二項式定理知識點總結范文第1篇
一、歸納法問題
假說通常都有一個與之想要闡釋的經驗觀察相聯系的一般特征。若信息都來源于經驗觀察, 如何確定每個特稱解釋都是正確的問題是歸納法問題。有時被否認的是從經驗觀察中得到的現有信息是有限的觀點, 許多哲學家認為, 能夠采取演繹推理的方法來彌合觀察與科學推理之間的鴻溝。然而, 依據科學理論不能依據此原則來構建為“真”。第一, 按照其觀點, 由于此原則疏于揭示“未來就是假定類似的過去”, 缺乏真實性。第二, 只要“自然的統一性原理”能夠確切把給定的觀察與特定的一般規律連接在一起, 那么它作為科學推理的缺陷也就顯現出來了, 因為其所被認定為真的內核就像是事先設定確證科學理論為真一樣變得不可靠了。此后沒有了“絕對地”解決歸納問題, 即沒有任何人的特殊解釋理論能夠給予結論性證明為真的解答。
二、卡爾?波普爾對歸納法問題的探究
20世紀80年代人們開始轉向接受保羅?費耶阿本德的方法, 在其看來, 所有的理論都處于同一水平, 例如, 規范科學的主張比起那些一般被斥為外行人的怪異思想的主張幾乎是一樣的?？?波普爾拒斥這種懷疑論, 他認為理論仍然有值得認識的重要地位, 在認識理論上的某些問題時, 理論作為更高于其匹敵者的形式構建起來, 此假設的優越性作為客觀特征, 獨立存在。費耶阿本德指出兩個事實:第一, 當理論不能在經驗觀察上得到邏輯證明時, 它們有時被否定其真實確定性。第二, 它們演繹推理的結果能在觀察中檢驗和證實。但此嘗試沒成功。通過否認理論的真實性, 一個理論能夠排除推測和猜想變為一個真實性理論, 這是正確的。但就其自身來說, 這在實踐上是無用的。因為, 假使注意力被限定于無可辯駁的理論上, 那么這將面臨極大的選擇范圍, 所有的理論都是“可證實”的, 而問題則變成了如何在眾多理論中選擇被看做是最具真值性的理論。
為解決此困難, 就要考慮決定天鵝顏色一般性規律的傳統歸納問題。如果你考慮命題的真值性, 那么就得考慮理論的概括性問題。假使總的天鵝數保持不變為n, 并有m種不同的顏色, 那么天鵝的顏色組合數是mn。對于有關天鵝所有的顏色數推論表現出更低化。如果進一步把天鵝隨時隨地不斷地選擇變換顏色并具有多彩性的概率考慮進去, 可以看出簡單假設“所有天鵝都是白色”的例外命題是無限多, 且事實上也是無窮多。對此, 許多人已提過批判的意見。事實上, 詳盡描繪出每一只天鵝的顏色理論 (依靠時時觀察這些天鵝的顏色仍未提出過異議) 是可以被證實的。在諸多假設中選擇最佳的問題仍未被看做比波普爾的方法更技高一籌。
三、實踐中的科學方法
波普爾的觀點沒有被證偽。在波普爾的描述性命題中, 能夠迅速地做出科學推理的兩個特征。第一, 當在一些科學工作的實驗數據中科學理論被證偽時, 科學家們通常是修改原有理論或完全放棄理論。第二, 當科學家研究一個決定性理論時, 通常會引出其結果, 并依據相應的實驗對它們進行檢驗, 如果證明是正確的, 那么通常就可以斷定該理論已被證實, 我們對該理論的信念度也愈加鞏固。
盡管這都是正確無誤的, 但是仍有兩個因素制約波普爾描述解釋性仍不能得到更為深遠的成功。其一, 他在解決歸納法的問題時, 所持有的原則顯得不充分而無法縮小可選擇性假說的范圍, 而且在實踐中, 科學家會依據他們自己的價值觀和思索來構建假說的等級系統。其二, 只關注于理論的邏輯結果, 而許多科學家們認為贊成或反對理論的證據不屬于這種范疇。這就呈現出許多方式。波普爾想把證偽的理念拓展到數據統計范圍, 但這很困難。R?A?費希爾認為, 證據可能對統計性假說有一種決定性的消極影響, 而這個啟示傾向于其證明為假。他對處于“無用假說”之下的統計性假說作了以下表述:“無用假說從來不需要證明或者構建, 但是在實驗過程中可以被證明為假。每一個實驗都可說是證明現存無用假說為假的事實?！?/p>
費希爾在意義判定理論中規定了統計性假說如何被判定的理論引起諸多學者的詬病, 許多學者對其理論進行了批判。特茲?內曼和埃貢?皮爾森對判定理論意義修正。盡管他們拒斥費希爾的許多方法, 但應對費希爾的某些理論時尤其是在技術性結果方面仍欠妥當。他們堅持統計判定的思想, 認為證據只能決定兩個可能性結果中的其中一個, 即要么接受假說, 要么拒斥假說。
四、概率歸納:貝葉斯定理的方法
應當而且必須有一種方法論能夠就其“概率論”問題給予科學理論的評價。大多數科學家都持有“以證據來說, 理論應當聯系其概率進行判定”的觀點。喬恩?都靈在《貝葉斯人本主義》中就已觀察到, 在最近的三百年間, 當為自己思想辯護或審視其他人思想時很少有人關注其概率論思想。從17世紀的詹姆斯、伯努利, 到20世紀的卡爾納普、杰弗里斯、芬特里和拉姆齊, 諸多哲學家都對直觀的歸納概率論思想進行了闡述和詮釋。
縱觀其理論, 在直觀的歸納概率論問題上表現為兩種主要立場。從獨立于我們主觀世界且能在邏輯上證實方面來說, 第一種是:把概率論看做是客觀性的, 其期望確立理論為真的概率, 因此可以把“競爭解釋的相對評價”擺在客觀位置上。如果這個能實現的話, 他將為歸納問題提供一些解決方法并能為科學建立“合理”的基礎。然而, 遺憾的是這種觀點設想卻遇到了理論缺陷的羈絆, 僅僅根據隨意的不可靠條件便敷衍了事、偃旗息鼓了。第二種立場則把概率論問題看做是主觀性問題。在他們看來概率論大致可以說是一種可測的“信念度”, 被稱“主觀主義者”或“人格主義者”的解釋。因為是以貝葉斯定理的概率計算方法而聞名遐邇的, 因此這種思想的科學方法通常被稱作“貝葉斯主義”的方法。由于貝葉斯方法對常規方論暴露出的弱點進行了合理性的補充, 因此, 貝葉斯主義近年來在統計學和哲學領域有了悄然復興。
五、對貝葉斯方法及其客觀理念的評價
通常對貝葉斯定理方法進行詬病的是其把某種主觀因素看做與理論科學性的評價有關。若承認貝葉斯定理方法中的主觀因素首先是盡可能少的, 其次是確切正確的。然而, 這樣卻與一個極具影響的學派產生了矛盾性抵觸, 即完全否定理論評價中的主觀因素。依據該學派的觀點, 評價應當是完全客觀上的。諸如波普爾、拉卡托斯、費舍爾、內曼和皮爾森及其學派都堅持標準科學價值的思想, 這種價值訴諸于客觀性和說服力而拒絕概率論。坦然地講, 他們已經在該領域獲得了卓越的成就, 尤其在意義判定和評價方面, 他們的理論由許多稱做傳統統計推理的方法組成。他們所提出的實驗設計和數據分析的程序已被許多科學家看做是判斷正確的標準。
盡管這種方法在哲學家和科學家之中產生了很大影響, 但是這種傳統方法在現代科學理論評價體系中不再占有主流地位, 而顯得黯淡無光。筆者認為, 以上諸多哲學家所堅持的這些總體客觀思想是無法獲得的, 且作為該思想保護外殼的傳統方法論事實上每次轉換中也違背了它。實際上, 沒有大量個人的判斷和臆造假設的情況下, 這些方法具有缺陷性和無效性。在依據概率計算進行的科學推理中, 貝葉斯定理的方法成為一種有效的嘗試。
參考文獻
[1]Colin Howson.Scientific Reasoning:the Bayesian Approach[M].Open Court Publishing Company, third edition, 2006.
[2]Kant, I.Prolegomena to any Future Metaphysics[M].Edited by L.w.Beck, .Indianapolis:Bobbs-Merrill, 1783:9.
[3]L.A.Selby-Bigge.An Enquiry Concerning Human Understanding[M].Oxford:Clarendon, 1777:32.
[4]Fisher.The Design of Experiments[M].Fourth edition.Edinburgh:Oliver and Boyd, 1947:16.
