二項式定理教案范文第1篇
學習目標:
1、通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法;
2、會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題;
3、通過正弦定理的探究學習，培養學生探索數學規律的思維能力，培養學生用數學的方法解決實際問題的能力，激發學生對數學學習的熱情。
教學重點:正弦定理的證明及基本運用。
教學難點:正弦定理的探索和證明及靈活應用。
一、預習案: “我學習，我主動，我參與，我收獲!”
1、預習教材P45---48
2、基礎知識梳理：
(1)正弦定理
在一個三角形中，各邊和它所對角的_______________的比相等，即在?ABC中,___________=__________=____________=2R. ，(其中2R 為外接圓直徑)
(2)由正弦定理
abc???2R可以得到哪些變形公式? sinAsinBsinC
(3)三角形常用面積公式：
對于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三
邊的對角，則三角形的面積為：
①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高).②S?ABC1211?absinC?acsinB?____________. 2
23、預習自測：
(1)有關正弦定理的敘述：
①正弦定理只適用于銳角三角形;
②正弦定理不適用于直角三角形;
③在某一確定的三角形中，各邊與它的對角的正弦的比是定值;
④在?ABC中，sinA:sinB:sinC
其中正確的個數是()
A、1B、2C、3D、
4(2)在?ABC中，一定成立的等式是( ).
A. a sin A = b sin BB. a cos A = b cos B
C. a sin B = b sin AD. a cos B = b cos A
(3)在?ABC中,sinA?sinC,則?ABC是()
A、直角三角形 B、等腰三角形C、銳角三角形 D、鈍角三角形
(4) 在?ABC中，三個內角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知
A:B:C=1:2:3,則a：b：c=_____________________. ?a:b:c。
我的疑惑:__________________________________________
二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高!”
探究
一、敘述并證明正弦定理。
探究
二、在?
ABC中，已知?B?30?,AB?面積S?ABC試求BC。
探究
三、已知?ABC中，bsinB?csinC,且sin2A?sin2B?sin2C,試判斷?ABC的形狀。
合作探究后談談你的解題思路。
規律方法總結：_________________________________________
訓練案：“我實踐，我練習，我開竅，我聰慧!”
1、在?
ABC中，ABAC?1,且?B,?A,?C成等差數列，求?ABC的面積。
2、在?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，且
試判斷?ABC的形狀。
?cosAcosabBcos?cC，
我的收獲
-----反思靜悟體驗成功
二項式定理教案范文第2篇
眾所周知, 描述實數集連續性有六大定理:確界原理、單調有界定理、區間套定理、有限覆蓋定理、聚點定理和柯西收斂準則, 且它們彼此互相等價, 在很多教材[1～3]中都有給出證明。有限覆蓋定理的著眼點是閉區間的整體, 而其它幾個定理的著眼點是一點的局部。因為它們形式上的這種區別, 所以在證明問題中也有不同的功用, 而且證明方法和難易程度也不盡相同。一般地, 但凡證明的結論涉及到閉區間的問題, 可以考慮使用有限覆蓋定理, 凡是證明的結論涉及到一點的問題, 可以考慮使用其他幾個等價定理。但是應用反證法時整體 (即閉區間) 與局部 (即一點) 又可以相互轉化。在本文的最后一節, 我們將以致密性定理的證明為例來介紹這兩個定理的應用區別。
由于實數完備性定理的應用向來是學生學習的一大難點。本文選取六大定理中的區間套定理和有限覆蓋定理為例, 對定理的條件作深入分析:因為定理中“閉區間”換為“開區間”結論可能不成立, 那么考慮添加怎樣的條件后, 可保證對“開區間”結論仍成立?我們得到較好的結果, 并以定理給出。
1 區間套定理的注記
