時間過得很快，四季輪回的過程中，一年忙碌的工作時間結束。在這一年的工作中，大家通過工作，可學到更多方面的工作知識，也留下了眾多的學習回憶。為記錄這一年的成長，可編寫一份年終總結。以下是小編精心整理的《二項式定理知識點總結》僅供參考，大家一起來看看吧。
第一篇：二項式定理知識點總結
動能定理的知識點總結
物理是人們對無生命自然界中物質的轉變的知識做出規律性的總結的學科。下面給大家整理了動能定理的知識點總結，歡迎閱讀!
1、什么是動能?它與哪些因素有關?
物體由于運動而具有的能叫動能，它與物體的質量和速度有關。
下面通過舉例表明：運動物體可對外做功，質量和速度越大，動能越大，物體對外做功的能力也越強。所以說動能是表征運動物體做功的一種能力。
2、動能公式
動能與質量和速度的定量關系如何呢?我們知道，功與能密切相關。因此我們可以通過做功來研究能量。外力對物體做功使物體運動而具有動能。下面我們就通過這個途徑研究一個運動物體的動能是多少。
列出問題，引導學生回答：
光滑水平面上一物體原來靜止，質量為m，此時動能是多少?(因為物體沒有運動，所以沒有動能)。在恒定外力F作用下，物體發生一段位移s，得到速度v(如圖1)，這個過程中外力做功多少?物體獲得了多少動能?
樣我們就得到了動能與質量和速度的定量關系：
物體的動能等于它的質量跟它的速度平方的乘積的一半。用Ek表示動能，則計算動能的公式為：
由以上推導過程可以看出，動能與功一樣，也是標量，不受速度方向的影響。它在國際單位制中的單位也是焦耳(J)。一個物體處于某一確定運動狀態，它的動能也就對應于某一確定值，因此動能是狀態量。
下面通過一個簡單的例子，加深同學對動能概念及公式的理解。
試比較下列每種情況下，甲、乙兩物體的動能：(除下列點外，其他情況相同)
①物體甲的速度是乙的兩倍;②物體甲向北運動，乙向南運動;
③物體甲做直線運動，乙做曲線運動;④物體甲的質量是乙的一半。
在學生得出正確答案后總結：動能是標量，與速度方向無關;動能與速度的平方成正比，因此速度對動能的影響更大。
3、動能定理
(1)動能定理的推導
將剛才推導動能公式的例子改動一下：假設物體原來就具有速度v1，且水平面存在摩擦力f，在外力F作用下，經過一段位移s，速度達到v2，如圖2，則此過程中，外力做功與動能間又存在什么關系呢?
外力F做功：W1=Fs
摩擦力f做功：W2=-fs
可見，外力對物體做的總功等于物體在這一運動過程中動能的增量。其中F與物體運動同向，它做的功使物體動能增大;f與物體運動反向，它做的功使物體動能減少。它們共同作用的結果，導致了物體動能的變化。
將上述問題再推廣一步：若物體同時受幾個方向任意的外力作用，情況又如何呢?引導學生推導出正確結論并板書：
外力對物體所做的總功等于物體動能的增加，這個結論叫動能定理。
用W總表示外力對物體做的總功，用Ek1表示物體初態的動能，用Ek2表示末態動能，則動能定理表示為：
(2)對動能定理的理解
動能定理是學生新接觸的力學中又一條重要規律，應立即通過舉例及分析加深對它的理解。
a、對外力對物體做的總功的理解
有的力促進物體運動，而有的力則阻礙物體運動。因此它們做的功就有正、負之分，總功指的是各外力做功的代數和;又因為W總=W1+W2+?=F1·s+F2·s+?=F合·s，所以總功也可理解為合外力的功。
b、對該定理標量性的認識
因動能定理中各項均為標量，因此單純速度方向改變不影響動能大小。如勻速圓周運動過程中，合外力方向指向圓心，與位移方向始終保持垂直，所以合外力做功為零，動能變化亦為零，并不因速度方向改變而改變。
c、對定理中“增加”一詞的理解
由于外力做功可正、可負，因此物體在一運動過程中動能可增加，也可能減少。因而定理中“增加”一詞，并不表示動能一定增大，它的確切含義為末態與初態的動能差，或稱為“改變量”。數值可正，可負。
d、對狀態與過程關系的理解
功是伴隨一個物理過程而產生的，是過程量;而動能是狀態量。動能定理表示了過程量等于狀態量的改變量的關系。
4、例題講解或討論
主要針對本節重點難點——動能定理，適當舉例，加深學生對該定理的理解，提高應用能力。
例
1、一物體做變速運動時，下列說法正確的是 [ ]
A、合外力一定對物體做功，使物體動能改變
B、物體所受合外力一定不為零
C、合外力一定對物體做功，但物體動能可能不變
D、物體加速度一定不為零
此例主要考察學生對涉及力、速度、加速度、功和動能各物理量的牛頓定律和動能定理的理解。只要考慮到勻速圓周運動的例子，很容易得到正確答案B、D。
例
2、在水平放置的長直木板槽中，一木塊以6.0m/s的初速度開始滑動?；?.0m后速度減為4.0m/s，若木板糟粗糙程度處處相同，此后木塊還可以向前滑行多遠?