二項式定理知識點總結范文第2篇
同角三角函數的基本關系式
倒數關系: 商的關系： 平方關系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α
(六邊形記憶法：圖形結構“上弦中切下割，左正右余中間1”;記憶方法“對角線上兩個函數的積為1;陰影三角形上兩頂點的三角函數值的平方和等于下頂點的三角函數值的平方;任意一頂點的三角函數值等于相鄰兩個頂點的三角函數值的乘積。”)
誘導公式(口訣:奇變偶不變，符號看象限。) sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα
sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα
sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα
sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα
sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα
sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα
sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα (其中k∈Z)
兩角和與差的三角函數公式 萬能公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ tan(α+β)=——————
1-tanα ·tanβ
tanα-tanβ tan(α-β)=——————
1+tanα ·tanβ
2tan(α/2) sinα=——————
1+tan2(α/2)
1-tan2(α/2) cosα=——————
1+tan2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=——————
1-tan2(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式 三角函數的降冪公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
2tanα tan2α=—————
1-tan2α
sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
3tanα-tan3α tan3α=——————
1-3tan2α
三角函數的和差化積公式 三角函數的積化和差公式
α+β
α-β sinα+sinβ=2sin———·cos———
α+β
α-β sinα-sinβ=2cos———·sin———
α+β
α-β cosα+cosβ=2cos———·cos———
α+β
α-β cosα-cosβ=-2sin———·sin———
1 sinα ·cosβ=-[sin(α+β)+sin(α-β)]
1 cosα ·sinβ=-[sin(α+β)-sin(α-β)]
2
1 cosα ·cosβ=-[cos(α+β)+cos(α-β)]
1 sinα ·sinβ=— -[cos(α+β)-cos(α-β)]
2
化asinα ±bcosα為一個角的一個三角函數的形式(輔助角的三角函數的公式
集合、函數
集合 簡單邏輯
任一x∈A x∈B，記作A B A B，B A A=B A B={x|x∈A，且x∈B} A B={x|x∈A，或x∈B}
card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B) (1)命題
原命題 若p則q 逆命題 若q則p 否命題 若 p則 q 逆否命題 若 q，則 p (2)四種命題的關系
(3)A B，A是B成立的充分條件 B A，A是B成立的必要條件 A B，A是B成立的充要條件
函數的性質 指數和對數
(1)定義域、值域、對應法則 (2)單調性
對于任意x1，x2∈D 若x1f(x2)，稱f(x)在D上是減函數 (3)奇偶性
對于函數f(x)的定義域內的任一x，若f(-x)=f(x)，稱f(x)是偶函數 若f(-x)=-f(x)，稱f(x)是奇函數 (4)周期性
對于函數f(x)的定義域內的任一x，若存在常數T，使得f(x+T)=f(x)，則稱f(x)是周期函數 (1)分數指數冪 正分數指數冪的意義是
負分數指數冪的意義是
(2)對數的性質和運算法則
loga(MN)=logaM+logaN
logaMn=nlogaM(n∈R)
指數函數 對數函數
(1)y=ax(a>0，a≠1)叫指數函數 (2)x∈R，y>0 圖象經過(0，1)
a>1時，x>0，y>1;x<0，00，01 a> 1時，y=ax是增函數
00，a≠1)叫對數函數 (2)x>0，y∈R 圖象經過(1，0)
a>1時，x>1，y>0;01，y<0;00 a>1時，y=logax是增函數 0
logaf(x)=b f(x)=ab(a>0，a≠1) 同底型
logaf(x)=logag(x) f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1) 換元型 f(ax)=0或f (logax)=0
數列
數列的基本概念 等差數列
(1)數列的通項公式an=f(n) (2)數列的遞推公式
(3)數列的通項公式與前n項和的關系 an+1-an=d an=a1+(n-1)d a，A，b成等差 2A=a+b m+n=k+l am+an=ak+al
等比數列 常用求和公式 an=a1qn_1 a，G，b成等比 G2=ab m+n=k+l aman=akal
不等式
不等式的基本性質 重要不等式 a>b bb，b>c a>c a>b a+c>b+c a+b>c a>c-b a>b，c>d a+c>b+d a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 acb>0，c>d>0 acb>0 dn>bn(n∈Z，n>1) a>b>0 > (n∈Z，n>1) (a-b)2≥0
a，b∈R a2+b2≥2ab
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 證明不等式的基本方法 比較法
(1)要證明不等式a>b(或a0(或a-b<0=即可
(2)若b>0，要證a>b，只需證明 ， 要證a
綜合法 綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式的性質推導出欲證的不等式(由因導果)的方法。
分析法 分析法是從尋求結論成立的充分條件入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，直至所需的條件已知正確時為止，明顯地表現出“持果索因”
復數
代數形式 三角形式 a+bi=c+di a=c，b=d
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (a+bi)(c+di )=(ac-bd)+(bc+ad)i
a+bi=r(cosθ+isinθ)
r1=(cosθ1+isinθ1)•r2(cosθ2+isinθ2) =r1•r2〔cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)〕 〔r(cosθ+sinθ)〕n=rn(cosnθ+isinnθ)
k=0，1，……，n-1
解析幾何
1、直線
兩點距離、定比分點 直線方程 |AB|=| | |P1P2|=
y-y1=k(x-x1) y=kx+b
兩直線的位置關系 夾角和距離
或k1=k2，且b1≠b2 l1與l2重合
或k1=k2且b1=b2 l1與l2相交 或k1≠k2 l2⊥l2 或k1k2=-1 l1到l2的角
l1與l2的夾角
點到直線的距離
2.圓錐曲線 圓 橢 圓
標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2 圓心為(a，b)，半徑為R 一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 其中圓心為( ), 半徑r (1)用圓心到直線的距離d和圓的半徑r判斷或用判別式判斷直線與圓的位置關系
(2)兩圓的位置關系用圓心距d與半徑和與差判斷 橢圓 焦點F1(-c，0)，F2(c，0) (b2=a2-c2) 離心率 準線方程
焦半徑|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0 雙曲線 拋物線 雙曲線
焦點F1(-c，0)，F2(c，0) (a，b>0，b2=c2-a2) 離心率 準線方程
焦半徑|MF1|=ex0+a，|MF2|=ex0-a 拋物線y2=2px(p>0) 焦點F 準線方程
坐標軸的平移
這里(h，k)是新坐標系的原點在原坐標系中的坐標。 1.集合元素具有①確定性②互異性③無序性 2.集合表示方法①列舉法 ②描述法 ③韋恩圖 ④數軸法 3.集合的運算
⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性質
⑴n元集合的子集數：2n 真子集數：2n-1;非空真子集數：2n-2 高中數學概念總結
一、 函數
1、 若集合A中有n 個元素，則集合A的所有不同的子集個數為 ，所有非空真子集的個數是 。 二次函數 的圖象的對稱軸方程是 ，頂點坐標是 。用待定系數法求二次函數的解析式時，解析式的設法有三種形式，即 ， 和 (頂點式)。
2、 冪函數 ，當n為正奇數，m為正偶數，m
3、 函數 的大致圖象是
由圖象知，函數的值域是 ，單調遞增區間是 ，單調遞減區間是 。
二、 三角函數
1、 以角 的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸建立直角坐標系，在角 的終邊上任取一個異于原點的點 ，點P到原點的距離記為 ，則sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
2、同角三角函數的關系中，平方關系是： ， ， ; 倒數關系是： ， ， ; 相除關系是： ， 。
3、誘導公式可用十個字概括為：奇變偶不變，符號看象限。如： ， = ， 。
4、 函數 的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，頻率是 ，相位是 ，初相是 ;其圖象的對稱軸是直線 ，凡是該圖象與直線 的交點都是該圖象的對稱中心。
5、 三角函數的單調區間：
的遞增區間是 ，遞減區間是 ; 的遞增區間是 ，遞減區間是 ， 的遞增區間是 ， 的遞減區間是 。
6、
7、二倍角公式是：sin2 = cos2 = = = tg2 = 。
8、三倍角公式是：sin3 = cos3 =
9、半角公式是：sin = cos = tg = = = 。
10、升冪公式是： 。
11、降冪公式是： 。
12、萬能公式：sin = cos = tg =
13、sin( )sin( )= ， cos( )cos( )= = 。
14、 = ;
= ;
= 。
15、 = 。
16、sin180= 。
17、特殊角的三角函數值：
0 sin 0 1 0 cos 1 0 0 tg 0 1 不存在 0 不存在 ctg 不存在 1 0 不存在 0
18、正弦定理是(其中R表示三角形的外接圓半徑)：
19、由余弦定理第一形式， = 由余弦定理第二形式，cosB= 20、△ABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內切圓半徑用r表示，半周長用p表示則： ① ;② ; ③ ;④ ; ⑤ ;⑥
21、三角學中的射影定理：在△ABC 中， ，…
22、在△ABC 中， ，…
23、在△ABC 中：
24、積化和差公式： ① ， ② ， ③ ， ④ 。
25、和差化積公式： ① ， ② ， ③ ， ④ 。
三、 反三角函數
1、 的定義域是[-1，1]，值域是 ，奇函數，增函數;
的定義域是[-1，1]，值域是 ，非奇非偶，減函數;
的定義域是R，值域是 ，奇函數，增函數;
的定義域是R，值域是 ，非奇非偶，減函數。
2、當 ;
對任意的 ，有：
當 。
3、最簡三角方程的解集：
四、 不等式
1、若n為正奇數，由 可推出 嗎? ( 能 ) 若n為正偶數呢? ( 均為非負數時才能)
2、同向不等式能相減，相除嗎 (不能) 能相加嗎? ( 能 )
能相乘嗎? (能，但有條件)
3、兩個正數的均值不等式是：
三個正數的均值不等式是：
n個正數的均值不等式是：
4、兩個正數 的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、均方根之間的關系是
6、 雙向不等式是：
左邊在 時取得等號，右邊在 時取得等號。
五、 數列
1、等差數列的通項公式是 ，前n項和公式是： = 。
2、等比數列的通項公式是 ， 前n項和公式是：
3、當等比數列 的公比q滿足 <1時， =S= 。一般地，如果無窮數列 的前n項和的極限 存在，就把這個極限稱為這個數列的各項和(或所有項的和)，用S表示，即S= 。
4、若m、n、p、q∈N，且 ，那么：當數列 是等差數列時，有 ;當數列 是等比數列時，有 。
5、 等差數列 中，若Sn=10，S2n=30，則S3n=60;
6、等比數列 中，若Sn=10，S2n=30，則S3n=70;
六、 復數
1、 怎樣計算?(先求n被4除所得的余數， )
2、 是1的兩個虛立方根，并且：
3、 復數集內的三角形不等式是： ，其中左邊在復數z
1、z2對應的向量共線且反向(同向)時取等號，右邊在復數z
1、z2對應的向量共線且同向(反向)時取等號。
4、 棣莫佛定理是：
5、 若非零復數 ，則z的n次方根有n個，即：
它們在復平面內對應的點在分布上有什么特殊關系?
都位于圓心在原點，半徑為 的圓上，并且把這個圓n等分。
6、 若 ，復數z
1、z2對應的點分別是A、B，則△AOB(O為坐標原點)的面積是 。
7、 = 。
8、 復平面內復數z對應的點的幾個基本軌跡：
① 軌跡為一條射線。
② 軌跡為一條射線。
③ 軌跡是一個圓。
④ 軌跡是一條直線。
⑤ 軌跡有三種可能情形：a)當 時，軌跡為橢圓;b)當 時，軌跡為一條線段;c)當 時，軌跡不存在。
⑥ 軌跡有三種可能情形：a)當 時，軌跡為雙曲線;b) 當 時，軌跡為兩條射線;c) 當 時，軌跡不存在。
七、 排列組合、二項式定理
1、 加法原理、乘法原理各適用于什么情形?有什么特點? 加法分類，類類獨立;乘法分步，步步相關。
2、排列數公式是： = = ;
排列數與組合數的關系是：
組合數公式是： = = ;
組合數性質： = + = = =
3、 二項式定理： 二項展開式的通項公式：
八、 解析幾何
1、 沙爾公式：
2、 數軸上兩點間距離公式：
3、 直角坐標平面內的兩點間距離公式：
4、 若點P分有向線段 成定比λ，則λ=
5、 若點 ，點P分有向線段 成定比λ，則：λ= = ;
= = 若 ，則△ABC的重心G的坐標是 。
6、求直線斜率的定義式為k= ，兩點式為k= 。
7、直線方程的幾種形式： 點斜式： ， 斜截式：
兩點式： ， 截距式：
一般式：
經過兩條直線 的交點的直線系方程是：
8、 直線 ，則從直線 到直線 的角θ滿足： 直線 與 的夾角θ滿足：
直線 ，則從直線 到直線 的角θ滿足： 直線 與 的夾角θ滿足：
9、 點 到直線 的距離：
10、兩條平行直線 距離是
11、圓的標準方程是： 圓的一般方程是：
其中，半徑是 ，圓心坐標是
思考：方程 在 和 時各表示怎樣的圖形?
