第一篇：培養學生數形結合意識
數形結合（模版）
如圖，某電信公司提供了A，B兩種方案的移動通訊費用y(元)與通話時間x(元)之間的關系，則下列結論中正確的有(
)
(1)若通話時間少于120分，則A方案比B方案便宜20元; (2)若通話時間超過200分，則B方案比A方案便宜12元; (3)若通訊費用為60元，則B方案比A方案的通話時間多;
(4)若兩種方案通訊費用相差10元，則通話時間是145分或185分.
某水電站的蓄水池有2個進水口，1個出水口，每個進水口進水量與時間的關系如圖甲所示，出水口出水量與時間的關系如圖乙所示.已知某天0點到6點進行機組試運行，且該水池的蓄水量與時間(時間單位：小時)的關系如圖丙所示：
給出以下三個判斷：①0點到3點只進水不出水;②3點到4點，不進水只出水;③4點到6點不進水不出水，④單位時間內每個進水口進水量是每個出水口出水量的兩倍.則上述判斷中一定正確的是
如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=4√2，∠C=45°，點P是BC邊上一動點，設PB的長為x.
(1)當x的值為 時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形; (2)當x的值為
時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形;
(3)點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構成菱形?試說明理由.
第二篇：數形結合課題結題報告
“數形結合”思想在小學數學教學中應用的研究
龍游縣塔石鎮中心小學課題組
負責人：黃秀清 成員：徐根 鄭素瑩 柴巧云 鄭麗萍
一、課題的現實背景與意義
(一)課題研究的現實背景
眾所周知數與形這兩個基本概念，是數學的兩塊基石，可以說全部數學大體上都是圍繞這兩個基本概念的提煉、演度、發展而展開的，在數學發展進程中，數和形常常結合一起，在內容上互相聯系，在方法上互相滲透，在一定的條件下互相轉化。
數與形的內在聯系，也使許多代數學和數學分析的課題具有鮮明的直觀性，而且往往由于借用了幾何術語或運用了與幾何的類比從而開拓了新的發展方向，例如，線性代數正是借用了幾何中的空間，線性等概念與類比方法，把自己充實起來，從而獲得了迅猛的發展。
數學學習，不單純是數的計算與形的研究，其中貫穿始終的是數學思想和數學方法。其中，“數形結合”無疑是比較重要的一種。“數”與“形”既是數學的兩個基本概念，也是數學學習的兩個重要基礎，它們分別發展的同時又互相滲透、互相啟發著，共同推動著數學科學的向前發展。
(二)研究本課題的現實意義
在現實世界中，數與形是不可分離地結合在一起的，這是直觀與抽象相結合、感知與思維相結合的體現。數與形相結合不僅是數學自身發展的需要，也是加深對數學知識的理解、發展智力、培養能力的需要。從表面上看來，中學數學內容可分為數與形兩大部分，中學代數是研究數和數量的學科，中學幾何是研究形和空間形式的學科，中學解析幾何是把數和形結合起來研究的學科，實際上，在小學數學教學中都滲透了數與形相結合的內容。
著名數學家華羅庚指出：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，作為數學老師，應能認識到數形結合的思想所表現出來的思路上的靈活，過程上的簡便。在小學階段，雖然屬于數學的起步階段，但筆者認為滲透“數形結合”的意義有以下幾點。
首先，懂得 “數形結合”的方法就能更好地理解和掌握數學內容。
第二，懂得“數形結合”的方法有利于記憶。學生懂得“數形結合”的數學思想方法后，對于小學數學知識的理解性記憶是非常有益的。
第三，懂得“數形結合”的方法有利于數學能力的提高。如果小學數學教師在教學中注重“數形結合”思想的滲透，那么，就能使學生學會正確思維的方法，從而促進學生數學能力的提高。
第四，“數形結合”的方法是聯結小學數學和中學數學的一條紅線。布魯納認為：“強調結構和原理的學習，能夠縮小‘高級’知識和‘初級’知識之間的間隙。”一般地講，小學數學和中學數學的界限還是比較清楚的，小學數學中有許多概念在中學數學中要賦予新的涵義。而在中學數學中全部保留下來的內容只有小學數學思想方法及與之有關的內容，而“數形結合”是其中重要的方法之一。因此，小學數學思想方法是貫穿小學數學和中學數學的一條紐帶，“數形結合”更是連接小學數學與中學數學的一條紅絲帶。
