有關的軌跡命題.學生翻閱課本后能回答：
“到兩定點距離平方和為常量的動點軌跡是圓.”
“到兩定點距離之比為一常量的動點軌跡也是圓.”
(對此，經提示，有學生補充這一常量應不等于1，否則為線段的垂直平分線.)
“到兩定點連線斜率乘積等于-1的動點軌跡也是圓.”(當然還應除去兩定點.)
[啟發學生對已有的知識進行歸納、提煉，以便為新概念的引入作好自然的鋪墊.]
第三組問題——深入思考與探索：
1.一般二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0既然不完全表示圓，那么它還可能表示什么樣的曲線呢?當系數A、B、C、D、E取各種不同數值時，相應的方程代表的曲線將有什么差別呢?能否找到一般性規律，得出這些曲線的大致形象?
這些問題并不一定要求學生回答，旨在引起學生積極思考，激發學生強烈的探索欲望.
2.如上，我們已經知道“到兩定點距離平方和為常量”或“到兩定點距離之比為常量”的點的軌跡，你是否可類似地提出一些軌跡命題作更廣泛的探索?
類比的能力大部分學生是具備的(盡管程度有差別)，經過教師啟發引導，學生們會提出下列軌跡命題，如：
“到兩定點距離之和等于常量的動點軌跡.”
“到兩定點距離平方差等于常量的動點軌跡.”
“到兩定點距離之差等于常量的動點軌跡.”
“到定點與定直線距離相等的動點軌跡.”
以上是學生受到已做習題的啟發而提出的.
還有學生通過類比提出：
“到兩定點距離的立方和(差)等于常量的動點軌跡”;“到定點與定直線距離的比為常量的動點軌跡”;“到定點與定直線的距離和(差)等于常量的動點軌跡”;等等.
對同學們這種大膽設想，勇于探索的精神教師予以大力肯定，表示贊賞，并指出同學們所提出的這些問題正是我們后一段學習中要逐步解決的問題，而同學們自己也可運用坐標法探求它們的方程，根據方程描點畫圖，也可設法用實驗方法描繪具有這些特征的幾何圖形.
[以上從方程與曲線兩方面，也就是從數與形兩條“線路”引導學生聯想、分析、探索，這樣，引出新曲線的概念已是水到渠成了.]
譬如說，同學們提出的“若動點到兩定點距離之和等于常量，則此動點軌跡是什么?請同學們不妨嘗試一下，看看能否設計一種 繪圖方法，畫出符合這種幾何條件的軌跡.
(課前要求學生準備圖釘若干，細線一根.)
學生紛紛動手，相互磋商，觀摩，不一會大部分同學已畫出;再讓一個學生在黑板上用準備好的工具演示，同學們都高興地叫起來，軌跡是橢圓!
教師問：“橢圓，在哪些地方見過?”
有的學生說：“立體幾何中圓的直觀圖.”
(立體幾何中采取的也是近似畫法，但教材中已提出橢圓名稱.)
有的學生說：“人造衛星運行軌道.”
(這是學生從物理課本中了解的.)
有的學生說：“餅干罐頭盒，灑水車，裝油車等.”
教師指出：確切地說，應是它們的橫截面的輪廓線.
[按學生認識規律與心理特征引導學生自己分析、探索、啟發學生認識新的概念，至于新概念在實際中的形象也放手讓學生自己對照、回顧，增強實踐感受，這樣更有利于學生學習能力的培養.]
在上述基礎上，引導學生概括橢圓定義.學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點距離之和等于常量.這時教師通過演示(將穿有粉筆的細線拉到黑板平面外)啟發學生思考.學生認識到需加上限制條件：“在平面內.”教師則追問：“否則會形成什么幾何圖形?”學生想象到是橢球形.教師邊演示邊提示學生注意：這里的常量有什么限制嗎?若這個常量等于兩定點距離?小于呢?學生認識到，這時都不可能形成橢圓，前者變成了線段，后者軌跡不存在;若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常量大于兩定點之間的距離.”
這樣，學生得出了完整的橢圓定義：平面內到兩定點的距離之和等于常數(大于兩定點距離)的點的軌跡叫做橢圓.
教師順便指出：我們規定其中兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做焦距.
二、推導橢圓的標準方程
給出橢圓的定義后，教師即可提出：由橢圓定義，可以知道它的基本幾何特征，但對于這種新曲線還具有哪些性質，我們幾乎一無所知，因此需要利用坐標法先建立橢圓的方程.
[讓學生明確思維的目的，才能調動學生思維的積極性.]
如何建立曲線方程?首先應建立適當的坐標系.建立坐標系時，一般應符合簡單和諧化的原則.如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性.
[讓學生在思考議論中加強對這種優化原則的認識.]
這樣，大多數學生認識到下列選取方法是適宜的：
以兩定點F1.F2的連線為x軸;以線段F1F2的垂直平分線為y軸，設|F1F2|=2c(c>0)，M(x，y)為橢圓上任一點，則有F1(-c，0)，F2(c，0).