12、若 ，則以線段AB為直徑的圓的方程是
經過兩個圓 ， 的交點的圓系方程是：
經過直線 與圓 的交點的圓系方程是：
13、圓 為切點的切線方程是
一般地，曲線 為切點的切線方程是： 。例如，拋物線 的以點 為切點的切線方程是： ，即： 。
注意：這個結論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按照求切線方程的常規過程去做。
14、研究圓與直線的位置關系最常用的方法有兩種，即：
①判別式法：Δ>0，=0，<0，等價于直線與圓相交、相切、相離;
②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關系：距離大于半徑、等于半徑、小于半徑，等價于直線與圓相離、相切、相交。
15、拋物線標準方程的四種形式是：
16、拋物線 的焦點坐標是： ，準線方程是： 。
若點 是拋物線 上一點，則該點到拋物線的焦點的距離(稱為焦半徑)是： ，過該拋物線的焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦(稱為通徑)的長是： 。
17、橢圓標準方程的兩種形式是： 和 。
18、橢圓 的焦點坐標是 ，準線方程是 ，離心率是 ，通徑的長是 。其中 。
19、若點 是橢圓 上一點， 是其左、右焦點，則點P的焦半徑的長是 和 。 20、雙曲線標準方程的兩種形式是： 和 。
21、雙曲線 的焦點坐標是 ，準線方程是 ，離心率是 ，通徑的長是 ，漸近線方程是 。其中 。
22、與雙曲線 共漸近線的雙曲線系方程是 。與雙曲線 共焦點的雙曲線系方程是 。
23、若直線 與圓錐曲線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 ;
若直線 與圓錐曲線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 。
24、圓錐曲線的焦參數p的幾何意義是焦點到準線的距離，對于橢圓和雙曲線都有： 。
25、平移坐標軸，使新坐標系的原點 在原坐標系下的坐標是(h，k)，若點P在原坐標系下的坐標是 在新坐標系下的坐標是 ，則 = ， = 。
九、 極坐標、參數方程
1、 經過點 的直線參數方程的一般形式是： 。
2、 若直線 經過點 ，則直線參數方程的標準形式是： 。其中點P對應的參數t的幾何意義是：有向線段 的數量。 若點P
1、P
2、P是直線 上的點，它們在上述參數方程中對應的參數分別是 則： ;當點P分有向線段 時， ;當點P是線段P1P2的中點時， 。
3、圓心在點 ，半徑為 的圓的參數方程是： 。
3、 若以直角坐標系的原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點P的極坐標為 直角坐標為 ，則 ， ， 。
4、 經過極點，傾斜角為 的直線的極坐標方程是： ， 經過點 ，且垂直于極軸的直線的極坐標方程是： ， 經過點 且平行于極軸的直線的極坐標方程是： ， 經過點 且傾斜角為 的直線的極坐標方程是： 。
5、 圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程是 ; 圓心在點 的圓的極坐標方程是 ; 圓心在點 的圓的極坐標方程是 ;
圓心在點 ，半徑為 的圓的極坐標方程是 。
6、 若點M 、N ，則 。
十、 立體幾何
1、求二面角的射影公式是 ，其中各個符號的含義是： 是二面角的一個面內圖形F的面積， 是圖形F在二面角的另一個面內的射影， 是二面角的大小。
2、若直線 在平面 內的射影是直線 ，直線m是平面 內經過 的斜足的一條直線， 與 所成的角為 ， 與m所成的角為 , 與m所成的角為θ，則這三個角之間的關系是 。
3、體積公式：
柱體： ，圓柱體： 。
斜棱柱體積： (其中， 是直截面面積， 是側棱長);
錐體： ，圓錐體： 。
臺體： ， 圓臺體：
球體： 。
4、 側面積：
直棱柱側面積： ，斜棱柱側面積： ; 正棱錐側面積： ，正棱臺側面積： ; 圓柱側面積： ，圓錐側面積： ， 圓臺側面積： ，球的表面積： 。
5、幾個基本公式：
弧長公式： ( 是圓心角的弧度數， >0);
扇形面積公式： ;
圓錐側面展開圖(扇形)的圓心角公式： ;
圓臺側面展開圖(扇環)的圓心角公式： 。
經過圓錐頂點的最大截面的面積為(圓錐的母線長為 ，軸截面頂角是θ)：
十一、比例的幾個性質
1、比例基本性質：
2、反比定理：
3、更比定理：
5、 合比定理;
6、 分比定理：
7、 合分比定理：
8、 分合比定理：
9、 等比定理：若 ， ，則 。 十
二、復合二次根式的化簡
當 是一個完全平方數時，對形如 的根式使用上述公式化簡比較方便。
⑵并集元素個數：
n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B)
5.N 自然數集或非負整數集 Z 整數集 Q有理數集 R實數集 6.簡易邏輯中符合命題的真值表 p 非p 真 假 假 真 二.函數
1.二次函數的極點坐標： 函數 的頂點坐標為 2.函數 的單調性： 在 處取極值
3.函數的奇偶性：
在定義域內，若 ，則為偶函數;若 則為奇函數。
1 過兩點有且只有一條直線 2 兩點之間線段最短 3 同角或等角的補角相等 4 同角或等角的余角相等
5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短
7 平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行 9 同位角相等，兩直線平行 10 內錯角相等，兩直線平行 11 同旁內角互補，兩直線平行 12兩直線平行，同位角相等 13 兩直線平行，內錯角相等 14 兩直線平行，同旁內角互補
15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊 16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊
17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于180° 18 推論1 直角三角形的兩個銳角互余
19 推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 20 推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角 21 全等三角形的對應邊、對應角相等
22邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等
26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角) 31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)
35 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形 37 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
39 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
40 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合 42 定理1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形
43 定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線
44定理3 兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上
45逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2 ，那么這個三角形是直角三角形
48定理 四邊形的內角和等于360° 49四邊形的外角和等于360°
50多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等于(n-2)×180°
------------------ 51推論 任意多邊的外角和等于360°
52平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等 53平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等 54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分
56平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角 61矩形性質定理2 矩形的對角線相等 62矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形 63矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形 64菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等
65菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=(a×b)÷2 67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
70正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
71定理1 關于中心對稱的兩個圖形是全等的
72定理2 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分 73逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一 點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱
74等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等 75等腰梯形的兩條對角線相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 77對角線相等的梯形是等腰梯形
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段 相等，那么在其他直線上截得的線段也相等
79 推論1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰
80 推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第 三邊 81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它 的一半 82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的 一半 L=(a+b)÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性質 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕?
84 (2)合比性質 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 85 (3)等比性質 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應 線段成比例 87 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例 88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊
89 平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例
90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 兩角對應相等，兩三角形相似(ASA) 92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似(SAS) 94 判定定理3 三邊對應成比例，兩三角形相似(SSS)
95 定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三 角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似
96 性質定理1 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平 分線的比都等于相似比 97 性質定理2 相似三角形周長的比等于相似比
98 性質定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等 于它的余角的正切值
------------------
101圓是定點的距離等于定長的點的集合
102圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合 103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合 104同圓或等圓的半徑相等
105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半 徑的圓 106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直 平分線 107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線
108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距 離相等的一條直線 109定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。
110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
111推論1 ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 ②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦 相等，所對的弦的弦心距相等
115推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩 弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等
116定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等 118推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所 對的弦是直徑
119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 120定理 圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它 的內對角 121①直線L和⊙O相交 dr ? 122切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點的半徑 124推論1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點 125推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心
126切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等， 圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角
129推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等
130相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積 相等 131推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項 132切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割 線與圓交點的兩條線段長的比例中項
133推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上 135①兩圓外離 d>R+r ②兩圓外切 d=R+r ③兩圓相交 R-rr) B ④兩圓內切 d=R-r(R>r) ⑤兩圓內含dr) 136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公*弦 137定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形
⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形 138定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓 139正n邊形的每個內角都等于(n-2)×180°/n 140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形 141正n邊形的面積Sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長 142正三角形面積√3a/4 a表示邊長
143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應為 360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4 144弧長計算公式：L=n兀R/180 145扇形面積公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2 146內公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r) 乘法與因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) • a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 根與系數的關系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達定理 判別式
b^2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根 b^2-4ac>0 注：方程有兩個不等的實根
b^2-4ac<0 注：方程沒有實根，有共軛復數根 三角函數公式 兩角和公式
二項式定理知識點總結范文第3篇
有關二項展開式中的系數問題是高考?？碱}型之一, 而且多以選擇題、填空題的形式出現.以下對二項式定理試題中有關二項展開式系數的問題加以歸類分析:
1. (a+b) n (n∈N*) 型
例1的展開式中, 常數項為15, 則n=______.
解析:本題考查二項展開式的通項公式的簡單應用.
, 從而2n-3r=0, Cr n (-1) r=15, 故滿足條件的n=6.
2. (a+b) n± (c+d) m (n, m∈N*) 型
例2在 (1-x) 5+ (1-x) 6+ (1-x) 7+ (1-x) 8的展開式中, 含x3項的系數為__.
解析:本題考查多個二項式之和的應用。我們可以從局部入手, 考慮、分析各自的二項展開式的通項公式, 然而, 簡便的方法是從整體入手, 與等比數列求和相聯系來化簡求解.
原式=, 從而要求研究 (1-x) 5, (1-x) 9中含x4項,
故所求系數為C45 (-1) 4-C49 (-1) 4=-121.
3. (a+b) n (c+d) m (n, m∈N*) 型
例3在的展開式中的常數項為______.
解析:當我們遇到貌似二項式結構的二項式定理試題時, 應該冷靜下來, 可以積極聯系部分具有的“通項”特質, 靈活處理結構式.為其通項, 可與1+2x2聯系起來, 當r取4或5時滿足題意, 從而, 常數項為C84 (-1) 4+2C85 (-1) 5=-42.
學習二項式定理后, 經常會碰到一些三項式的問題, 鑒于這類問題同樣是高考考查能力的體現, 以下介紹三項式展開的幾種常用處理方法.
1. 轉化法.
當我們遇到的三項式若能化成一個完全平方式, 那么我們就讓指數升級, 化三項式為二項式;一般地, 我們可以添加括號, 把某兩項看成一項, 轉化為形式上的“二項式”;如還有可能, 我們還可將三項式分解因式, 化為兩個二項式的積, 再利用二項展開式的通項公式求解.
例4求 (x2+3x+2) 5的展開式中含x項的系數為______.
解析:原式=[ (x+1) (x+2) ]5= (x+1) 5· (x+2) 5,
在 (x+1) 5中, Tr+1=C5rx5-r,
在 (x+2) 5中, Ts+1=C5sx5-s2s,
故原展開式的通項為T=C5rC5s2sx10-r-s, 當r=4, s=5或r=5, s=4時符合題意, 所求系數為240.
2. 定義法.
俗話說, 萬事開頭難.數學問題也是這樣.當我們冥思苦想不得其法時, 不如回到問題的開始, 這樣, 定義法就應運而生.在三項式的處理中, 我們可以利用乘方的定義, 多項式的運算法則以及組合的定義來求解問題.
例5求 (1+2x-3x2) 6的展開式中含x5項的系數為______.
解析:通過分析, 所求系數產生于三種情況, 一是6個因式中取兩個-3x2, 一個2x, 三個1;二是6個因式中取一個-3x2, 三個2x, 兩個1;三是6個因式中取五個2x, 一個1.我們得到, 所求系數為
3. 賦值法.
由于三項式的展開式都較為復雜, 但在研究一些整體性質時, 我們可以將三項式的展開式寫成一般表達式, 取特殊值求解問題.
例6求 (1+x+x2) 11的展開式中偶次項系數之和.