二、國內外關于同類課題的研究綜述
早在數學蔭牙時期，人們在度量長度、面積和體積的過程中，就把數和形結合起來了。早在宋元時期，我國古代數學家系統地引進了幾何問題代數化的方法，用代數式描述某些幾何特征，把圖形中的幾何關系表達成代數式之間的代數關系，17世紀上半時，法國數學家笛卡幾通過坐標系建立了數與形之間的聯系，創立了解析幾何學，后來，幾何學中許多長期不得解決的問題，如尺規作圖三大不能問題等，最終也是借助于代數方法得到完滿的解決。
近來，在中學數學教學中研究得很多也比較透徹。雖然“數形結合”思想在小學數學教學中應用的研究還是很少，并且也不透徹。但其思想在中學數學教學中應用研究的經驗與借鑒為本項課題研究打下了良好的基礎。
三、課題研究的理論依據
思維是人腦對客觀現實間接、概括的反映，反映的是事物的本質和內在的規律性，是人類認識的高級階段。思維實現著從現象到本質、從感性到理性的轉化，使人達到對客觀事物的理性認識。人們通過思維，可以更深刻地把握事物，預見事物的發展進程和結果。小學生的思維是其智力的核心部分，小學生思維的發展，是其智力發展的標志和縮影。發展小學生的智力，主要應培養和訓練他們的思維能力。
小學生的思維特點是：由形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡，但這種抽象邏輯思維仍帶有很強的具體形象性。盡管孩子的抽象思維在逐步發展，但是仍然具有很大成分的具體形象性.。因此，把比較抽象的幾何定理與代數公式硬塞給小學生，一般說來，不易被接受。然而，從小學
三、四年級以后，有意識地培養孩子的思維能力，更快地提高他們的思維水平卻是可能的。
數學是一門邏輯性、系統性很強的學科,前面知識的學習,往往是后面有關知識的孕伏和基礎,在新舊知識的聯系上是非常緊密的。長期以來，由于人們忽視了形象思維在教學過程中的作用，使學科知識的理解過程脫離了學科思維方式的特點，使知識難以理解。為了培養更聰明和富有創造力的新一代，在教學中，不可忽視對學生的形象思維與邏輯思維的共同開發。
四、課題界定
“數形結合”是中學數學中比較重要的一種思想方法，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，在數的問題與形的問題之間互相轉換，使數的問題圖形化，形的問題代數化，從而巧妙地解決貌似困難、復雜的問題，達到事半功倍的目的。而在小學，學生正處于形象思維與邏輯思維并肩發展的階段，在小學數學中，特別是新教材也滲透了“數形結合”的思想，在小學階段更是培養學生的“數形結合”的思想好時期。在小學數學教學中教師要有意識地溝通數、形之間的聯系,幫助學生逐步樹立起“數形相結合”的觀點,并使這一觀點扎根到學生的認知結構中去,成為運用自如的思想觀念和思維工具。
五、課題研究的內容及目標
(一)課題研究的內容
1、小學生“數形結合”意識的現狀與分析
針對學生“數形結合”思想的現狀，分析影響其“數形結合”思想的因素，研究出提高學生“數形結合”思想的相關措施或策略。
2、“數形結合”思想在“數”、“形”教學中的應用
數學概念反映客觀事物空間形式與數量關系本質屬性，在某些數學概念中運用“數形結合”能幫助學生更好的掌握概念。
3“數形結合”思想在解題教學中的應用
在小學數學中，“數形結合”用得最多的是應用題的分析求解中，通常是將數量關系轉化成線段圖。然而，這并不是唯一的方式。實際上，在不同的問題中，可將數量關系轉化為不同的圖形。
4、總結出“數形結合”思想在教學應用中的培養方式。
(二)課題研究的目標
1、充分發展學生的形象思維與邏輯思維，培養學生全面的數學素質。
2、培養學生具有敏感、主動的“數形結合”意識，能夠根據需要去發現數學問題中的“數”與“形”，并且利用“數形結合”解決相關問題。
3、為中學及后來學習數學打下更扎實的基礎，有利于推進素質教育。
六、課題研究的方法與步驟
(一)研究方法
1、文獻研究法：查閱有關的理論書籍、文章，了解數形結合思想的內涵、發展情況和目前的研究成果等信息，使本課題的研究內涵和外延更加豐富，更加明確，更加科學。
2、調查分析法：調查分析本校及周邊小學的數學教師和學生在數學的教與學中滲透“數形結合”思想的大致情況，通過對初中生數學學習的調查，了解小學數學與初中數學在“數形結合”方面的連結點及發展狀況。以增加研究的針對性和實效性。在每學期末，采用情景調查與試卷調查的方法，檢驗科研成效。