下面讓學生利用兩點間距離公式，根據橢圓定義即可寫出橢圓的方程
[正確選取坐標系是解析幾何解題的基本技巧之一，教學中應著重培養學生這方面的能力.]
教師指出：上面所得方程直接反映了橢圓定義所確定的橢圓本質屬性，但為了更進一步利用方程探討橢圓其他性質，需要盡量簡化方程形式，使數量關系更加明朗化.
(化簡方程可讓學生完成.)
多數學生利用初中簡化無理方程的一般方法進行，移項后兩邊平方逐步化去根號，與教材中化簡過程類似，教師在巡回觀察指導中，啟發幾個反映較快的學生仔細觀察兩個根號下代數式的特征，設法先化去其中一個根號.即將等式
[(x+c)2+y2]-[(x-c)2+y2]=4cx，
兩邊分別除以方程兩邊，即得
與原方程聯立易得
注意a>c，則可得
為使方程更為對稱和諧起見，由a2-c2>0，令a2-c2=b2，則得方程
[坐標法即用代數方法研究幾何問題，因此熟練運用代數變形技巧是十分重要的，學生常因運算能力不強而功虧一簣.缺乏一定的運算能力在解析幾何中幾乎是寸步難行，因此教學中必須注意不失時機加強運算技能的訓練!]
關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，教師可簡要作些提示：
若點(x′，y′)適合方程
則此點應在橢圓上，事實上由
由上述變形逆推即可得
注意到a>c，且|x′|≤a，則可知
即點(x′，y′)到兩定點F1和F2距離之和為2a.
故點(x′，y′)必在橢圓上.
教師指出：由于我們恰當地選取了坐標系，充分運用了圖形的對稱特征，因此得到的方程簡單、對稱，具有和諧美，特別便于根據方程分析研究橢圓許多有趣的性質.這一簡化的方程稱為橢圓的標準方程(焦點在x軸上).
三、供課后思考的參考題
1.推導橢圓方程時，若使焦點在y軸上[即為F1(0，-c)，F2(0，c)]，你能知道此時方程形式嗎?它與焦點在x軸上的方程有何聯系?
(1)橢圓的對稱性;(2)橢圓的范圍及常數a、b具有什么幾何特征;(3)這一方程與圓x2+y2=a2作一比較，兩者有何聯系?由兩方程分別得出
回顧三角函數圖像y=Asinx與y=sinx的關系你能提出什么設想?
等式中發現橢圓的又一重要特征嗎?
教案說明
(1)這份教案是針對重點中學班級設計的，也在筆者所在學校不止一次實施過.教案設計的基本指導思想是著眼于提高學生學習數學的自覺性與基本學習能力，增強課堂教學的啟發性與培養性，因此教學安排與一般設想不同.目前教學中常受考試干擾，比較注重實用性與所謂“硬指標”.如本節課常常直接給出定義，盡快得出兩種標準方程，舉例示范，使學生課外能學會使用方程解答課本習題.而這份教案卻花一定氣力引導學生回顧、探索、分析，然后引出橢圓的概念，隨后只建立了焦點在x軸上的標準方程，并沒有要求學生會使用;另外關于由方程研究橢圓性質常常安排在后面的課內，這里卻又提前讓學生思考，似乎都是“軟指標”，在考試中也不一定用得上.不同的設想反映出不同的著眼點與數學教學目的的認識差別，把知識與方法作為結果給予學生，還是著重引導學生領悟獲得這些結果的思想與方法，是把學生作為接受教師傳授知識的客體，還是增強學生的內在活力，使學生成為自覺主動學習的主體.本教案如前所述，重點放在概念引入與方程建立的思維過程上，從圓錐曲線整體結構考慮，讓學生獲得比較完整的認識過程，初步建立起總體思維框架，至于結果的熟練與運用在以后的逐步強化訓練中是不難達到的.教學的實踐也證明，這樣是有利于學生基本數學素質的提高，在以后的雙曲線、拋物線的教學中可見其成效.
(2)這份教案設計的另一思想是探索在基礎知識教學過程中如何加強學生能力的培養.數學上每一個重要概念的引入與定義，每一個重要定理(法則、公式)的發現與推證，幾乎都歷經前人長期觀察、比較、分析、抽象、概括、創造的漫長過程.這樣長期的探索過程中往往蘊含著數學中一些重要的思想方法，對思維有著重要的啟迪作用，教學中若不充分認識甚至放棄這些絕好的培養機會，將是教學上的重大失策.當然，作為教學不必要(也不可能)完全重復前人漫長的探索過程，但若細心體會、抓住方法的精神實質，精心組織設計，創造良好情景，就可使多數學生處于亢奮狀態，增強探索者的自信心理，學習前人的探究精神，逐步領會其中的主要思想方法.在教學中長期堅持這樣做，必可大大提高學生的思維素質與學習能力，使教學獲得良好的效果.