解析:可設原式=a0+a1x+a2x2+…+a22x22,
令x=1知a0+a1+a2+…+a22=311,
令x=-1知a0-a1+a2-…+a22=1,
兩式相加, 從而, 偶次項系數之和為
二項式定理知識點總結范文第4篇
改革的分類
從改革的程度看，一種是在不觸動根本制度的前提下，進行局部的調整;一種是對舊的生產關系和上層建筑進行徹底的改革，導致社會制度發生根本性變化。 從改革的性質看，有奴隸制度的改革、封建主義的改革、資本主義的改革和社會主義的改革。 從改革的內容看，有政治改革、經濟改革、軍事改革和文化改革。 改革的實質
改革是統治者對生產關系所進行的調整。它與社會革命不同，并不否定現存制度，而是對現存制度加以改良，使之盡量適應不斷變化的時代。 改革的原因(背景)及相應目的 總的來講，古代重要政治改革的發生都是由于舊的生產關系或上層建筑不適應新的生產力或經濟基礎的發展的需要。
具體來講，這些原因大體可以表述為： ①舊的生產關系阻礙了社會生產力的發展; ②順應歷史發展潮流或社會發展趨勢;
③統治階級面臨嚴重的統治危機，為抑制土地兼并，緩和階級矛盾，增加財政收入，實現富國強兵;
④舊制度、習俗、思想文化阻礙社會的發展 ⑤民族危機嚴重
4.改革成敗原因的分析及認識 決定改革成敗的幾個要素
①是否順應歷史發展的趨勢，與時俱進，因時改革，是改革成功的根本原因。 ②看力量對比是否有利于改革，要從改革的阻力和支持改革的力量兩方面去分析，改革的阻力可以從內外兩方面，政治、經濟、文化等多角度去分析。
③改革必然會損害部分人的利益，必然會遇到阻力，不會一帆風順，這就要求改革者要有遠見卓識和堅定的政治魄力。
④改革的措施是否符合當時的實際，是否行之有效。 ⑤當時的內外環境是否有利于改革的開展和執行。
判斷改革成功與否的標準主要是改革的目的與改革本身所達到的目標之間的一致性，即改革是否達到了預期目標。 成功的改革
外國：梭倫改革、宗教改革、農奴制改革、明治維新、羅斯福新政 中國：齊國管仲改革、魯國“初稅畝”、商鞅變法、孝文帝改革、改革開放 思考：為什么說這些改革成功了? 外國：
梭倫改革為雅典城邦的振興與富強開辟了道路，大大促進了農業和工商業的發展，奠定了城邦民主政治的基礎。
宗教改革沉重打擊了天主教在歐洲的神權統治，促進了歐洲民族意識的高漲和民族國家的發展;促進了資本主義的發展;否定了羅馬天主教會的權威，解放了人們的思想，為資本主義的興起和發展奠定了基礎。
農奴制改革促進了俄國農業、工業的發展。使俄國走向近代化。 改革對俄國近代化的影響：
經濟現代化：農奴制廢除為資本主義發展提供了必要勞動力、資金和市場，俄國走上了迅速發展資本主義的道路。隨著工業革命的推進，俄國工業生產大幅度增長，農村中資本主義的成分也得到增長。
政治近代化：在政治體制方面上作了比較深層的改革，建立了地方和城市的自治機構。在司法制度方面，參照西方的司法制度，進行了改革。改革使政治上一向專制獨裁的俄國也出現了一些民主化的氣息。
軍事近代化：實行普遍義務兵役制，建立西方式的軍事管理機構。
教育近代化：鼓勵社會和私人辦學，擴大大學自主權，允許引進西方書籍。 思想近代化：西方資產階級的思想和統治方式開始傳入俄國，越來越多的俄國人看到了差距，變革的愿望日益強烈。
明治維新使日本崛起為東方強國，資本主義工業體系開始確立，重工業迅速發展;建立了一支現代化的軍隊并不斷得到加強，廢除了不平等條約，走上對外擴張之路。 羅斯福新政使美國度過了經濟危機，在很大程度上緩和了美國的社會矛盾，避免美國走上法西斯道路，開創了國家干預經濟的新模式。 中國：
管仲改革實現了齊國的富國強兵，使齊國成為春秋五霸之一。
魯國“初稅畝”取得了預期效果，魯國財政收入大幅增加，諸侯列國紛紛仿效。從稅制改革的角度看它達到了預期目的，所以可以說是成功的。
魏文侯改革：通過李悝變法，魏國在戰國諸雄中率先強盛起來。
楚國吳起變法取得了一定成效，一段時間內，楚國在對外兼并戰爭中連連獲勝，成為戰國中的強國。
商鞅變法推動了秦國社會的進步，促進了經濟的繁榮，壯大了國力，為秦國的富國強兵和后來統一全國奠定了基礎，對秦國以至中國歷史的發展都起了重要作用。
北魏孝文帝改革不僅緩和了民族矛盾，鞏固了封建統治，更促進了民族的大融合，為結束長期分裂局面，重新走向國家統一奠定了基礎。 失敗的改革
外國：阿里改革、蘇聯和東歐改革 中國：魏文侯改革(李悝變法)、楚國吳起變法、慶歷新政、王安石變法、洋務運動、戊戌變法
改革的認識和啟示
①改革的必要性。每一個國家，每一個民族要發展進步，必須與時俱進，敢于改革。改革是革除弊政、促使國家富強的重要手段，是歷史發展的要求和產物。 ②改革的曲折性。改革必然會涉及某些人或集團的利益而遭其反對，因而具有艱巨性和復雜性，不可能一帆風順。改革和變法不會一帆風順，在勇于改革的同時，要具備堅決的斗爭精神。要堅信新事物一定能夠戰勝舊事物。
③對改革的具體要求。改革的措施必須行之有效，改革過程中要用人得當，改革家要有遠見卓識和堅定的政治魄力。
④改革沒有固定的模式，必須具體問題具體分析，走有自己特色的改革之路。
第一單元梭倫改革 梭倫改革的背景： 政治：
雅典城邦國家產生(公元前9～前8世紀)——設立中央議事會和行政機構 貴族制國家確立(公元前8～前6世紀)——貴族專權而平民無權 經濟發展：農工商業以及貿易得到發展
階級變化：工商業奴隸主形成，公民內部斗爭激烈：“山地派”、“平原派”、“海岸派” 梭倫當選為首席執政官：雅典貴族與平民長期斗爭的結果 梭倫改革： 內容：“頒布解負令” 確立財產等級制度 恢復公民大會權力 建立“四百人會議” 設立公民陪審法庭 鼓勵發展農工商業
特點：奠定民主政治基礎、促進工商業發展 梭倫改革的評價 歷史意義：
①形成了民主政治必須具備的公民群體; ②打破貴族對政權的壟斷;
③一定程度上確保了公民參與國家事務的政治權利; ④大大促進了農業和工商業的發展。
總之，其改革為雅典的民主政治奠定基礎。
歷史局限：貴族在國家政權中占據絕對優勢，下層平民未享有充分的權利 氏族制度殘余及貴族擁有世襲占有土地的特權
貴族和平民的矛盾未得以從根本上解決，社會政局動蕩不安
第二單元商鞅變法
背景：春秋戰國時期的社會大變革
根本原因：社會生產力的發展——鐵器、牛耕的使用
經濟基礎：生產關系的變化——私田增多，出現新的封建剝削方式，井田制瓦解，封建土地私有制確立
階級基礎：階級關系的變化——新的階級形成、新興地主階級要求變革 社會條件：春秋戰國時期的戰爭頻繁、思想繁榮、各國競相改革變法 齊國管仲改革、魯國“初稅畝”、魏國李悝變法、楚國吳起變法 商鞅變法內容：
以農求富的經濟改革：廢井田、開阡陌;重農抑商、獎勵耕織;統一度量衡
政治改革：獎勵軍功、建立二十等爵制;加強集權、普遍推行縣制、建立嚴密的戶籍制、制定連坐法
文化風俗改革：“燔詩書、明法令”;改革社會風尚習俗、父子分居、一夫一妻 評價：秦國強盛、意義深遠
作用：廢除舊制度，創建新制度;促使秦國成為當時先進的國家，為秦國統一全國奠定了基礎;對秦國以至中國歷史的發展都起了重要作用 表現
經濟上：改變了舊有的生產關系，廢井田，開阡陌，從根本上確立了土地私有制。這就激發了勞動者的生產積極性，為秦國的農業生產帶來了生機
政治上：打擊并瓦解了舊的血緣宗法制度，健全了封建國家機器的職能，開始建設中央集權制度
軍事上：獎勵軍功，達到了強兵的目的，提高了秦國軍隊的戰斗力，為秦國下一步的戰略發展創造了有利條件
綜合國力：公元前343年，秦國已經成為富強之國，周天子派人送禮，各諸侯派人來稱賀 局限性
輕視教化，鼓吹輕罪重罰; 加重了對人民的剝削與壓迫;
未與舊的制度、文化、習俗劃清界限 消極影響：
推行的嚴刑峻法和文化高壓政策導致了秦朝的暴政，對后世影響消極。 壓制工商業發展，違背了社會發展的規律，不利于商品經濟的發展。 倡導君主獨裁專制，選錯了政治體制的方向為后世君主專制埋下了禍根;
改革不徹底，所以在我國封建社會初期特別是秦漢時期存在大量奴隸制殘余。
第三單元北魏孝文帝改革 背景：
東晉時建代國，拓跋珪建魏，統一黃河流域
影響：社會安定，經濟恢復，推動了畜牧經濟向農業經濟的轉變，國家機構日益完備，民族融合
鮮卑文明與漢文明沖突，社會矛盾尖銳，改革迫在眉睫 宗主督護制，豪強地主隱瞞人口，逃避賦稅、徭役 廣大農民賦稅賦稅負擔沉重，農民起義不斷
民族矛盾激化，北魏統治者未處理好民族關系，激化矛盾 馮太后與孝文帝注重漢化，改革條件具備 改革內容：
創新制：制定俸祿制、推行均田制、設立三長制、推行租調制
遷都：目的——強化中原統治、避開鮮卑族舊勢力;原都城偏窮、交通不便、不如洛陽;北受柔然威脅、南為經略中原
移風易俗：漢服、漢話、漢姓、通漢婚、改漢籍 評價：促進民族大融合 經濟的復蘇和繁榮
農業經濟的恢復與發展手工業經濟的發展商業的發展 政權封建化的加速
尊儒崇經，興辦學?；謴蜐h族禮樂制度采納漢族封建統治制度
3、民族的交流與融合
鮮卑游牧民族的農耕化漢族人民生活的鮮卑化
第四單元王安石變法 背景： 北宋中期社會危機嚴重
土地兼并，農民負擔沉重，階級矛盾尖銳，農民反抗斗爭不斷 極貧積弱局面：財政困難，入不敷出;遼和西夏威脅北宋安全
慶歷新政：以整頓整治為中心，觸犯大官僚大地主利益，推行一年多夭折 內容： 富國之法
青苗法農田水利法免役法市易法方田均稅法均輸法 取士之法
改革科舉整頓太學改革官吏選拔 強兵之法
保甲法保馬法將兵法設軍器監
性質：在不觸動封建土地私有制的前提下，對生產關系進行局部調整，是社會改良性質的改革。 評價：
結果：新法被廢止，變法失敗。
原因：新法遭到大官僚、大地主、大商人的強烈反對 失去宋神宗的支持
新法推行中的缺陷，執行過程中用人不當，引起民間不滿 變法的歷史作用
理財：增加財政收入;抑制兼并;保障農業生產。
(作用：抑制兼并、保障農業生產、增加政府收入。) 軍事：加強軍事實力。(保甲法;保馬法;將兵法;設軍器監) (作用：加強對人民的控制，減少軍費開支，提高軍隊戰斗力。) 教育：培養、選拔人才(改革科舉制度;整頓太學;惟才用人。)
(作用：選官貫徹擇優錄取的原則，克服恩蔭泛濫的弊病。)
第五單元宗教改革 背景：
①經濟根源(根本原因)：隨著西歐商品經濟和資本主義的發展，天主教會成為資本主義發展的最大障礙(天主教地位：經濟上是最大的封建地產所有者;政治上，教權高于世俗王權，至高無上;思想文化上，支配文化教育，鉗制人們思想;社會生活方面，天主教會的影響無處不在，廣大人民深受教會束縛。) ②直接原因：天主教會的腐敗和搜刮
③政治因素: 民族國家的形成要求打破中世紀天主教會“一統天下”的局面。 ④文化因素: 文藝復興的影響，促進了人們的思想解放
導火線：1517年，羅馬教皇以兜售贖罪券的形式對德意志進行勒索
主要改革：德國馬丁?路德宗教改革、瑞士日內瓦加爾文宗教改革、英國亨利八世宗教改革
二、宗教改革：
1、馬丁?路德宗教改革 (1)社會原因
根本原因：分裂割據的政治局阻礙德國社會經濟的發展 主要原因：羅馬教廷對德國進行政治控制和經濟掠奪 主觀原因：馬丁?路德立志宗教改革 直接原因：天主教兜售贖罪券 標志：“九十五條論綱”發表 馬丁?路德宗教改革的主要內容 理論基礎——因信稱義 《圣經》是信仰的惟一權威
世俗的統治權力高于教權并支配教權 建立本民族教會 路德宗教改革的影響
推動了廣大民眾的反封建斗爭;
《圣經》翻譯成德文，促進了德意志民族語言的發展; 最終確立了“教隨國定”原則，路德教派取得合法地位;
確立新教，沖擊了羅馬教會在德國的神權統治，為歐洲宗教改革開辟了道路。 加爾文宗教改革 原因條件
馬丁?路德宗教改革的影響;文藝復興時期人文主義的影響;加爾文深入研究《圣經》 內容