3、行動研究法：將有關“數形結合”思想在數學課堂教學中的實踐與研究的初步成果再應用于實踐，是教師們在課題實施過程中遇到某個具體問題時，一起探尋解決問題的最好方法，也是本課題研究的主要方法。并在實踐與研究中不斷調整、補充、完善。
(二)研究步驟
1、準備階段 (2007.4――2007.5) 第一階段：實驗前調查分析，學校組織討論、分析有關數學教學中與學生“數形結合”思想培養有關的素材及因素，發掘已有的教學中學生“數形結合”思想培養的經驗，收集、提煉第一手資料。并建立組織、查閱文獻、尋找理論依據。
第二階段：組織教師學習有關培養學生“數形結合”思想方面的文獻資料，擬定自己的子課題方案，做好開題準備。
2、實施階段 (2007.9――2009.7) 第一階段：各子課題組實施研究，收集資料，完成階段性總結報告，反思研究過程并作修正、完善。
第二階段：繼續實施研究，在研究中不斷反思修正，對積累的材料進行分析，提煉、整合，定期進行學習、交流。
3、成果形成階段 (2009.7――2009.9) 形成課題研究成果，撰寫研究報告，編撰有關課題研究的論文和音像資料，做好結題鑒定工作。
七、課題研究的成果及其分析
(一)提高學生“數形結合”思想的策略
目前我們使用的北師大教材，不把數學課劃分為“代數”、“幾何”，而是綜合為一門數學課，這樣更有利于“數”與“形”的結合。只是，教材雖然從低年級起就提供了“數形結合”教學的素材供老師們挖掘，但是對“數形結合”的教學目標過于隱諱，還不太突現，教學上沒有把學生“數形結合”的意識和能力培養作為數學教學的一個重要目標。
大多教師雖已意識到“數形結合”思想的重要性，卻不知怎樣滲透、如何培養。學生對“數形結合”的策略一般只是被動的模仿，學生的這方面認知結構不像數學知識那樣系統化。因此數學教師在教學中要做好“數”與“形”關系的揭示與轉化，運用“數形結合”的方法，幫助學生類比、發掘，剖析其所具有的幾何模型，這對于幫助學生深化思維，擴展知識，提高能力都有很大的幫助。課題組研究出以下幾點提高學生“數形結合”思想的策略：
1、在教學過程中滲透同一思維原則，充分利用教材，挖掘教材素材。 教材中的數學知識，是前人認識的成果。學生學習時，通過認識活動把前人的認識成果轉化為自己的知識，所以學習是一種再認識過程，學習某項知識所用的思維方式，同前人獲得該項知識所用的思維方式應該是一致的。同一思維的原則，就是前人用什么思維方式獲得的知識，學習時，要用同一種思維方式去掌握這些知識。“數形結合”是抽象與直觀，思維與感知的結合，學習時就要把兩種思維結合起來去理解、掌握這些知識。因此，“數形結合”教學活動中正確地運用思維方式，有機地把兩種思維結合起來，是理解掌握知識的關鍵。此外，在教學中常思考：如何在小學的不同年齡段安排不同的數形結合內容，以適應學生的思維發展和幾何直觀能力發展的需要?
2、創設有利于學生直觀思維的教學情境。
進行思維活動要有一定的知識經驗為基礎，沒有已有知識、經驗(表象)的參與，就沒有思維活動。“數形結合”的學習活動既有抽象思維，又有形象思維。進行抽象思維一般要靠知識的新舊聯系(遷移)，進行形象思維主要靠表象的積累。當學生沒有或缺乏教學內容有關的表象積累，或表象模糊的時候，必須用直觀形象材料強化，充實孩子的感知，使孩子獲得有關表象。很多課利用媒體課件創設更優，同時還提高課堂密度與教學效率。
3、對“數形結合”的培養建立起積極評價機智。
“數形結合”教學中也蘊含著豐富的情感因素：首先，數學知識是和科學美感融合在一起的。其次，教師對教材的體驗、感受和對數學的熱愛，通過教學對孩子起了良好的熏陶、感染的作用。第三，學生在學習數學過程中產生對數學的興趣和愛好，成功解題帶來的喜悅和愉快的情緒。這種伴隨認知學習產生的情感，能成為支持和推動學習的動力。另一方面，教師應對孩子的學習行為及時給予正確的評價，肯定成績，激起孩子學習的熱情和信心。
(二)“數形結合”思想在“數”、“形”教學中的應用
心理學研究表明，兒童接受具體性文字中的信息比學習抽象性文字中的信息容易得多，其原因是由于具體名詞能產生心理映像(如“湊十法”與“短除法”同是演算規則名詞，但前者比后者更容易理解與記憶)，而兒童利用形象的圖式學習比用純文字推演更有興趣、更容易學習。
1、“數”的教學借助“形”的直觀、依賴“形”來操作。
在小學數學教學中，可能小學低段數學教學中會出現的更多，剛學習“數”的加減法或乘除運算時，教師如何利用“形”來幫助學生理解掌握，還有就是在小學中高段數學教學中如何運用“形”來探索復雜的“數”的關系。