區間套定理是實數完備性系列定理之一, 《數學分析》中許多定理的證明用到區間套定理, 如:聚點定理、有限覆蓋定理、柯西收斂準則、連續函數的介值定理及根的存在性定理等的證明。它的主要特點是把整體性質收縮到某一點的任意鄰域, 這樣“化整為零”, 又利于極限方法的運用。
定理1.1若是一個閉區間套, 即:
則在實數系中存在唯一的一點使得。
注記1.1定理中要求區間套中各區間都為閉區間, 定理的結論才成立。對滿足定理中條件 (1) 和 (2) 的開區間套, 定理結論不一定成立。見例 (1) 。但可減弱為下面定理1.2的條件。
例 (1) 滿足定理2.1中區間套的條件1) 和2) , 但不存在屬于所有開區間的公共點。
定理1.2若是一個嚴格開區間套, 即滿足且, 則在實數系中存在唯一的一點, 使得證明
考慮閉區間套, 則有定理2.1知:
在實數系中存在唯一的一點, 使得
事實上。下面只要證明:
假設存在某個, 使得, 則有嚴格開區間套得:, 這與矛盾。故對任意的。
同理可證:對任意的。
2 有限覆蓋定理的注記
有限覆蓋定理是實數完備性定理中唯一一個反應整體性質的定理, 也是一個重要定理。它揭示了閉區間的一個本質性質:緊致性, 它在極限理論中特別是連續性問題中起著重要作用。
定義2.1設S為數軸上的點集, H為開區間的集合。若S中任何一點都含在H中至少一個開區間內, 則稱S為H的一個開覆蓋, 或稱H覆蓋S。若H中開區間的個數是無限 (有限) 的, 則稱H為S的一個無限開覆蓋 (有限開覆蓋) 。
定理2.1設H為[a, b]閉區間的一個無限開覆蓋, 則從H中可選出有限個開區間來覆蓋[a, b]。
注記2.1定理中要求對“閉區間”的無限開覆蓋才有有限開覆蓋。對“開區間”的無限開覆蓋不一定有有限開覆蓋。見例 (2) 但條件減弱為下面定理2.2中的條件時, 結論仍成立。
例 (2) 開區間 (0, 1) 可由覆蓋, 但不存在H中有限個開區間覆蓋 (0, 1) 。
定理2.2設H是開區間 (0, 1) 的一個無限開覆蓋, 對于任意小的 (可以與H有關的) , 使得都至多含于H的有限個開區間內, 則從中可選出有限個開區間來覆蓋 (a, b) 。
證法一:反證法。假設定理結論不成立, 即不能用H的有限個開區間來覆蓋 (a, b) 。將 (a, b) 等分為兩個子區間, 則其中至少有一個不能用H的有限個開區間來覆蓋, 記這個子區間為, 則。
再將等分為兩個子區間, 則其中至少有一個不能用H的有限個開區間來覆蓋, 記這個子區間為。
由于存在某個都至多含于H的有限個開區間內, 故經過有限次 (不妨設H次) 上述對分后, 一定可以得到閉區間, 不能用H的有限個開區間來覆蓋。
再一直對分下去, 可以得到閉區間套, 所有不能用H的有限個開區間來覆蓋。由閉區間套定理知:存在唯一的點:
。由于H是開區間 (a, b) 的一個無限開覆蓋, 故存在開區間于是當n充分大時, 有, 這表明可以用H的一個開區間來覆蓋, 與挑選時不能用H的有限個開區間來覆蓋相矛盾。從而證得必存在H的有限個開區間來覆蓋 (a, b) 。
證法二:用定理2.1.由題設可以被H覆蓋, 由定理2.1知:存在H的有限開覆蓋來覆蓋, 又對于任意小的 (可以與H有關的) , 使得都至多含于H的有限個開區間內, 故都至多含于H的有限個開區間內, 從而可以從H中選出有限個開區間來覆蓋 (a, b) 。
3 用區間套定理和有限覆蓋定理證明致密性定理
本節我們以致密性定理的證明為例介紹區間套定理和有限覆蓋定理的證明方法。
用區間套定理證明問題時, 關鍵是構造一個滿足一定條件的區間套, 再由區間套定理套出一個“公共點”, 這個點一般就是滿足要求的點。
當我們想把閉區間上每一點的局部性質擴充到整個閉區間上為整體性質時, 就可以考慮用有限覆蓋定理。
例 (3) 利用有限覆蓋定理證明:閉區間上連續函數的有界性。 (略)
定理3.1 (致密性定理) 有界數列一定有收斂的子列。
證法一 (用區間套定理) 設數列有界, 即存在M>0, 使-M
將區間[-M, M]等分為兩個子區間, 則其中之一必含有無限多項, 記此子區間為, 。再將等分為兩個子區間, 則其中之一必含有無限多項, 記此子區間為。依次下去可得閉區間套, 且每個無限多項。
摘要：本文對描述實數連續性的兩個定理:區間套定理和有限覆蓋定理的條件進行分析, 給出定理中條件“閉區間”換為“開區間”后, 怎樣修改條件可使結論仍然成立。并以致密性定理的證明為例來介紹區間套定理和有限覆蓋定理的應用區別。
關鍵詞：實數連續性,區間套定理,有限覆蓋定理,致密性定理
參考文獻
[1] 華東師范大學數學系.數學分析 (上冊) (第三版) [M].高等教育出版社, 2001.