堅持《圣經》是最高權威，反對教皇權威;主簡化宗教儀式;提出自由平等和個人主義宗教精神;主張“先定論”，宣揚選民和棄民;主張選民要有奮斗精神，具有節制、忍耐等美德;主張建立共和式的長老制度;建立政教合一政權 作用
傳播到歐洲許多地區;日內瓦成為“新教的羅馬” 亨利八世宗教改革 背景
資產階級要求沖破封建神學思想的束縛 天主教對英國的經濟掠奪和政治控制 文藝復興運動和宗教改革思想的傳播 社會各階層反對教會情緒的不斷高漲
日益集權的英國君主力圖擺脫羅馬教廷的桎梏 內容
禁止英國教會向羅馬教廷納年貢
斷絕英國教會在行政和經濟上與羅馬教廷的聯系 規定國王為英國最高首腦
保留天主教主制、基本教義和儀式 沒收修道院財產歸王室所有 結果
伊麗莎白一世進一步鞏固了宗教改革成果 確立了英國基督教為英國國教
英國國教會成為封建專制統治的工具 歷史作用
政治上;打擊了天主教會的神權統治，它剝奪了教會在各國的政治、經濟權益，各國王權得到加強，有利于民族國家的發展
經濟上：確立了適應資產階級需要的倫理規范和生活方式，奪取了大量原屬教會的財產，有利于資本主義經濟的發展 精神文化：
1、打破了天主教會精神壟斷，使人們的思想得到解放，發展了人文主義。
2、幫助新教徒閱讀《圣經》，發展本民族文化，各國普遍重視教育，興辦學校，增加包括自然科學在內的學習科目，促進了西歐各國民族文化和教育事業的發展
3、傳播了資產階級的意識形態。為早期資產階級革命提供了旗幟(尼、英資產階級革命沉重打擊了天主教會在歐洲的神權統治 實質：
是一場西歐資產階級在宗教外衣掩飾下發動的反對封建統治和羅馬教會的政治運動
第六單元穆罕默德阿里改革 歷史背景： 必要性：
埃及國力的衰弱：奧斯曼素丹的政治、經濟統治和馬木路克的反動統治——經濟凋敝、政局動蕩——國力削弱。
政治：奧斯曼帝國的統治
征服派遣總督(帕夏)建立近衛軍保留馬木路克 經濟：包稅制
埃及形勢：惡化馬木路克的統治經濟凋敝西方經濟勢力入侵 面臨民族危機：英法列強的殖民侵略
原因：埃及戰略地位優越，自然資源豐富英法等國資本主義發展地需要 條件：18世紀后期埃及國力衰弱、局勢動蕩英法資本主義國家實力強大 埃及獨立民族意識形成 可能性：
阿里政權的建立(原因：埃及人民反侵略斗爭和獨立民族意識的形成;開羅三次起義，穆罕默德?阿里取得政權(1805年); 阿里政權面臨的形勢：國外—英國等西方列強侵略，國內—面臨奧斯曼帝國和馬木路克反動勢力的威脅)
拿破侖在的近代化措施的誘導 內容：
改革土地制度
沒收不向政府納稅的包稅人土地;沒收了違規的宗教地產;廢除包稅制，將全部包稅地收歸國有;改革賦稅制度，征收單一的土地稅;確定了土地私有制度 促進經濟發展 農業
興修水利，推廣改良農具，引種新的經濟作物;
設立專門機構，管理各地農作物的種植品種和面積; 重要經濟作物實行國家專賣制度;
向貧苦農民提供種子、牲畜、農具和貸款 工業
限制私營手工業生產，發展官辦工廠; 引進西歐國家的技術、設備、人才和資金; 重點發展軍事工業，同時創辦民用工業 商業和對外貿易的繁榮 商業中心：開羅
地中海東部貿易中心：亞歷山大 政治
內容中央設立國務會議、咨議會地方建立了省、縣、鄉、村各級行政機構 目地：確立高度的中央集權，鞏固統治 實質：維護專制集權 文化
創辦學校，培養人才;
聘請外國專家講學和傳授技術，選派埃及青年去歐洲留學; 建立印刷廠、出版讀物、翻譯著作、創辦報紙 軍事
廢除雇傭兵制度，實行征兵制; 按照法國模式組織和訓練新式軍隊 采用當時最先進的武器裝備軍隊 評價： 局限
①建立并鞏固了封建的中央集權統治，農民和工人受到沉重的剝削和掠奪 ②殘暴統治和連年戰爭，給人民帶來沉重災難 意義
1、政治上結束了埃及長期**、分裂、割據局面，確立了統一的中央集權國家體制。
2、經濟上推進了近代化進程，提高了生產力，發展了農業、商業，建立了近代工廠，使長期停滯的埃及社會煥發了生機活力，工農業生產迅速發展。這些都為埃及的經濟獨立、制止西方資本的大規模滲透奠定了較堅實的基礎，客觀上促進了埃及資本主義的發展，推動了埃及歷史的進步。
3、經濟、軍事實力的增強，壯大了國力，使之成為維護獨立主權的堅強后盾。使埃及實際上擺脫了奧斯曼帝國的統治，推遲了歐洲列強侵占埃及的進程
4、文化上引進了西方資本主義的科學技術和思想文化，促進了文化繁榮。
四、穆罕默德?阿里改革的失敗
1、內憂
根本原因：阿里政權的封建專制性、擴張性 具體原因：稅收加重戰事不止、征兵頻繁
表現：土地荒蕪、工廠停工父母殘子武裝起義不斷 外患
原因：英國等列強進行殖民擴張，助土反埃 結果：埃及戰敗、阿里身死、埃及淪為半殖民地
第七單元
1861年俄國農奴制改革 背景：
俄國農奴制的建立
15、16世紀，統一的俄羅斯國家建立過程中，隨著封建土地所有制的發展，農奴制開始形成。
17世紀中期正式建立。 農奴制下的社會關系
封建地主擁有土地和農奴。 農奴是封建地主的私有財產，可隨便處理，生活悲慘。 自由農民耕種公地，向國家納稅、不準離開土地。
3、19世紀中葉的俄國農奴制危機
(1)19世紀中期，農奴反抗斗爭不斷，農奴制危機加劇。 俄國工業步履維艱
特點：發展緩慢、落后。
表現：①仍然處在工場手工業階段。②蒸汽動力很少。③工業生產的各個部門遠遠落后于英法。
原因：農奴制度的嚴重阻礙
反對農奴制的新思潮：十二月黨人和知識分子激進派 基本主張：都反對沙皇專制，主張廢除農奴制 產生背景：都受西方社會進步影響 不同點：主要活動內容不同。
十二月黨人為推翻沙皇封建專制統治，廢除農奴制而發動武裝起義。 知識分子激進派活動主要是集中在對革命思想的宣傳上。 克里米亞戰爭失敗
俄國發動戰爭目的：①擴大地在中海和西亞的勢力②轉移國內矛盾 俄國失敗原因：英、法勢力強大、先進;俄國政府腐敗、社會落后 對俄國國內影響：加劇了農奴制危機，推動了農奴制改革的進行 改革： 改革的醞釀
背景：嚴峻的國內外形勢 國內：局勢動蕩 國外：國際地位下降 特點：緩慢而謹慎
表現：通過輿論減輕阻力;先秘密后公開;成立委員會 原因：阻力大;借鑒以前改革失敗教訓 結果：通過了改革法案 內容：
“二一九法令”
①政治上：農奴從法律上獲得人身自由
②經濟上：土地仍舊歸地主所有，農民可獲得塊份地;農民需繳納高額贖金贖買份地 ③組織管理：強化村社對農民的管理 ④時限安排：規定前兩年是改革過渡期 改革的進步性與局限 進步性：
表現：推動了工業革命的發展;解放了農村生產力 性質：資產階級性質改革
影響：俄國歷史上重要轉折點，促進了俄國資本主義的發展 局限：
表現：農民很大程度上還被束縛在土地上;實際上對農民的一次大規模掠奪 原因：①封建地主主持下進行的②目的是鞏固沙皇專制統治 改革對俄國近代化的影響： 促進資本主義經濟的迅速發展 原因：農奴制改革①為資本主義發展提供了大量自由勞動力②解放了農村生產力 表現：19世紀80年代資本主義農業成為俄國農業主要組成部分 主要工業部門完成了從手工工場向機器工廠的過渡，產量大幅增加 特點：落后于西歐;對外國資本嚴重依賴;發展不平衡 推動政治緩慢變革
目的：使沙皇專制制度適應資本主義發展需要，以維護其統治
主要措施：政治體制方面改革：設立選舉產生的城市和地方自治機構，但有財產限制 司法制度方面改革：廢除等級審理制，實行公開審理制，但農村照舊
反映的問題：農奴制改革實際上動搖了封建統治基礎，促進了資本主義發展
影響：推動了俄國由封建君主制向資產階級君主制的轉變;加快了俄國資本主義發展步伐
3、推動矛盾向深層次發展——亞歷山大二世遇刺 原因：改革保留了大量農奴制殘余
表現：阻礙了資本主義進一步發展;農民貧困，反抗斗爭不斷
民粹派——基本主張：反對農奴制和沙皇專制;不滿意資本主義制度;否認工人階級的先進性
活動：到農村發動農民革命被鎮壓 暗殺亞歷山大二世
第八單元明治維新 歷史條件：
幕府統治危機(內憂外患); 內憂：
政治上，國內階級矛盾尖銳;
經濟上，幕府統治阻礙資本主義發展(資本主義生產關系形成并得到發展; 改革力量形成：中下級武士、新興地主、商人、資本家) 外交上，閉關鎖國落后于世界大趨勢
外患：1853黑船事件，各國簽約(通商、領事裁判權和協定關稅)，日本淪為半殖民地。 (2)武裝倒幕成功; (3)明治政府建立;
二、明治維新： 明治維新措施簡表 項目內容目的
政治(1)廢藩置縣
(2)四民平等加強中央集權 經濟(1)土地、地稅改革 (2)殖產興業 拓展海內外市場
改革幣制發展資本主義 文化提倡“文明開化”，努力發展教育，派遣留學生，社會生活習俗“西化”發展近代教育 軍事實行征兵制為對外擴張創造條件 成功原因：
①封建專制統治相對薄弱 ②倒幕派推翻了幕府統治
③倒幕派建新政權后進行了行之有效的改革 ④列強集中侵略中國，客觀上為日本提供了相對寬松的國際環境 歷史影響：
進步性：內：使日本走上近代化道路(資本主義道路); 外：擺脫民族危機，成為東方強國。
為亞洲國家的仁人志士提供了改革的經驗
局限性：保留了大量的封建殘余(突出表現：掌權多是原屬統治階級的武士階層)。 推行軍國主義，開始了對亞洲鄰國的侵略擴張。 日本近代化的表現：
政治上：實行君主立憲制(民主化的歷程)
經濟上：初步實現資本主義工業化(工業化的歷程) 文化上：文明開化(西學東漸的歷程) 軍事上：建立了現代化軍隊
第九單元戊戌變法 變法的歷史根源：
社會根源——甲午戰爭后，列強掀起瓜分中國的狂潮，民族危機加深。 經濟根源——中國民族資本主義的初步發展
原因：帝國主義侵略加劇，自然經濟進一步解體，商品市場和勞動力市場擴大
愛國工商人士“實業救國”主張的推動
清政府調整工商政策，放松限制，允許民間設廠， 部分官僚、地主和商人積極投資新式企業
階級根源——中國民族資產階級力量壯大，開始登上歷史舞臺 思想根源——早期改良思潮出現：第二次鴉片戰爭以后
代表人物：王韜、薛福成、鄭觀應等 目的：解救民族危難和緩和社會矛盾
早期改良思潮主張思想：兼采西學，變法自強
經濟：振興工商業，發展資本主義，通過“商戰”同外國資本主動脈義進行競爭 政治：學習西方先進的社會政治制度，設立議院。
影響：反映了民族資產階級的利益和要求，形成社會思潮，為維新變法運動奠定了思想基礎 百日維新： 內容
政治方面：廣開言路，精簡機構等 經濟方面：鼓勵發展農工商業等
文化教育方面：提倡西學，廢除八股，培養人才等 軍事方面：改革軍制，精練陸海軍，按新法練兵等 內容評價： 未實行的措施：“行憲法，大開國會”，設立制度局 進步意義有利于中國民族資本主義的發展 有利于先進科學文化的傳播 有利于資產階級參與政權 初步動搖了封建統治秩序
三、變法失敗原因與歷史意義 失敗原因
根本原因：維新派勢力弱小，守舊勢力過于強大 維新派采取的方式和手段缺陷 ①缺乏堅持的組織領導
②脫離廣大人民群眾，依靠皇帝 ③對帝國主義抱有幻想 ④企圖用“和平”“合法”的手段 歷史意義
①戊戌變法是一次愛國救亡的政治運動，資產階級維新派為挽救民族危機、發展資本主義奔走呼號，指出變法的首要目的是救亡圖存。這對于激發人民的愛國思想和民族意識，起了重要作用。
二項式定理知識點總結范文第5篇
1.本學期要求我們掌握的學習習慣：①堅持寫日記 、②愛護圖書。
2.《走，我們去植樹》是一首詩歌，全詩描繪了少先隊員積極參加植樹活動的情景，告訴我們植樹造林的重要性，表達了少先隊員植樹造林，改造自然的決心。
3.植樹的好處是：送來清新的空氣、綠化祖國、能叫風沙低頭，讓百鳥起舞。
4.文章開頭與結尾的關系是首尾呼應，這樣寫的好處是表明了少先隊員植樹造林的決心。 5. “綠色工廠”是指樹木有光合作用，“綠色寶庫”指森林，“綠色的希望”指沙退鳥舞。
6.《第一朵杏花》講了我國著名科學家竺可楨的故事，贊揚了他一絲不茍的科學研究態度，說明了只有通過精確、細致的觀察，才能掌握事務變化的規律。
7.讀下面的兩句話，體會帶點詞語的作用。
⑴ “是啊，……彎下腰來，習慣地問，“你知道……嗎?”