由于概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數小棒、搭多邊形中認識整數，在等分圖形中認識分(小)數;利用交集圖理解公因數與公倍數等等。同樣，運算的概念(如“除法”、“余數”)、數學術語(如“平均分”、“大于”)等等都需要“形”的參與。
數學性質是關于規律性的知識，應該讓學生自主探索發現，而形的操作有助于發現規律。如教學“3的倍數的特征”可作如下設計：讓學生用9根小棒擺出三位數，判斷是否是3的倍數;8根、6根呢?操作中學生發現，組成的三位數是否是3的倍數只與小棒的根數有關，而與擺的方式無關，根數就是各數位上數的和。又如，“分數的基本性質”、“小數的性質”可以讓學生在對圖形的等分中理解。
2、“形”的教學借助“數”的描述、依賴“數”來鞏固。
在小學數學教材中，“形”的學習從一年級到六年級都有安排，北師大版本稱這一單元為“觀察物體”。小學低段數學注重其“形”的直觀感知即可，其實到了小學中高段數學就已經把“形”與“數”緊密聯系起來了。
在教孩子認識各種圖形時，“形”具有形象直觀的優勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達的劣勢。只有以簡潔的數學描述、形式化的數學模型表達“形”的特性，才能更好地體現數學抽象化與形式化的魅力，使兒童更準確地把握“形”。 如“長方形”，學生從圖形中感知獲得的只是“長長的”、“方方的”，只有用數學語言揭示其特征(有4個角，都是直角;有4條邊，對邊相等)。又如，長方形面積計算，對長方形面積大小觀念的建立從定性到定量，從直觀比較到數方格，從擺小正方形(面積單位)到發現面積與長寬的關系，最終獲得面積計算公式，使兒童從更深層面上認識了長方形。
幾何圖形的概念因為有了“數”的描述，進一步深化了兒童對“形”的直觀知覺。幾何圖形的周長、面積、體積，因為有“數”的運算，用“數形結合”方法認識“形”、說明“形”的意義可以拓寬學生的視野，激發他們火熱的數學思考，有利于學生進一步加深對“形”的理解，認識到“形”豐富的內涵。
(二)“數形結合”在解題教學中的應用研究
“數”與“形”是貫穿整個中小學數學教材的兩條主線，更是貫穿小學數學教學始終的基本內容。“數”與“形”的相互轉化、結合既是數學的重要思想，更是解決問題的重要方法。
作為解題方法，“數形結合”實際上包含兩方面的含義：一方面對形的問題，用數的分析加以解決，另一方面對于數量間的關系問題，借助形的直觀來解。因此，在教學實踐中，我們運用“數形結合”思想進行教學，即把題中給出的數量關系轉化成圖形，由圖直觀地揭示數量關系，有利于活躍學生的思維，拓寬學生的解題思路，提高學生的解題能力，從而促進學生智力的發展。
1、“數形結合”化抽象為直觀，激發了學生的數學興趣。
小學低年級學生主要是憑借事物的具體形象來進行直觀思維活動的，但小學應用題所明確的數量關系通常需要通過抽象思維來理解，這是在小學應用題教學中存在的突出矛盾，如把應用題中抽象的數量關系用恰當的、形象的圖形表示出來，就可較好地解決這一矛盾。
案例1：“雞兔同籠”的內容，在二年級有，五年級也有。如何讓只有二年級的孩子們理解“雞兔同籠”的問題呢?這里運用到的一個基本的學習方法就是讓學生們動筆畫一畫，用一個簡單的圓形來代替動物的頭，用豎線來表示動物的腳，在畫的過程中發現多了或少了可以馬上就改。比如：雞兔同籠，有6個頭，20只腳，雞兔各有多少只?
①先畫6個頭
②各畫兩只腳(假設都是雞)
③都是雞只有12只腳，不夠8只，那再補充
這樣，可以直觀的看到有2只雞，4只兔。大多學生對這類題目的第一個感覺是難，通過“數形結合”的思想化抽象為直觀，感覺就是有趣了。
2、“數形結合”化繁雜為簡單，理清了解題中的數量關系。
一些應用題，因其數量關系多，數值變化繁，學生掌握起來十分困難，一直是小學數學教學的重點、難點。如果充分運用數形結合思想，巧妙運用恰當的圖形直觀地表示其數量關系，常能產生意想不到的效果。
案例2：三年級上冊“兩步計算的實際問題”的教學，今年種了楊樹168棵，今年種的松樹的棵數是楊樹的5倍。(1)今年種松樹多少棵?(2)楊樹和松樹共有多少棵?第一個問題是簡單的，第二個問題在第一個問題解決的基礎上也不難。但教師在教學時，要考慮到，要是沒有第一個問題，直接要我們求第二個問題呢。其實可以用兩種方法來解決這個問題，
其中用倍比方法解答是學生比較難以理解的。這時，線段圖就起到了一個很好的輔助作用?？梢砸龑W生利用學過的知識畫出下面的圖：
松樹： 楊樹： 是楊樹的5倍 棵 楊樹與松樹一共有幾棵?