[2] 歐陽光中, 朱學炎, 秦曾復.數學分析[M].上海:上?？茖W技術出版社, 1982.
二項式定理教案范文第3篇
300多年以前，法國數學家費馬在一本書的空白處寫下了一個定理：“設n是大于2的正整數，則不定方程xn+yn=沒有非零整數解”。費馬宣稱他發現了這個定理的一個真正奇妙的證明，但因書上空白太小，他寫不下他的證明。300多年過去了，不知有多少專業數學家和業余數學愛好者絞盡腦汁企圖證明它，但不是無功而返就是進展甚微。這就是純數學中最著名的定理—費馬大定理。
費馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的數學家，他最初學習法律并以當律師謀生，后來成為議會議員，數學只不過是他的業余愛好，只能利用閑暇來研究。雖然年近30才認真注意數學，但費馬對數論和微積分做出了第一流的貢獻。他與笛卡兒幾乎同時創立了解析幾何，同時又是17世紀興起的概率論的探索者之一。費馬特別愛好數論，提出了許多定理，但費馬只對其中一個定理給出了證明要點，其他定理除一個被證明是錯的，一個未被證明外，其余的陸續被后來的數學家所證實。這唯一未被證明的定理就是上面所說的費馬大定理，因為是最后一個未被證明對或錯的定理，所以又稱為費馬最后定理。
費馬大定理雖然至今仍沒有完全被證明，但已經有了很大進展，特別是最近幾十年，進展更快。1976年瓦格斯塔夫證明了對小于105的素數費馬大定理都成立。1983年一位年輕的德國數學家法爾廷斯證明了不定方程xn+yn=z只能有有限多組解，他的突出貢獻使他在1986年獲得了數學界的最高獎之一費爾茲獎。1993年英國數學家威爾斯宣布證明了費馬大定理，但隨后發現了證明中的一個漏洞并作了修正。雖然威爾斯證明費馬大定理還沒有得到數學界的一致公認，但大多數數學家認為他證明的思路是正確的。毫無疑問，這使人們看到了希望。
二項式定理教案范文第4篇
(營山中學四川營山 637700)
費馬大定理：一個正整數的三次以上的冪不能分為兩正整數的同次冪之和。即不定方程zn?xn?yn當n≥3時無正整數解。
證明：當n=2時，有z2?x2?y2
∴x2?z2?y2?(z?y)(z?y)(1)
令 (z?y)?2m2 則 z?y?2m2代入(1)得
x2?z2?y2?2m2(2y?2m2)?22m2(y?m2)?22m2l2
22∴x?2mly?l2?m2z?l?m
當n=3時，有z3?x3?y3
∴x3?z3?y3?(z?y)(z2?zy?y2)(2)
令 (z?y)?32m3 則 z?y?32m3代入(2)得
3x3?z3?y3?32m[ (y?32m3)2?(y?32m3)y?y2]
?32m3(3y2?3?32m3y?34m6)?33m3(y2?32m3y?33m6)
若方程z3?x3?y3有正整數解，則(y2?32m3y?33m6)為某正整數的三次冪，即
(y2?32m3y?33m6)?l3
∴ y(y?32m3)?l3?33m6?(l?3m2)(l2?3m2l?32m4)
則必有 y?(l?3m)和y?3m?(l?3ml?3m)，而y,m,l都取正整數時，這兩等式是不可能同時成立的。所以(y?3my?3m)?l不成立。即x不可能取得正整數。所以，當n=3時，方程z?x?y無正整數解。
當n>3時，同理可證方程z?x?y無正整數解。
定理得證。
二項式定理教案范文第5篇
(營山中學四川營山 637700)
費馬大定理：一個正整數的三次以上的冪不能分為兩正整數的同次冪之和。即不定方程zn?xn?yn當n≥3時無正整數解。
證明：當n=2時，有z2?x2?y2
∴x2?z2?y2?(z?y)(z?y)(1)
令 (z?y)?2m2 則 z?y?2m2代入(1)得