這句話中的“彎下腰來”表現了竺爺爺平易近人、和藹可親。“習慣地問”說明了竺可楨爺爺一看到開放的杏花，就要進一步探究其開放的時間，這種主動探索科學的行為已經成為他的一種習慣。
⑵竺爺爺頃刻間像年輕了幾十歲，立即興沖沖地快步走到前院。
這句話中的帶點字充分表現了竺爺爺得到第一朵杏花開放的準確時間后激動心情。
8.課文以“第一朵杏花”為題是因為①這“第一朵杏花”是故事的中心事務②集中體現了竺爺爺嚴謹認真的科學態度，一絲不茍的研究精神，給人以鮮明生動的感受。
9.《燕子》是一篇散文。課文描寫了燕子活潑可愛的外形和它在爛漫無比的春天從南方趕來，在天空、湖面上飛行，在電線上休息的情景。
10.“幾對小燕子飛倦了，落在電線上休息，在藍天的映襯下，電線桿之間連著的幾痕細線。多么像五線譜哇，停著的燕子成了音符，譜出了一支春天的歌。”這段話中用了比喻修辭手法，把電線比作五線譜，用音符來比喻燕子。這支“春天的歌”會是一支贊美春天萬物復蘇，大地呈現一片勃勃生機的歌。
11.《江南春》是唐代杜牧所作，詩題的意思是江南春天的綺麗景色，作者在描繪千里江南明媚可愛的春光的同時，也慨嘆南朝的覆滅，流露興亡之感，寄托了諷喻之意。
12.《江南春》一詩，前兩句寫今，展現了一幅生機勃勃、春色無邊的畫面，后兩句是懷古。 13.《春日偶成》是宋代詩人程顥所作，描寫了風和日麗的春日景色，抒發了詩人春日郊游時的愉快心情。這首詩前兩句寫景，后兩句抒情。
14.這兩首詩的共同點是：都描寫了春天的美麗景色，情景交互，融為一體。
15.一身烏黑光亮的羽毛，一對俊俏輕快的翅膀，加上剪刀似的尾巴，這就是活潑機靈的小燕子。 16.二三月間，微風輕輕地吹拂著，毛毛細雨從天上灑落下來。千萬條柔柳展開了鵝黃色的嫩葉。青的草，綠的芽，各色鮮艷的花，都像趕集似的聚攏來，形成了爛漫無比的春天。這段話描繪了生機勃勃、明媚動人的美好春景 。
第一單元知識考點練習 按要求寫詞語。
1.含有動物的成語：鶯歌燕舞 蜻蜓點水 鸚鵡學舌 雞犬不寧 狗急跳墻 聞雞起舞 2.含有“花”的成語：鳥語花香 花前月下 花團錦簇 花言巧語 花天酒地 3.描寫春天的成語：春光明媚.百花盛開.鳥語花香.春暖花開.花紅柳綠.花團錦簇 4.含有“春”字的成語：春光明媚 春暖花開. 春風得意 大地回春 妙手回春 5.AABC式成語：蒸蒸日上 亭亭玉立井井有條 欣欣向榮 翩翩起舞 嘖嘖稱贊 6.ABB式詞語：興沖沖 紅彤彤綠油油 金燦燦 白茫茫 紅通通 黑乎乎 7.描寫色彩的詞語：五顏六色 五彩斑斕 五彩繽紛 萬紫千紅 姹紫嫣紅 按要求寫句子。
1.描寫春季景色的詩句：
A.碧玉妝成一樹高，萬條垂下綠絲絳。不知細葉誰裁出，二月春風似刀。—賀知章《詠柳》 B.兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船。—杜甫《絕句》 描寫夏季景色的詩句：
A.畢竟西湖六月中，風光不與四時同.接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅 楊萬里《曉出靜慈寺送林子方》
B.泉眼無聲惜細流，樹陰照水愛晴柔。小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上頭。-楊萬里 《小池》 描寫秋季景色的詩句：
A.月落烏啼霜滿天，江楓漁火對愁眠。姑蘇城外寒山寺，夜半鐘聲到客船?！稐鳂蛞共础窂埨^
B.湖光秋月兩相和， 潭面無風鏡未磨。遙望洞庭山水色，白銀盤里一青螺?！锻赐ァ穭⒂礤a
描寫冬季景色的詩句：
A.千山鳥飛絕, 萬徑人蹤滅。 孤舟蓑笠翁, 獨釣寒江雪。 江雪----柳宗元 B.墻角數枝梅, 凌寒獨自開。遙知不是雪 為有暗香來. 梅花----王安石 有關植樹的諺語： 9.植樹造林的公益用語：
A.要想長遠富，莫忘多栽樹 A.春到人間，綠化爭先。 B.楊柳下河灘，銀杏上半山 B.植樹造林，造福后人。 第二單元 1.《蘋果里的五角星》一文記敘了鄰居家的小男孩傳給“我”一個鮮為人知的“秘密”把蘋果攔腰切下去，蘋果核部分就會出現一個“五角星”圖案這使“我”從中受到啟迪——創造力來源于打破常規的思維方式。
2.文中提到切蘋果的方法有：①從頂部切到底部②攔腰切下去。小男孩采用的方法是攔腰切下去。 3.創造力往小處說，就是換一種切蘋果的方法，往大處說，就是來源于打破常規的思維方式。 4.《最佳路徑》一文向我們介紹了世界建筑大師格羅培斯為迪斯尼樂園設計路徑的故事，他從一位年老的葡萄園主人“給人自由、任其選擇”的賣葡萄的方法中受到啟發，產生了“撒下草種、提前開放”的路徑設計策略。故事給我們的啟示是：尊重他人、相信他人，給人自由與選擇的機會，其本身就是一種選擇。
5.《人類的“老師”》是一篇有關仿生學的課文，重點介紹了人類在飛機設計、輪船設計、建筑設計等方面向動物學習的幾個例子，具體說明了人類以生物為師，向自然學習的收獲。人類的“老師”，“老師”加上引號表示：特殊的含義，“老師”指自然界的種種生物。
6. 自然界可以充當人類“老師”的生物有許多，本文列舉了以下六個例子?？茖W家從魚兒在水中自由升降的現象中得到啟示，發明了潛水艇?？茖W家研究了鳥類飛行的原理發明了飛機并從蜻蜓、蒼蠅、蚊子、蜜蜂等昆蟲身上得到啟發，不斷提高飛機的性能。工程師模仿鯨的形體，改進了船體的設計，提高了航行的速度。建筑師根據“薄殼結構”的特點，設計出許多既輕便又省料的建筑物。人們模仿袋鼠造出了會跳躍的越野汽車。人們模仿某些貝類制成了外殼堅固的坦克。我還知道：科學家從蝙蝠身上得到啟示，發明了雷達?？茖W家從螢火蟲身上得到啟示，發明了高效的冷光源。人類根據野豬鼻子發明了防毒面具，根據蛙眼發明了電子蛙眼……
7、羅培斯的路徑設計與葡萄園主賣葡萄的聯系是：格羅培斯是受當地農民賣葡萄的方法啟示而產生的路徑設計方案的。它們的共同點是：①都是把權力交給大家，讓大家去尋找最適合自己的東西②都是順其自然③都包含著對人們的信任和尊重。
第二單元知識考點練習：
八、巧用成語。
1、小明在閱讀《三國演義》時一目十行，囫圇吞棗。結果，對書中的內容不甚了了，在回答老師有關“三國”的問題時總是張冠李戴 。
2、那天，我從杭州回來，父母便要問我那里的景色如何。我說：“由于時間緊迫，我對于西湖的印象只是浮光掠影，要我詳細描述，有些困難。”
3、在學習上，我們遇到問題時就要尋根問底，即便遇到掌握的內容也不能 淺嘗輒止，還應該勤加練習，這樣就能熟能生巧。有道是“天道酬勤”。上天就是偏愛于勤奮的人。 按要求寫詞語。
1、與“輕而易取”結構相同的成語：公而忘私 望而生畏 取而代之 死而后已 華而不實 鋌而走險
2、與“鮮為人知”意思相反的成語：眾所周知 家喻戶曉 人盡皆知 馳名中外 名聞遐邇 舉世聞名 第三單元
1.課文《三顧茅廬》是根據羅貫中寫的古典小說《三國演義》的內容改編的。課文按事物發展的順序寫了劉備三次親自到隆中拜訪諸葛亮，邀請他出山，輔助自己實現統一中國的大業。文章重點表現了劉備對賢才的虔誠和渴望，同時看出諸葛亮的的確確是一位曠世奇才。從文中對劉備語言、行為的描寫，讓我們感受到他對諸葛亮是誠心誠意的。諸葛亮的住地是隆中，那里山岡蜿蜒起伏，好像一條等待時機騰飛的臥龍，這里的“臥龍”既是用來比喻山岡的形狀，也是暗指諸葛亮。諸葛亮是個 才華橫溢、料事如神的人，他提出了 三分天下 、 最后取勝 的策略。劉備聽了 茅塞頓開 ，像 撥開云霧見到了青天 。難怪他把自己比作 魚兒，把諸葛先生比作水 ，可以用成語“ 如魚得水 ”來形容他們的關系。
2.“誠心誠意地邀請他出山，輔助自己實現統一中國的大業。”這句話點明了劉備請諸葛亮出山的目的，既反應出了劉備是個胸懷大志的人，也反映出諸葛亮的雄才大略。
3.《三顧茅廬》的寫作特點：①鮮明的對比②精妙的比喻③細節描寫④環境烘托。其中的環境描寫巧妙地烘托了諸葛亮性格的特點。