借助線段圖的直觀作用，學生一下子就理解了“1+5=6，168×6=1008(棵)”的意思，根本不需要老師再多加解釋。就這樣，借助一個簡單的線段圖，很好地引導學生理解了兩種數量之間的關系，倍比方法也就在輕松之中迎刃而解了。
3、“數形結合”化單一為多元，發展了學生的多方面數學能力。
同樣的內容，可以通過多種形式進行練習，好的形式不僅讓學生更好地掌握相關的數學知識，而且還能培養學生的創新能力與發散思維。
案例3：結束“三角形面積”的教學后，其中設計了一題目，三角形的面積是12平方厘米，并且三角形的高比底短，你覺得這個三角形的高有幾厘米，底有幾厘米?(高與底都是整厘米數)。對于這種只給出一個數字條件，要求得兩個問題的解，部分學生開始會覺得束手無策，其實基本方法就是畫圖想數字: 8×
3÷
2=12c㎡
6×4÷2=12c㎡ 8cm 6cm 這不僅對三角形面積公式要“除2”印象更深了，而且對圖形也有了數感。
(三)
“數形結合”在教學應用中的培養方式
“數形結合”思想與其他數學思想方法一樣，其形成都不是朝夕之間的，我們將數學學科特點與學生認知特點相結合，數形結合思想滲透在整個教學內容之中。
1、滲透——在教學過程中適時滲透數形結合思想
以具體知識為載體，
數形結合思想融入其中，使學生對數形結合有一些初步 的感知和直覺，幫助學生對知識的理解與記憶，培養學生有意識記和理解識記。通過這些具體知識的學習和問題的解決，使學生了解數和形是兩個不同的側面，但在一定條件下又能達到統一。
2、揭示——通過典型例題的分析講解突出數形結合思想的指導
以教材的相關內容為載體，向學生點破闡釋，突出數形結合思想的應用。把形轉化為數，用數量關系研究圖形，把數轉化成形，用形進一步掌握數，使學生獲得解決問題的經驗，形成技能，領悟數形結合的思想。
3、強化——把教材中滲透數形結合思想的內容系統化
美國心理學家斯金納提出：行為之所以發生變化，是由于強化作用，學生要獲得有效的數學學習就必須通過強化。桑代克說：一個已形成的可變連結，若加以應用，就會變強;一個已形成的可變連結，若久不用，就會變弱。教學要注意連續性，要經常地予以強調，并通過大量的綜合而達到靈活運用。通過強化訓練，有利于學生掌握如何解決新問題的方法，再經積累、概括、總結，不斷獲得創造性數學活動的經驗，從而形成一定的數學能力。
八、課題后的反思
1、課題研究過程中，我們都太專注于“數形結合”教學課的準備與研究，而忽視了學生其他相關數學能力的發揮。
2、我們的研討教學大都借助了媒體課件，感覺并不是所有的課都有這個必要，因為花了大把的時間做課件，可有的還不如在黑板上畫一畫那么明了直觀。教學還應從內容出發，而不是為了形式。
2、學生數形結合思想的培養絕不是孤立的，受其觀察、聯想、問題轉化等能力的制約，后繼可以研究數形結合思想，如何與其他數學思想相輔相成，同步培養以至形成意識。 主要參考文獻：
1、 藍惠菊《讓思想方法貫穿小學數學學習全過程》福建教育2007.10
2、 蔣巧君《數形結合是促進學生意義建構的有效策略》小學數學教師2005
3、 張林琴《數形結合”思想的解讀與實踐》教育實踐與研究 2007.10
第三篇：《數形結合解決問題》教學反思
在我們小學階段所學的內容，有兩條線貫穿其中，有明線又有暗線。明線是指知識與技能，暗線是指思想方法的滲透并且滲透在每一冊的教學中。這兩條線始終在伴隨著我們整個教學過程。青島版教材五年級下冊的總復習部分編排較好，既有對小學階段所學數學知識地整理和復習，又有對教學策略與方法的整理與復習，但針對策略與方法這部分內容多數老師感覺到新鮮和陌生。這也是我們開學初所提出的困惑?；炯寄艿慕虒W，老師們都很重視并積累了豐富的經驗，有了成形的東西。但是對于策略與方法，沒有放在突出的位置，大部分老師一帶而過?；谶@種現狀，既然教材中編排了，課標中又把基本思想方法提出來了，所以我們研究了這個課題僅供老師們研究參考。
下面我就把這節課設計中的一些想法簡單的介紹如下：
1、通過實例，讓學生初步感知什么是數形結合，雖然經常用到數形結合，但這個詞學生沒有聽說過。于是我們就借助于第一題，通過學生畫圖做題，讓學生初步感知和理解什么是數形結合。
2、借助回顧于整理，讓學生體會數形結合的優越性。
比如：在解決問題時通過畫線段圖的方法來幫助我們分析題里面的數量關系，使問題變得更加清晰明了。再如：在平面內確定位置時，用數對來表示物體位置的時候，就時把形轉化成數，這樣描述起更加簡單準確。
3、通過應用與反思進一步體會數形結合的作用。比如：搭配問題中用連線列舉圖方法非常的簡單明了，解決問題中比較難想，抽象的問題，借助線段圖就使復雜的問題迎刃而解了。
4、本節課中，我們還借助于數學家華羅庚的名言來幫助學生感悟數形結合的優越性。數學家華羅庚的名言在這節課中出現了兩次。第一次是讓學生初步感知數形結合的優越性。第二次是讓學生更加深刻理解到數形結合的優點和作用。使學生在今后的學習中能夠自覺運用數形結合的方法來解決問題
以上是我對這節課的教學設想，讓數學思想成為學生思考問題的一種習慣，不僅體會到生活中處處有數學，而且也滲透了要靈活運用知識解決現實問題的思想方法，體現了人人學有價值的數學的基本觀念。因為這樣的課是第一次上，希望能給老師們起到拋磚引玉的作用。
第四篇：中考沖刺：數形結合問題(提高)
一、選擇題
1.(2016•黃岡模擬)如圖1為深50cm的圓柱形容器，底部放入一個長方體的鐵塊，現在以一定的速度向容器內注水，圖2為容器頂部離水面的距離y(cm)隨時間t(分鐘)的變化圖象，則( )
A.注水的速度為每分鐘注入cm高水位的水
B.放人的長方體的高度為30cm
C.該容器注滿水所用的時間為21分鐘
D.此長方體的體積為此容器的體積的
2.