x2?z2?y2?2m2(2y?2m2)?22m2(y?m2)?22m2l2
22∴x?2mly?l2?m2z?l?m
當n=3時，有z3?x3?y3
∴x3?z3?y3?(z?y)(z2?zy?y2)(2)
令 (z?y)?32m3 則 z?y?32m3代入(2)得
3x3?z3?y3?32m[ (y?32m3)2?(y?32m3)y?y2]
?32m3(3y2?3?32m3y?34m6)?33m3(y2?32m3y?33m6)
若方程z3?x3?y3有正整數解，則(y2?32m3y?33m6)為某正整數的三次冪，即
(y2?32m3y?33m6)?l3
∴ y(y?32m3)?l3?33m6?(l?3m2)(l2?3m2l?32m4)
則必有 y?(l?3m)和y?3m?(l?3ml?3m)，而y,m,l都取正整數時，這兩等式是不可能同時成立的。所以(y?3my?3m)?l不成立。即x不可能取得正整數。所以，當n=3時，方程z?x?y無正整數解。
當n>3時，同理可證方程z?x?y無正整數解。
定理得證。
二項式定理教案范文第6篇
總所周知，x+y=z有無窮多組整數解，稱為一個三元組;x^2+y^2=z^2也有無窮多組整數解，這個結論在畢達哥拉斯時代就被他的學生證明，稱為畢達哥拉斯三元組，我們中國人稱他們為勾股數。但x^3+y^3=z^3卻始終沒找到整數解，最接近的是：6^3+8^3=9^-1，還是差了1。于是迄今為止最偉大的業余數學家費馬提出了猜想：總的來說，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。也就是：
x^n+y^n=z^n，當n大于2時沒有整數解。
這是一個描述起來非常簡單的猜想，但358年來困擾了包括歐拉和柯西在內的一代代大數學家，他們得到了一些進展，比如當n等于3和4時猜想成立，但x、y、z和n的取值范圍是無限的，要證明整個猜想談何容易!更氣人的是費馬在一本書的頁邊處寫下這個猜想后還加了一個評注：我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。這不是一種赤裸裸的挑戰嘛。
1984年事情有了轉機，一個叫弗萊的德國數學家提出，如果費馬猜想不成立，那個就可以找到三個整數使方程成立，表示為：
A^N+B^N=C^N，接著他通過復雜的變換，這個等式轉換成了一個橢圓方程：
y^2=x^3+(A^N-B^N)*x^2-A^N*B^N
而這個橢圓曲線太過古怪，他斷定由于這個由假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程是如此古怪，所以它不可能模形式化。后來一個叫里貝特的數學家嚴格證明了這個橢圓方程確實不能模形式化。
現在必須要說明啥叫橢圓方程的模形式化了，而說明這個問題以前還得介紹啥叫橢圓方程和模形式。
橢圓方程是形如y^2=x^3+a*x^2+b*x+c方程(a，b，c是任何整數)，對這種方程的一個重要研究領域就是研究每一類橢圓方程的整數解個數，但當x和y的取值是無限時研究起來就很困難。于是科學家就發明了在時鐘算術中研究每類橢圓方程的整數解。何為時鐘算術呢，就是把正常數軸延伸到正負無窮的兩端接起來，這個圈有幾格就算幾格時鐘算術，比如我們的手表就是在實踐12格時鐘算術。它有如下性質：
3+11=2
3*4=0
5+6=11
等等。這樣求橢圓方程的整數解就方便了。如果一個橢圓方程在1格時鐘算術中有1個解，2格時鐘算術中有4個解，3格時鐘算術中有4個解，4格時鐘算術中有8個解，5格時鐘算術中有4個解，6格時鐘算術中有16個解等等，我們就可以記錄為：
E1=1
E2=4
E3=4
E4=8
E5=4
E6=16
.