4.劉備聽了茅塞頓開，像撥開云霧見到了青天。”“撥開云霧見到了青天”實際上是成語“撥云見天(日)” 的活用，比喻沖破黑暗，見到光明。這句比喻句是把劉備聽了分析群雄紛爭形勢和提出三分天下、最后取勝的策略后，那種茅塞頓開的心情，比作撥開云霧見到了青天。劉備求賢若渴，當他求得了賢才，并聽了賢才的一番話語之后，心里頓時變得疏朗、明澈多了，這種感覺就像撥開云霧見到了青天。劉備這種美好心境，再一次表明他對諸葛亮的器重和信賴。
5.“我得到諸葛先生，就像魚兒得到水一樣啊!”劉備這么說，是把自己比作魚，把諸葛亮比作水，把自己得到諸葛亮比作魚兒得到了水。從這個比喻句中，我們能進一步地感受到胸懷大志的劉備對賢才的器重和厚望，同時也使我們感受到諸葛亮的確是一位曠世奇才，以及他與劉備之間的親密友情。
6.中國古代四大名著：①吳承恩寫的《西游記》，主要人物有：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙和尚等;②羅貫中寫的《三國演義》主要任務有：曹操、劉備、諸葛亮等;③曹雪芹寫的《紅樓夢》，主要人物有：林黛玉、賈寶玉等;④施耐庵寫的《水滸傳》主要人物有：林沖、武松、宋江等。
7.《祁黃羊》是一篇歷史故事，按事情發展的順序講述祁黃羊讓位薦賢的事，表現了他“外舉不避仇，內舉不避親”的思想境界，塑造了一個做事出以公心，行事光明磊落的人物形象。
8.春秋時代，晉國由祁黃羊擔任中軍尉。因為多年征戰使祁黃羊的腿腳落下毛病，所以他請求晉悼公準許他辭職。他先后推舉了兩個人，每次都很認真嚴肅，從“ 鄭重 ”“ 慎重 ”等詞可以看出。用文中的一句話贊美祁黃羊：“外舉不避仇，內舉不避親”。用兩個成語來贊美他：出以公心、處事公正 。文中的“仇”指殺父仇人解狐，“親”指 親生兒子祁午。祁黃羊向悼公推薦的最合適的中軍尉人選竟然是他的殺父仇人解狐，從中可以體會他公私分明、不計前嫌的高尚品德。解狐病逝，祁黃羊舉薦自己的兒子祁午是萬般無奈而又十分慎重的決定。從中可以看出舉薦仇人和親人的目的都是為了國家的利益，標準只有一個：是人才而不是親與仇。
9.《公儀休拒收禮物》這篇課文是個獨幕劇，兩千多年前魯國的宰相公儀休拒收某大夫讓管家送來的鯉魚的故事，劇本開頭寫明故事發生的時間、地點、人物。方括號里主要交代人物活動情況。劇本主體是人物對話，也叫臺詞。括號內交代的是人物說話時的表情、動作等。幕起就是幕布拉開，幕落就是幕布閉合。，反映出公儀休是個以身作則、清正廉明、聰明機智的人。
10.人物特點公儀休：以身作則、清正廉潔、聰明機智;子明：謙遜有禮、勤學好問;管家：阿諛奉承、別有用心。
11.“正因為我喜歡吃魚，所以才不能收人家的魚。你想，如果我收了人家的魚，那就要照人家的意思辦事，這樣就難免要違犯國家的法紀。如果我犯了法，成了罪人，還能吃得上魚嗎?現在想吃魚就自己去買，不是一直有魚吃嗎?”這句話的意思是：如果收了人家的魚，就要照人家的意思辦事而會違犯國家法紀;如果犯了法，成了罪人，就根本吃不上魚了。從而得出結論：“不能收人家的魚。”從這意味深長的話語中，我們可以感受到公儀休高人一籌的見識和清正廉潔的品格。
12.用“來到……，只見……”寫一處景色：我和媽媽來到池塘邊，只見成行的白楊和垂柳沿著岸邊向池塘里伸展，形成了一條綠色的綢帶。一陣風吹過，水面微波蕩漾，片片樹葉隨風飛舞，有的落在樹下，有的餓落在池塘里。深綠色的水面上漂浮綠油油的浮蓮葉片。浮蓮花開滿池塘，散發出陣陣迷人的香氣，直入心脾。啊!這里的景色真讓人心曠神怡!
13.小惠考試沒考好，難過得哭了。我會對她說：“小惠，別難過了?？荚囘^程中誰都會緊張，難免會失誤。這次，只是一時疏忽造成的。失敗是成功之母!我相信你下次一定能考好。”
14.小敏家里發生了不幸，在傷心流淚。我會對她說：“小敏，既然事情已經發生了，我們應該勇敢地去面對。因為一個人不能被不幸擊倒，相反，它會使我們變得更堅強。來吧，抬起頭來，做生活的強者，讓我們一起去迎接生活中的風風雨雨吧!”
第三單元知識考點練習 按要求寫詞語。
1.舉薦—薦舉(意思相同)：代替—替代 合適—適合 喜歡—歡喜后退—退后 2.雞蛋—蛋雞(意思不同)：回來—來回 科學—學科 過去 去過愿意—意愿 3.興亡(兩個字來往 往來意思相反)：來回 來去 高低 高矮 上下 前后左右 4.來源于《三國演義》》的成語：三顧茅廬 草船借箭 萬事俱備，只欠東風鞠躬盡瘁，死而后已 5.形容人猛然醒悟的成語：茅塞頓開 恍然大悟 豁然開朗
6.含有數字的成語：學富五車 千姿百態 九牛一毛 百尺竿頭 萬紫千紅 六六大順一瀉千里 7.形容品格高尚的成語：兩袖清風 大公無私 奮不顧身 舍己為人 公正無私鐵面無私
8.描述諸葛亮一生的成語：初出茅廬 才華橫溢 料事如神 膽大心細 鞠躬盡瘁死而后已 獨木難支回天無力
9.與“三國”有關的詞語(有關歷史故事的)：空城計 苦肉計 夜走麥城 刮骨療毒 過五關，斬六將 萬事俱備，只欠東風 。
按要求寫句子。
1.與三國有關的歇后語：
張飛扔雞毛--有勁難使 關公赴會--單刀直入 諸葛亮征孟獲--收收放放張飛使計謀--粗中有細 諸葛亮彈琴--計上心來 曹操遇蔣干--倒了大霉 張飛販私鹽--誰敢檢查
2.關于渴求人才的古詩：
“我勸天公重抖摟，不拘一格降人才?！都汉ルs詩》龔自珍 第四單元
1.《永遠的白衣戰士》一文按時間順序描寫了廣東省中醫院的護士葉欣，在一場“沒有硝煙的戰爭”——抗擊“非典”的戰斗中，臨危不懼，身先士卒、舍己為人，英勇犧牲的感人事跡。
2.《“蕃茄太陽”》以“我”的見聞為主線，按時間的順序敘述盲童明明的言行舉止，描繪她的音容笑貌，同時抒發自己的內心感受，字里行間包含著對盲童的喜愛之情。
3.“明明咯咯的笑聲銀鈴樣清脆，一串一串地追著人走。”這句話把 笑聲 比作 銀鈴 。文中的盲姑娘明明是個樂觀開朗、感恩、善良，富有愛心的女孩。從 她愛笑 看出她樂觀、開朗，從 她說長大了把腿給“我” 看出她感恩、善良，富有愛心。
4.課文中三處“番茄太陽”的不同含義：第一處：明明聽了爸爸的話，用手摸了番茄后，感到天上的太陽就像番茄，這是指太陽。第二處：“我”看到明明的笑臉就像明明心中的“番茄太陽”那么美麗，這是指明明的笑臉。第三處：“我”聽了明明的話，心里受到了巨大的震撼，因此，覺得明明童真和愛心就像“番茄太陽”一樣溫暖而美好，這是指明明真誠的愛心——美好的心靈。
5.《第一次抱母親》一文記敘了“我”去守護生病住院的母親，抱起母親讓護士換床單時，才發覺母親的身體是那么輕，不由想起了母親以弱小的身體挑著重擔翻山越嶺的往事，心里很難過，也很愧疚，于是，像小時候母親抱“我”一樣，“我”把母親抱在懷里，讓母親入睡，結果發現母親的眼眶里流出了淚水。課文重點記敘了“我”與護士與母親的對話，簡介生動地描寫了“我”抱母親的情景，表達了“我”對母親的崇敬和愛戴。
6.《我不是最弱小的》一文記敘了薩沙在爸爸媽媽的影響下，把爸爸媽媽讓給他的雨衣蓋在了“比自己弱小的薔薇花上”，贊揚了薩沙一家人自覺保護弱小者的高尚情操。“最弱小的”就是年齡最小的，力氣最小的，身體最弱的……
7.“每個人都要保護比自己弱小的人”媽媽回答說。這句話的含義是：媽媽告訴薩沙無論何時何地，每個人都應該保護比自己年齡小的，比自己力氣小的，或者比自己身體弱的。“現在我該不是最弱小的了吧，媽媽?”薩沙問道。含義：這是薩沙在反問媽媽：現在我保護了比我弱小的薔薇花，我不是最弱小的了——你們保護我，我也能保護別人了。
8.“永遠的白衣戰士”指的是 葉欣 。2003年搶救 非典型肺炎患者的工作被作者稱作一場 沒有硝煙的戰爭 !葉欣護士長冒著“ 高風險 ”，進行著“ 高強度 ”“高效率”的搶救工作，她像一臺 永不疲倦的機器全速運轉著 。從“ 斬釘截鐵”、“ 聲色俱厲 ”兩個詞語看出，她決不讓同事受感染。3月29日下午，在她的追悼會上，花圈 如海 ，淚水 如雨 。遺像中，她留給人們的是 永恒的微笑 。葉欣 臨危不懼、身先士卒、舍己為人 的高貴品質讓人感動，值得我們學習!