若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅圖像分別表示變量之間的關系，請按圖像所給順序，將下面的①、②、③、④對應順序.
①
小車從光滑的斜面上滑下(小車的速度與時間的關系)
②
一個彈簧不掛重物到逐漸掛重物(彈簧長度與所掛重物的重量的關系)
③
運動員推出去的鉛球(鉛球的高度與時間的關系)
④
小楊從A到B后，停留一段時間，然后按原速度返回(路程與時間的關系)
正確的順序是
(
)
A.③④②①
B.①②③④ C.②③①④
D.④①③②
二
填空題
3.
如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDEF，點P沿直線AB從右向左移動，當出現點P與正六邊形六個頂點中的至少兩個頂點距離相等時，就會發出警報，則直線AB上會發出警報的點P有______個.
4.
(2015秋•江陰市期中)如圖1，圓的周長為4個單位.在該圓的4等分點處分別標上字母m、n、p、q.如圖2，先將圓周上表示p的點與數軸原點重合，然后將該圓沿著數軸的負方向滾動，則數軸上表示﹣2014的點與圓周上重合的點對應的字母是______.
5.(2016•鄂州一模)如圖(1)所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發，點P沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒，設P、Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm2，已知y與t的函數關系圖象如圖(2)，當t=____________時，△ABE與△BQP相似.
三、解答題
6.
將如圖所示的長方體石塊(a>b>c)放入一圓柱形水槽內，并向水槽內勻速注水，速度為vcm3/s，直至注滿水槽為止.石塊可以用三種不同的方式完全放入水槽內，如圖所示.
在這三種情況下,水槽內的水深h(cm)與注水時間t(
s)的函數關系如上圖1-6所示,根據圖象完成下列問題
(1)請分別將三種放置方式的示意圖和與之相對應的函數關系圖象用線連接起來;
(2)水槽的高h=______cm;石塊的長a=______cm;寬b=______cm;高c=______cm;
(3)求圖5中直線CD的函數關系式;
(4)求圓柱形水槽的底面積S.
7.
在數學活動中，小明為了求的值(結果用n表示)，設計如圖1所示的幾何圖形.
(1)請你利用這個幾何圖形求的值為_______;
(2)請你利用圖2，再設計一個能求的值的幾何圖形.
8.
(2015秋•北京校級期中)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點B是y軸正半軸上一個定點，D是BO的中點.點C在x軸上，A在第一象限，且滿足AB=AO，N是x軸負半軸上一點，∠BCN=∠BAO=α.
(1)當點C在x軸正半軸上移動時，求∠BCA;(結果用含α的式子表示)
(2)當某一時刻A(20，17)時，求OC+BC的值;
(3)當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，α=______，此時
以AO為斜邊在坐標平面內作一個Rt△AOE(E不與D重合)，則∠AED的度數的所有可能值有______.(直接寫出結果)
9.閱讀材料，解答問題.
利用圖象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3>0.
解：設y=x2﹣2x﹣3，則y是x的二次函數.∵a=1>0，∴拋物線開口向上.
又∵當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3.
∴由此得拋物線y=x2﹣2x﹣3的大致圖象如圖所示.
觀察函數圖象可知：當x<﹣1或x>3時，y>0.
∴x2﹣2x﹣3>0的解集是：x<﹣1或x>3.
(1)觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3<0的解集是 _________ ;
(2)仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x2﹣1>0(畫出草圖).
10.(1)夜晚，小明在路燈下散步.已知小明身高1.5米，路燈的燈柱高4.5米.①如圖1，若小明在相距10米的兩路燈AB、CD之間行走(不含兩端)，他前后的兩個影子長分別為FM=x米，FN=y米，試求y與x之間的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍?
②有言道：形影不離.其原意為：人的影子與自己緊密相伴，無法分離.但在燈光下，人的速度與影子的速度卻不是一樣的!如圖2，若小明在燈柱PQ前，朝著影子的方向(如圖箭頭)，以0.8米/秒的速度勻速行走，試求他影子的頂端R在地面上移動的速度.