.
.
這成為這個橢圓方程的 E-序列。每個橢圓方程的E-序列就像它的DNA一樣濃縮這它的特征信息。
模形式是在由兩根實軸和兩根虛周組成的四維復空間里的超對稱結構，而每一個模形式都可以拆成各種基本要素的組合組成的，比如一個模形式是由1個1號要素，3個2號要素，2個3號要素組成，那么這個模形式的M-序列就可以寫成：
M-序列：
M1=1
M2=3
M3=2
.
.
.
正如E-序列包含了橢圓方程的特征信息一樣，模形式的M-序列也包含了各個模形式的特征信息，是模形式的DNA。
1955年在東京舉行的一個學術會議上日本青年數學家谷山豐和志村五郎提出了一個猜想：一個橢圓方程的E-序列一定和一個模形式的M-序列完全對應。這就叫橢圓方程的模形式化。這是一個驚天的猜想，在它被證明以前就得到了廣泛應用，幾百篇論文是這樣開頭的：如果谷山-志村猜想成立。
現在的問題清楚了，如果谷山-志村猜想成立，那個每一個橢圓方程都可以模形式化，而由假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程卻被證明不可以模形式化，這樣就引出了矛盾。于是谷山-志村猜想成立和費馬猜想不成立這兩個假設不可能同時成立。所以只要證明了谷山-志村猜想，那費馬猜想不成立的假設就被推翻，于是費馬猜想也被證明了。
于是真正的英雄出場了。安德魯懷爾斯在知道假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程被證明不能模形式化后受到震撼，也備受鼓舞，于是重拾童年時的夢想于1986年開始了7年的秘密研究，目標就是證明谷山-志村猜想，也即等價證明費馬猜想。他先用一年時間思考用什么方法來證明，最后選定數學歸納法。他用群論的方法順利證明每個橢圓方程的E-序列第一項都和某個模形式M-序列的第一項相等，第二步是個假設每個橢圓方程的E-序列第n項都和某個模形式M-序列的第n項相等，第三步是艱辛的，要證明如果第二步假設成立就每個橢圓方程的E-序列第n+1項都和某個模形式M-序列的第n+1項相等。開始他采用了經過自己加強的伊娃沙娃理論來證明第三步，但到了第5年他感到伊娃沙娃理論沒法得到他想要的結論。懷爾斯暫時結束半隱居狀態，回到學術圈，想看看別的數學家有沒有新的可利用的理論，他確實在老師的無意談論中找到了科利瓦金-弗萊切方法，這個方法正對懷爾斯的需要，他在強化這個方法后取得了突破進展，到1993年1月他第一次向一個他認為可靠的同事透露他的研究，并請他審閱自己的手稿。他們采用了一種狡黠的方式開展這項工作，由懷爾斯開了一門研究生課程“橢圓曲線的計算”，專門講他的手稿。這個叫凱茲的同事也坐在研究生們中間，很快枯燥艱深的演算把不明就里的研究生們都嚇跑了，凱茲成了唯一的聽眾，正好開展審閱手稿工作。1993年5月末，懷爾斯借助一個19世紀的數學構造完成了最后一簇橢圓方程的證明。93年6月23日懷爾斯在劍橋舉行的學術會議上公布了證明。會后200多頁的證明手稿被分成6部分由6名審稿人審稿。審稿采用審稿人在世界各地審稿，針對存在的問題用電子郵件向懷爾斯提問，開始進展順利，審稿人的問題被懷爾斯半天到3天就給以解答。但9月份還是那個凱茲同事提的一個問題徹底難住了懷爾斯，這個問題是“在半穩定情況下，塞爾默群的精確上界的計算還不完全”。在將近一年的彌補這個漏洞的掙扎