9.《第一次抱母親》作者以為母親有 100多 斤，沒想到母親最重的時候才 89 斤。作者之所以產生這樣的錯覺，是因為“小時候母親總是手里拉著我，背上背著妹妹，肩上再挑100多斤重的擔子翻山越嶺。這樣 年復一年 ，直到 我們長大 。”就算作者長大后，逢有重擔，母親也總是 搶著挑 。想到母親用那么瘦弱的身體承受那么重的擔子，作者心情十分愧疚，于是產生了 抱母親入睡 的想法。后來，好像睡著了的母親流下了淚水，這是 幸福 的淚水、 欣慰 的淚水……贊美母親的成語有：嘔心瀝血、含辛茹苦、無怨無悔，贊美母愛的古詩或詩句有：“慈母手中線，游子身上衣”
10.為了證明自己不是最弱小的，薩沙朝著薔薇叢 走去 。他 掀起 雨衣， 蓋在 粉紅的薔薇花上。因為他保護了比他弱小的薔薇花 ，所以他問媽媽：“現在我該不是最弱小的了吧，媽媽?”雨前的薔薇花 粉紅粉紅的，芳香撲鼻 ，雨中的薔薇花 被沖掉了幾片花瓣，低垂著頭 。形容雨大的成語 大雨如注、 滂沱大雨 。你是最弱小的人嗎?舉例：我也不是最弱小的，因為我曾經幫助同學打掃過衛生，給摔倒的同學抹藥等等。
11.本單元我們認識了(玉潔冰清)的葉欣、(心靈美好)的盲童明明、(保護弱者)的薩沙。 12.我們背誦《三字經》(為人子 方少時 親師友 習禮儀 香九齡 能溫席 孝于親 所當執 融四歲能讓梨 弟于長宜先知 )這段《〈三字經〉》告訴我們從小要(學會親近良師，結交益友，孝順父母，尊敬兄長，友愛兄弟等等。
13.本單元要掌握的多音字： 纖xian纖弱 難nan困難 差chai出差 背bei背包 發fa發現 qian纖夫 nan災難 cha差別 bei背面 fa頭發 ci參差
重chong重復 給ji給予 假jia假日 悶men悶熱 zhong重量 gei送給 jia真假 men煩悶 第四單元知識考點練習： 按要求寫詞語。
1.形容雨大的詞語：大雨如注 滂沱大雨 傾盆大雨 狂風暴雨 瓢潑大雨
2.描寫花兒的詞語：嬌嫩纖弱 色彩斑斕 千姿百態 亭亭玉立 姹紫嫣紅 含苞欲放 3.形容注意力集中的詞語：全神貫注 聚精會神 屏氣凝神 目不轉睛 心無二用 傾耳注目
4.贊美葉欣的成語：身先士卒 臨危不懼 舍己為人 救死扶傷 玉潔冰清 舍死忘生 5.贊美母親的成語：含辛茹苦 任勞任怨 勤勤懇懇 秀外慧中
6.第三字是“如”的成語：暴跳如雷 大雨如注 一貧如洗 揮汗如雨 表里如一 7.ABBC式成語：不了了之 自欺欺人 解衣衣人春風風人夏雨雨人 上衣衣國
8.描寫自然景物的成語：湖光山色 山清水秀 風月無邊 綠草如茵 迎風吐艷 爭奇斗艷 繁花似錦 9.形容讀書馬虎的成語：丟三落四 忘東忘西 三心二意 粗心大意 囫圇吞棗 心不在焉 10.形容時間短而快的：頃刻間 日復一日 日月如梭光陰似箭 曇花一現 剎那間 轉眼間 解釋加點字的意思。
1.雷聲大作：作：起。 2.大雨如注：注：灌入。
3.翻山越嶺：翻：越過，越：跨過。 4.突發奇想：奇：罕見的，特殊的。 5.身先士卒：卒：兵。 6.聲色俱厲：俱：全，都;厲：嚴肅，猛烈。 7.斬釘截鐵：斬：砍;截：切斷，割斷。 8.處事不驚：處：處置，辦理。 9.眾志成城：城：城墻。 10.含辛茹苦：含：藏在里面;茹：吃。 11.舍生忘死：舍：舍棄;忘：忘記。 巧用成語。
1.醫生(尋根問底 )，為人們解除病痛的折磨，受到人們的廣泛贊譽。
2.夏天，下過了一場雷雨，天空出現了一道彩虹，那情景真是( 蔚為壯觀 )。 3.這次比賽，我輸得心服口服，讓我知道了(山外有山)的道理。
4.清明節，想到那些為了今天幸福生活(舍生忘死)的先烈，我不由頓生崇敬之情。 5.由于諸葛亮(才華橫溢)，所以能(料事如神)，因此在每次的戰爭中總是能打敗對手。他為了國家真是(鞠躬盡瘁)、(死而后已)。
6.我們班的王明同學，在學習上遇到難題，總是(尋根問底 )，而不是(浮光掠影 )，所以，他對課內外的知識是(無所不曉)。
7.諸葛亮是三國時期蜀漢的政治家、軍事家。人們常用(才華橫溢)、(料事如神)來贊頌諸葛亮的聰明才智。然而，自張飛、關羽、劉備、趙云相繼死后，諸葛亮獨自一人支撐蜀國，為實現劉備的遺愿，他(鞠躬盡瘁)、(死而后己)，但勢單力薄，最終(獨木難支)(回天無力)。
二項式定理知識點總結范文第6篇
1.運用加法計數原理與乘法計數原理解題時, 應善于從題目語言的差異與變化中弄清楚面臨怎樣的“一件事兒”, 弄清事件之間的關系是“相依”還是“相斥”, 然后按照恰當的“對象”進行分類或分步, 合理設計相應的做事方式.
2.排列、組合是兩類特殊而重要的計數問題, 運用時應貫穿兩個基本思路:一是根據問題的特點和規律尋找簡便的計數方法, 二是注意合理應用兩個計數原理思考和解決問題.在進行排列數A
3.解決排列組合具體問題時, 應抓住“順序”來區分排列問題中元素的“有序”與組合問題中元素的“無序”.對于帶有約束條件的排列或組合問題, 應靈活運用優先法 (優先考慮特殊元素或特殊位置) 、插空法、捆綁法、排除法等基本的解題方法.一般是先選元素 (組合) , 后排元素 (排列) , 并按元素的性質“分類”和按事件發生的連續過程“分步”.
4.對于含有多個限制條件的問題, 應先分析每個限制條件, 然后綜合考慮是用直接法 (優先法) ——逐個滿足限制條件;還是用間接法 (排除法) ——先不考慮限制條件, 然后排出不合條件的情形;有時也可用先局部滿足限制條件, 放棄部分限制條件的方法進行;有時需用集合的對應關系來分析;有時可選擇不同的途徑進行思考, 以便對照檢查, 防止重復或遺漏.
5.二項式定理揭示了二項式的n次冪的展開式在項數、系數、次數等方面的聯系, 集中體現在二項展開式的通項公式Tr+1=C
6.利用通項公式可以求二項展開式中的指定的項 (如常數項、系數最大的項、有理項等) 或相關項的系數, 但在讀題審題時, 要正確區分出“項”、“項的系數”、“項的二項式系數”等, 避免粗枝大葉誤求、錯求.
7.對于二項式定理, 不僅要掌握其正向運用, 而且應學會逆向與變形運用.有時先作適當變形后再展開較為簡便;有時需將非二項式轉化為二項式問題來研究;有時需適當配湊后逆用二項式定理.
8.二項式系數的性質有比較廣泛的應用, 尤其要注意賦值法在求值、證明 (組合數等式) 時的應用.
排列、組合及二項式定理是高考必考的內容之一.題目難度為高中低檔, 題型為選擇題或填空題, 主要考點內容包括廣泛, 如:數字問題, 排隊問題, 分組問題, 圖形上色問題, 整除問題, 與函數、數列相關問題, 排列組合問題中求待定系數問題, (a+b) n展開式求指定項 (常數項、含xk項、二項式系數、項的系數) 問題等等.
二、典例分析
例1 (2010·北京) 8名學生和2位老師站成一排合影, 2位老師不相鄰的排法種數為 ( ) .
(A) A
(C) A
解析:一般情況下, 不相鄰問題用插空法, 相鄰問題用捆綁法.先排學生有A
例2 (2010·湖南) 在某種信息傳輸過程中, 用4個數字的一個排列 (數字允許重復) 表示一個信息, 不同排列表示不同信息.若所用數字只有0和1, 則與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息個數為 ( ) .
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 15
解析:與信息0110至多有兩個對應位置上的數字相同的信息包括三類:
(1) 與信息0110沒有一個對應位置上的數字相同, 有C
(2) 與信息0110有一個對應位置上的數字相同, 有C
(3) 與信息0110有兩個對應位置上的數字相同, 有C
故共有1+4+6=11個, 選B.
例3 (2010·山東) 某臺小型晚會由6個節目組成, 演出順序有如下要求:節目甲必須排在前兩位, 節目乙不能排在第一位, 節目丙必須排在最后一位, 該臺晚會節目演出順序的編排方案共有 ( ) .
(A) 36種 (B) 42種
(C) 48種 (D) 54種
解析:由于甲、乙、丙有特殊要求, 先將丙排在最后一位.考慮甲、乙時, 分兩類:第一類, 甲排在第一位, 中間4個節目無限制條件, 有A
例4 (2010·廣東) 為了迎接2010年廣州亞運會, 某大樓安裝了5個彩燈, 它們閃亮的順序不固定.每個彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色, 且這5個彩燈閃亮的顏色各不相同, 記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍, 在每個閃爍中, 每秒鐘有且只有一個彩燈閃亮, 而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒.如果要實現所有不同的閃爍, 那么需要的時間至少是 ( ) .
(A) 1205秒 (B) 1200秒
(C) 1195秒 (D) 1190秒
解析:由于有5個彩燈, 并且每個彩燈能閃亮5種顏色, 因此一共有A
例5 (2010·江西) 將6位志愿者分成4組, 其中兩個各2人, 另兩個組各1人, 分赴世博會的四個不同場館服務, 不同的分配方案有____種 (用數字作答) .
解析:先將6位志愿者分組, 共有
例6 (2010·天津) 如圖, 用四種不同顏色給圖中的A, B, C, D, E, F六個點涂色, 要求每個點涂一種顏色, 且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色, 則不同的涂色方法用 ( ) .
(A) 288種 (B) 264種
(C) 240種 (D) 168種
解析:根據所涂顏色分兩類:
第一類, 涂三種顏色, 先涂點A, D, E有A
第二類, 涂四種顏色, 先涂點A, D, E有A
由分類加法計數原理, 共有48+216=264種不同的涂法, 選B.
另法:B, D, E, F用四種顏色, 則有A
所以共有24+192+48=264種不同的涂色方法.
例7 (2010·浙江) 有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試, 每位同學上、下午各測試一個項目, 且不重復.若上午不測“握力”項目, 下午不測“臺階”項目, 其余項目上、下午都各測試一人.則不同的安排方式共有____種 (用數字作答) .
解析:由題意知, 每天只能測8人次, 先安排4位同學參加上午的測試, 由于上午不測“握力”, 其余四項任由4人選擇, 共A
下午只測“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”4項, 此時分類完成, 可安排上午測了“臺階”的人先選一項:若選到“握力”, 則另外三人只能從“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”中選一項, 而上午這三項他們又各測過一次, 只能有2種選擇;若上午測了“臺階”的人, 從“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”中任選一項, 有C
故有A
例8 (2011·浙江) 設二項式
解析:A=C
解之, 得a=2 (負值已舍) .
例9 (2010·江西)
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
解析:
由
又
∴展開式中不含x4項的系數的和為0, 選B.
例10 (2011·全國卷)
(A) -40 (B) -20 (C) 20 (D) 40
解析:令x=1, 得 (1+a) (2-1) 5=1+a=2, 所以a=1, 因此
令5-2r=1, 得r=2, 從而
令5-2r=-1, 得r=3, 從而
所以,
例11 (2010·全國卷)
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
解析:
令
∴x的系數是-C
例12 (2011·安徽) 設 (x-1) 21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21, 則a10+a11=____.
解析:由二項展開式知, Tr+1=C
∴a10+a11=C
三、鞏固練習及答案
1.某同學有同樣的畫冊2本, 同樣的集郵冊3本, 從中取出4本贈送給4位朋友每位朋友1本, 則不同的贈送方法共有 ( ) .
(A) 4種 (B) 10種
(C) 18種 (D) 20種
2.現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務活動, 每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一, 每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作, 丙、丁、戌都能勝任四項工作, 則不同安排方案的種數是 ( ) .
(A) 152 (B) 126
(C) 90 (D) 54
3.將標號為1, 2, 3, 4, 5, 6的6張卡片放入3個不同的信封中, 若每個信封放入2張, 其中標號為1, 2的卡片放入同一信封, 則不同的方法共有 ( ) .
(A) 12種 (B) 18種
(C) 36種 (D) 54種
4.某校開設A類選修課3門, B類選修課4門, 一位同學從中一共選修3門.若要求兩類課程中各至少選一門, 則不同的選法共有 ( ) .
(A) 30種 (B) 35種
(C) 42種 (D) 48種
5.由1, 2, 3, 4, 5組成沒有重復數字且1, 2都不與5相鄰的五位數的個數是 ( ) .
(A) 36 (B) 32
(C) 28 (D) 24
6.某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日 (端午節假期) 值班, 每天安排2人, 每人值班1天.若6位員工中的甲不值14日, 乙不值16日, 則不同的安排方法共有 ( ) .
(A) 30種 (B) 36種
(C) 42種 (D) 48種
7.由1, 2, 3, 4, 5, 6組成沒有重復數字且1, 3都不與5相鄰的六位偶數的個數是 ( ) .
(A) 72 (B) 96
(C) 108 (D) 144
8.現有位同學只聽同時進行的個課外知識講座, 每名同學可自由選擇其中的一個講座, 不同選法的種數是 ( ) .
(A) -6 (B) -3 (C) 0 (D) 3
10.若
13.在
14.若
17.給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當n≤4時, 在所有不同的著色方案中, 黑色正方形互不相鄰的著色方案如右圖所示:
由此推斷, 當n=6時, 黑色正方形互不相鄰的著色方案共有____種, 至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有____種. (結果用數值表示)
鞏固練習答案
1.B. 2.B. 3.B. 4.A. 5.A. 6.C. 7.C.8.A. 9.A. 10.1. 11.-5. 12.84. 13.6. 14.4. 15.84. 16.17. 17.21, 43.