(2)我們知道，函數圖象能直觀地刻畫因變量與自變量之間的變化關系.相信，大家都聽說過龜兔賽跑的故事吧.現有一新版龜兔賽跑的故事：由于兔子上次比賽過后不服氣，于是單挑烏龜再來另一場比賽，不過這次路線由烏龜確定…比賽開始，在同一起點出發，按照規定路線，兔子飛馳而出，極速奔跑，直至跑到一條小河邊，遙望著河對岸的終點，兔子呆坐在那里，一時不知怎么辦.過了許久，烏龜一路跚跚而來，跳入河中，以比在陸地上更快的速度游到對岸，抵達終點，再次獲勝.根據新版龜兔賽跑的故事情節，請在同一坐標系內(如圖3)，畫出烏龜、兔子離開終點的距離s與出發時間t的函數圖象示意圖(實線表示烏龜，虛線表示兔子).
答案與解析
【答案與解析】 一、選擇題
1.【答案】C;
【解析】設AB的解析式為y=k1t+b1，BC的解析式為y=k2t+b2，由題意得
，，解得：，，
∴y=，
A、當0≤t≤3時，注水的速度為每分鐘注入cm高水位的水，
當3
B、由圖象知，那樣放置在圓柱體容器內的長方體的高為50﹣30=20cm;
C、令y=0，則﹣x+35=0，解得：x=21，∴該容器注滿水的時間為21秒.
D、設每秒鐘的注水量為mcm3.
則下底面中未被長方體覆蓋部分的面積是：m÷=(cm2)，
圓柱體的底面積為：m÷=cm2.
二者比為：=1：4，∴長方體底面積：圓柱體底面積=3：4.
∵圓柱高：長方體高=20：50=2：5，∴長方體體積：圓柱體體積=6：20=3：10，
∴圓柱體的體積為長方體容器體積的;
故選C.
2.【答案】A;
二、填空題
3.【答案】5.
【解析】如圖，分別以一頂點為定點，連接其與另一頂點的連線，在此圖形中根據平行線分線段成比例定理
可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，
根據垂直平分線的性質及正六邊形的性質可知,相互平行的一組線段的垂直平分線相等，在這五組
平行線段
中AE、BD與AB垂直，其中垂直平分線必與AB平行，故無交點.
故直線
AB上會發出警報的點P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分線與直線AB的交點，共五個.
4.【答案】m
【解析】∵由題意可得，q、m、n、p第一次在數軸上對應的點為﹣1、﹣2、﹣3、﹣4，即每四個為一個循環，
∴2014÷4=503…2
∴數軸上表示﹣2014的點與圓周上重合的點對應的字母是m.
故答案為：m.
5.【答案】秒;
【解析】由圖象可知，BC=BE=5，AB=4，AE=3，DE=2，
∵△ABE與△BQP相似，∴點E只有在CD上，且滿足=，∴=，∴CQ=.
∴t=(BE+ED+DQ)÷1=5+2+(4﹣)=.
三、解答題
6.【答案與解析】
(1)(1)圖1與圖4相對應，圖2與圖6相對應，圖3與圖5相對應;
(2)10;
a=10;
b=9;
c=6.
(3)由題意可知C點的坐標為(45，9)，D點的坐標為(53，10)，設直線CD的函數關系式為h=kt+b，
∴
解得
∴直線CD的函數關系式為h=;
(4)石塊的體積為abc=540cm3，根據圖4和圖6可得：.
解得S=160(cm2).
7.【答案與解析】
(1)設總面積為：1，最后余下的面積為：，
故幾何圖形的值為：的值為.
故答案為：.
8.【答案與解析】
解：(1)過A分別作AM⊥BC于E，AF⊥x軸于F，則∠AMB=∠AFO=90°，
設AO與BC交于點P，在△ABP和△COP中，∠BAO=∠BCN，∠BPA=∠CPO，
∴∠ABP=∠COP，
即∠ABM=∠AOF，
在△ABM和△AOF中，
∴△ABM≌△AOF(AAS)，
∴AM=AF，
∴CA平分∠BCF，
∴.
∵∠BCN=α，
∴∠BCM=180°﹣α，
∴;
(2)∵△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，
∴BM=OF，CM=CF，
∵OC+BC=OC+BM+CM，
∴OC+BC=OC+OF+CF=2OF，
∵A(20，17)，
∴OF=20，
∴OC+BC=40;
(3)當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，
∵x軸與y軸垂直，
∴α=90°，
此時
以AO為斜邊在坐標平面內作一個Rt△AOE(E不與D重合)，則∠AED的度數的所有可能值有∠AED=45°或135°.
故答案為：90°;45°或135°.
9.【答案與解析】
解：(1)-1
(2)設y=x2-1，則y是x的二次函數，
∵a=1>0，
∴拋物線開口向上.
又
∵當y=0時，x2-1=0，
解得
x1=-1，x2=1.
∴由此得拋物線y=x2-1的大致圖象如圖所示.
觀察函數圖象可知：當
x<-1或x>1時，y>0.