中，數學界很焦急，也很騷動，大家要求懷爾斯公開手稿，大家來幫他，可懷爾斯拒絕了，最后有些數學家開始惡搞懷爾斯了，編他的愚人節笑話。第二年9月19日的清晨，懷爾斯又坐在書桌前檢查科利瓦金-弗萊切方法，這次他不是相信這個方法還能完成證明，而只是想看看它為啥行不通。突然靈光閃現，他突然發現科利瓦金-弗萊切方法本身行不通但卻可以使他拋棄的伊娃沙娃方法生效!有些事情就是這樣的，長期的努力本來就接近突破，但過份的執著和焦慮阻礙你的心智，所以沒法實現飛躍，但當你認為沒辦法了準備放棄，放松心態冷靜下來時反而靈感突發取得突破。當年阿難尊者被邀請在第一次佛經結集時口頌佛經，可他當時還沒有證阿羅漢果，沒有資格參加結集，所以他抓緊時間努力修行，爭取馬上證果，可越是緊越沒法達成心愿。到了結集這一天，尊者一看天都亮了，自己還沒證阿羅漢果，就想沒指望了，于是連日修行的疲憊身心放松下來，準備睡一下覺，當他往下躺，頭還沒碰到枕頭的空中夙世的因緣成熟，尊者一下子證得阿羅漢果!他得以參加結集，說了他的萬古名言“如是我聞”。
接下來事情就順利了，200頁的手稿被雙劍合璧地縮減成了130頁，最后發表在《數學年刊》1995年5月刊上。因為這個成果懷爾斯獲得了沃爾夫獎和菲爾茲特別獎(超齡，破格)。正義戰勝了邪惡，王子公主從此過上了幸福的生活。
注：本帖子取材于《費馬大定理》 上海譯文出版社
上世紀后半頁，理論數學家們陷入了十分尷尬的境地，一方面他們已經很久沒做出突破性工作，一方面借助計算機的機器證明開始興起，著名的四色猜想就是機器證明的。數學家們不喜歡使用蠻力的窮舉法機器證明，也詬病機器證明的程序沒法完全保證沒有bug，以及沒法驗證，但心里也是頗為酸楚的。這個時候救星出現了，他叫安德魯懷爾斯，是普林斯頓大學的教授，美籍英裔，劍橋大學出身，橢圓曲線頂級專家。他躲在閣樓成一統，7年孤獨磨一劍，又經過一年的審稿煉獄，最終證明了費馬大定理!那么何為費馬大定理呢?
總所周知，x+y=z有無窮多組整數解，稱為一個三元組;x^2+y^2=z^2也有無窮多組整數解，這個結論在畢達哥拉斯時代就被他的學生證明，稱為畢達哥拉斯三元組，我們中國人稱他們為勾股數。但x^3+y^3=z^3卻始終沒找到整數解，最接近的是：6^3+8^3=9^3-1，還是差了
1。于是迄今為止最偉大的業余數學家費馬提出了猜想：總的來說，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。也就是：
x^n+y^n=z^n，當n大于2時沒有整數解。
這是一個描述起來非常簡單的猜想，但358年來困擾了包括歐拉和柯西在內的一代代大數學家，他們得到了一些進展，比如當n等于3和4時猜想成立，但x、y、z和n的取值范圍是無限的，要證明整個猜想談何容易!更氣人的是費馬在一本書的頁邊處寫下這個猜想后還加了一個評注：我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。這不是一種赤裸裸的挑戰嘛。
1984年事情有了轉機，一個叫弗萊的德國數學家提出，如果費馬猜想不成立，那個就可以找到三個整數使方程成立，表示為：
A^N+B^N=C^N，接著他通過復雜的變換，這個等式轉換成了一個橢圓方程：
y^2=x^3+(A^N-B^N)*x^2-A^N*B^N
而這個橢圓曲線太過古怪，他斷定由于這個由假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程是如此古怪，所以它不可能模形式化。后來一個叫里貝特的數學家嚴格證明了這個橢圓方程確實不能模形式化。
現在必須要說明啥叫橢圓方程的模形式化了，而說明這個問題以前還得介紹啥叫橢圓方程和模形式。
橢圓方程是形如y^2=x^3+a*x^2+b*x+c方程(a，b，c是任何整數)，對這種方程的一個重要研究領域就是研究每一類橢圓方程的整數解個數，但當x和y的取值是無限時研究起來就
很困難。于是科學家就發明了在時鐘算術中研究每類橢圓方程的整數解。何為時鐘算術呢，就是把正常數軸延伸到正負無窮的兩端接起來，這個圈有幾格就算幾格時鐘算術，比如我們的手表就是在實踐12格時鐘算術。它有如下性質：
3+11=2
3*4=0
5+6=11
等等。這樣求橢圓方程的整數解就方便了。如果一個橢圓方程在1格時鐘算術中有1個解，2格時鐘算術中有4個解，3格時鐘算術中有4個解，4格時鐘算術中有8個解，5格時鐘算術中有4個解，6格時鐘算術中有16個解等等，我們就可以記錄為：
E1=1
E2=4
E3=4
E4=8
E5=4
E6=16
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這成為這個橢圓方程的 E-序列。每個橢圓方程的E-序列就像它的DNA一樣濃縮這它的特征信息。
模形式是在由兩根實軸和兩根虛軸組成的四維復空間里的超對稱結構，而每一個模形式都可以拆成各種基本要素的組合組成的，比如一個模形式是由1個1號要素，3個2號要素，2個3號要素組成，那么這個模形式的M-序列就可以寫成：
M-序列：
M1=1
M2=3
M3=2
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正如E-序列包含了橢圓方程的特征信息一樣，模形式的M-序列也包含了各個模形式的特征信息，是模形式的DNA。
1955年在東京舉行的一個學術會議上日本青年數學家谷山豐和志村五郎提出了一個猜想：一個橢圓方程的E-序列一定和一個模形式的M-序列完全對應。這就叫橢圓方程的模形式化。這是一個驚天的猜想，在它被證明以前就得到了廣泛應用，幾百篇論文是這樣開頭的：如果谷山-志村猜想成立。
現在的問題清楚了，如果谷山-志村猜想成立，那個每一個橢圓方程都可以模形式化，而由假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程卻被證明不可以模形式化，這樣就引出了矛盾。于是谷山-志村猜想成立和費馬猜想不成立這兩個假設不可能同時成立。所以只要證明了谷山-志村猜想，那費馬猜想不成立的假設就被推翻，于是費馬猜想也被證明了。
于是真正的英雄出場了。安德魯懷爾斯在知道假設費馬猜想不成立引出的橢圓方程被證明不能模形式化后受到震撼，也備受鼓舞，于是重拾童年時的夢想于1986年開始了7年的秘密研究，目標就是證明谷山-志村猜想，也即等價證明費馬猜想。他先用一年時間思考用什么方法來證明，最后選定數學歸納法。他用群論的方法順利證明每個橢圓方程的E-序列第
一項都和某個模形式M-序列的第一項相等，第二步是個假設每個橢圓方程的E-序列第n項都和某個模形式M-序列的第n項相等，第三步是艱辛的，要證明如果第二步假設成立就每個橢圓方程的E-序列第n+1項都和某個模形式M-序列的第n+1項相等。開始他采用了經過自己加強的伊娃沙娃理論來證明第三步，但到了第5年他感到伊娃沙娃理論沒法得到他想要的結論。懷爾斯暫時結束半隱居狀態，回到學術圈，想看看別的數學家有沒有新的可利用的理論，他確實在老師的無意談論中找到了科利瓦金-弗萊切方法，這個方法正對懷爾斯的需要，他在強化這個方法后取得了突破進展，到1993年1月他第一次向一個他認為可靠的同事透露他的研究，并請他審閱自己的手稿。