∴x2-1>0的解集是：x<-1或x>1.
10.【答案與解析】
解：(1)∵EF∥AB，
∴∠MEF=∠A，∠MFE=∠B.
∴△MEF∽△MAB.
①===.
∴=，MB=3x
BF=3x-x=2x.
同理，DF=2y.
∵BD=10，
∴2x+2y=10，
∴y=-x+5，
∵當EF接近AB時，影長FM接近0;
當EF接近CD時，影長FM接近5，
∴0
，
②如圖2所示，設運動時間為t秒，則EE′=FF′=0.8t,
∵EF∥PQ,
∴∠REF=∠RPQ，∠RFE=∠RQP,
∴△REF∽△RPQ,
∴
∴
∵EE′∥RR′,
∴∠PEE'=∠PRR'，∠PE′E=∠PR′R,
∴△PEE′∽△PRR′,
∴
∴
∴RR'=1.2t
∴.
(2)如圖3所示.
第五篇：小學數學數形結合教學思想
一、數形結合教學思想在小學數學教學中的運用
數形結合作為一種教學思想方法，一般包含兩方面內容，一個方面是“以形助數”，另一個方面的內容是“以數解形”。下面介紹這兩個方面的內容在小學數學教學中的運用。
(一)以形助數
所謂“以形助數”，是指老師在講解某些數學知識的時候，僅靠數字講解學生不太能理解，借助幾何圖形的特點，將所要講的知識點更直觀地展現在學生面前，從而將抽象化的問題轉變為具體化的問題。學生在學習行程問題的應用題時，可以運用圖形的辦法清晰地展現問題。如：一輛汽車從甲地開往乙地，先是經過上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽車上坡速度是每小時20千米，在平地的速度是每小時30千米，而下坡的速度則是每小時40千米，汽車從甲地到乙地一共上坡花了6小時，平地花了2小時，下坡花了4小時。請問汽車從乙地到甲地需要多長時間?在這道題中，既存在變量，又存在不變量。變量就是上坡路和下坡路隨著汽車行駛的方向而發生改變，當汽車從乙地到甲地行駛時，原先的上坡路變成了下坡路，原先的斜坡路變成了上坡路。而不變量就是這兩個路程汽車行駛的速度都是始終不變的。那么在解決問題的時候，就可以直觀地展現出來。先算出汽車從乙地到甲地的上坡時間，即(40×4)÷20=8(小時)，然后算出下坡所花費的時間，即(20×6)÷40=3(小時)，而平地所花費的時間是不變的，所以汽車從乙地到甲地所花費的時間是8+3+2=13(小時)。在這道題中，運用圖像將數學中的數量關系、運算都直觀地展現出來，學生比較易于理解，這樣的教學可以在很大程度上提高教學效率。
(二)以數解形
雖然圖形可以更加直觀地展現數學中的數量關系，但是對于一些幾何圖形，特別是小學數學中的幾何圖形來講，非常簡單，如果僅僅是通過直接觀察反而看不出規律，這時就可以運用“以數解形”的方式教學。比如老師在講解“平行四邊形的特征”一課時，很多學生通過學習，對概念性的東西已經非常了解，但是在具體的情況下又不能真正把握清楚，老師在教學過程中就可以通過對四邊形進行賦值，讓學生更深刻地理解和把握。比如給出三組數字：(1)6，5，3，7(2)7，5，5，7(3)8，6，4，6在這三組數字中，讓學生選擇平行四邊形。那么學生理解了平行四邊形的概念，即兩組對邊要平行且相等，通過比較分析，知道只有第二組數字符合平行四邊形的概念。因此，在這樣的教學中應該充分運用“數”與“形”的特點，幫助學生更快地掌握知識要點。
二、在小學數學教學中運用數形結合教學思想需要注意的問題
(一)注意培養學生運用數形結合方法的習慣
老師在小學數學中運用數形結合的方法進行教學，幫助學生更好地理解知識點，同時要注意培養學生運用數形結合方法解決數學題的習慣。小學生在平時的做題過程中，常常會忘了使用“數形結合”方法，有的還不會。因此，老師在平時的教學中，一定要培養學生養成運用數形結合方法的好習慣。針對不同的年齡段學生，采用不同的方法，比如低年級學生，引導學生在生活中找實物，高年級的學生則學會簡單的畫圖等，讓學生建立數形結合的思想。
(二)數形結合要注意利用多媒體技術 多媒體的發展已經迅速蔓延到教學領域，對于比較難懂的知識點，老師要借助多媒體技術實施教學。因為多媒體技術可以移動圖像，當碰到需要運用想象思維的時候，可以在多媒體中進行展示。
三、結語
在小學數學中運用數形結合教學思想，可以有效提高課堂教學效率，幫助學生更快地理解知識點。教師應根據不同情況，綜合運用“以形助數”和“以數解形”這兩種不同方式，取得更好的教學效果。
作者：季利明 工作單位：赤峰市元寶山區元寶山鎮馬林小學