他們采用了一種狡黠的方式開展這項工作，由懷爾斯開了一門研究生課程“橢圓曲線的計算”，專門講他的手稿。這個叫凱茲的同事也坐在研究生們中間，很快枯燥艱深的演算把不明就里的研究生們都嚇跑了，凱茲成了唯一的聽眾，正好開展審閱手稿工作。1993年5月末，懷爾斯借助一個19世紀的數學構造完成了最后一簇橢圓方程的證明。93年6月23日懷爾斯在劍橋舉行的學術會議上公布了證明。會后200多頁的證明手稿被分成6部分由6名審稿人審稿。審稿采用審稿人在世界各地審稿，針對存在的問題用電子郵件向懷爾斯提問，開始進展順利，審稿人的問題被懷爾斯半天到3天就給以解答。但9月份還是那個凱茲同事提的一個問題徹底難住了懷爾斯，這個問題是“在半穩定情況下，塞爾默群的精確上界的計算還不完全”。在將近一年的彌補這個漏洞的掙扎中，數學界很焦急，也很騷動，大家要求懷爾斯公開手稿，大家來幫他，可懷爾斯拒絕了，最后有些數學家開始惡搞懷爾斯了，編他的愚人節笑話。第二年9月19日的清晨，懷爾斯又坐在書桌前檢查科利瓦金-弗萊切方法，這次他不是相信這個方法還能完成證明，而只是想看看它為啥行不通。突然靈光閃現，他突然發現科利瓦金-弗萊切方法本身行不通但卻可以使他拋棄的伊娃沙娃方法生效!有些事情就是這樣的，長期的努力本來就接近突破，但過份的執著和焦慮阻礙你的心智，所以沒法實現飛躍，但當你認為沒辦法了準備放棄，放松心態冷靜下來時反而靈感突發取得突破。當年阿難尊者被邀請在第一次佛經結集時口頌佛經，可他當時還沒有證阿羅漢果，沒有資格參加結集，所以他抓緊時間努力修行，爭取馬上證果，可越是緊越沒法達成心愿。到了結集這一天，尊者一看天都亮了，自己還沒證阿羅漢果，就想沒指望了，于是連日修行的疲憊身心放松下來，準備睡一下覺，當他往下躺，頭還沒碰到枕頭的空中夙世的因緣成熟，尊者一下子證得阿羅漢果!他得以參加結集，說了他的萬古名言“如是我聞”。
接下來事情就順利了，200頁的手稿被雙劍合璧地縮減成了130頁，最后發表在《數學年刊》1995年5月刊上。因為這個成果懷爾斯獲得了沃爾夫獎和菲爾茲特別獎(超齡，破格)。正義戰勝了邪惡，王子公主從此過上了幸福的生活。
注：本帖子取材于《費馬大定理》 上海譯文出版社
baryon定理的證明如下：
引理：大于3的素數加1或者減1就一定可以被6整除。
證明：素數加1或者減1就變成偶數，可以被2整除。素數不能被3整除，可表示為3n±1，那么它加1或者減1就一定能被3整除。這樣大于3的素數加1或者減1后同時有了因子2和3，所以一定可以被6整除。
定理：大于7的連續三個素數不可能呈公差為2的等差數列。
證明：設p、q和r為大于7的連續三個素數，根據引理他們可以分別表示為6l±1，6m±1和6n±1，其中n≥m≥l，且都≥1。p和q的差(6m±1)-(6l±1)可以表示為6(m-l)±2或者6(m-l)。同理q和r的差可以表示為6(n-m)±2或者6(n-m)。6(m-l)和6(n-m)是6的倍數(不含0)，所以不可能等于2。如果要形成公差為2的等差數列需要6(m-l)±2和6(n-m)±2同時為2。如果l≠m則，6(m-l)±2最小的取值是4，只有當l=m時，6(m-l)±2為2。同理6(n-m)±2也只有當n=m時可以等于2。這樣如果要6(m-l)和6(n-m)同時等于2必須l=m=n。假設存在一個大于