此例是為加深學生對負功使動能減少的印象，需正確表示動能定理中各物理量的正負。解題過程如下：
設木板槽對木塊摩擦力為f，木塊質量為m，據題意使用動能定理有：
二式聯立可得：s2=3.2m，即木塊還可滑行3.2m。
此題也可用運動學公式和牛頓定律來求解，但過程較繁，建議布置學生課后作業，并比較兩種方法的優劣，看出動能定理的優勢。
例
3、如圖3，在水平恒力F作用下，物體沿光滑曲面從高為h1的A處運動到高為h2的B處，若在A處的速度為vA，B處速度為vB，則AB的水平距離為多大?
可先讓學生用牛頓定律考慮，遇到困難后，再指導使用動能定理。
A到B過程中，物體受水平恒力F，支持力N和重力mg的作用。三個力做功分別為Fs，0和-mg(h2-h1)，所以動能定理寫為：
從此例可以看出，以我們現在的知識水平，牛頓定律無能為力的問題，動能定理可以很方便地解決，其關鍵就在于動能定理不計運動過程中瞬時細節。
通過以上三例總結一下動能定理的應用步驟：
(1)明確研究對象及所研究的物理過程。
(2)對研究對象進行受力分析，并確定各力所做的功，求出這些力的功的代數和。
(3)確定始、末態的動能。(未知量用符號表示)，根據動能定理列出方程
W總=Ek2—Ek
1(4)求解方程、分析結果
我們用上述步驟再分析一道例題。
例
4、如圖4所示，用細繩連接的A、B兩物體質量相等， A位于傾角為30°的斜面上，細繩跨過定滑輪后使A、B均保持靜止，然后釋放，設A與斜面間的滑動摩擦力為A受重力的0.3倍，不計滑輪質量和摩擦，求B下降1m時的速度多大。
讓學生自由選擇研究對象，那么可能有的同學分別選擇A、B為研究對象，而有了則將A、B看成一個整體來分析，分別請兩位方法不同的學生在黑板上寫出解題過程：
三式聯立解得：v=1.4m/s
解法二：將A、B看成一整體。(因二者速度、加速度大小均一樣)，此時拉力T為內力，求外力做功時不計，則動能定理寫為：
f=0.3mg
二式聯立解得：v=1.4m/s
可見，結論是一致的，而方法二中受力體的選擇使解題過程簡化，因而在使用動能定理時要適當選取研究對象。
第二篇：勾股定理知識總結
一：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。(即：a2+b2=c2)要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用：
(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊
(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊 (3)利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題
二：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關系a2+b2=c2
，那么這個三角形是直角三角形。 要點詮釋：
用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形應注意： (1)首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c;
(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2=a2+b2
，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形
(若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形;若c2
，則△ABC為銳角三角形)。
三：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理;
聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。 四：互逆命題的概念
如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。 規律方法指導
1.勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。
2.勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。
3.勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯 誤。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形;該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法.
5.•應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解.
我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)
第三篇：三垂線定理及逆定理-高中數學知識口訣
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三垂線定理及逆定理
上海市同洲模范學校宋立峰
三垂線定理及逆定理
面內直線面外點，過點引出兩直線; 斜線斜足定射影，斜垂射影必共面。 面內直線垂射影，該直線就垂斜線。 面內直線垂斜線，垂直射影來作伴。
三垂線定理
影垂不怕線斜(形影不離)
即:垂直射影垂斜線
三垂線定理逆定理
斜垂影隨其身(影隨其身)
即:垂直斜線垂射影
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第四篇：動能定理機械能守恒定律知識點例題（精）
1. 動能、動能定理 2. 機械能守恒定律
【要點掃描】
動能 動能定理
-、動能
如果-個物體能對外做功，我們就說這個物體具有能量.物體由于運動而具有的能.Ek=mv2，其大小與參照系的選取有關.動能是描述物體運動狀態的物理量.是相對量。
二、動能定理
做功可以改變物體的能量.所有外力對物體做的總功等于物體動能的增量. W1+W2+W3+„„=?mvt2-?mv02
1、反映了物體動能的變化與引起變化的原因——力對物體所做功之間的因果關系.可以理解為外力對物體做功等于物體動能增加，物體克服外力做功等于物體動能的減小.所以正功是加號，負功是減號。
2、“增量”是末動能減初動能.ΔEK>0表示動能增加，ΔEK<0表示動能減小.
3、動能定理適用于單個物體，對于物體系統尤其是具有相對運動的物體系統不能盲目的應用動能定理.由于此時內力的功也可引起物體動能向其他形式能(比如內能)的轉化.在動能定理中.總功指各外力對物體做功的代數和.這里我們所說的外力包括重力、彈力、摩擦力、電場力等.
4、各力位移相同時，可求合外力做的功，各力位移不同時，分別求各力做的功，然后求代數和.
5、力的獨立作用原理使我們有了牛頓第二定律、動量定理、動量守恒定律的分量表達式.但動能定理是標量式.功和動能都是標量，不能利用矢量法則分解.故動能定理無分量式.在處理-些問題時，可在某-方向應用動能定理.
6、動能定理的表達式是在物體受恒力作用且做直線運動的情況下得出的.但它也適用于外力為變力及物體作曲線運動的情況.即動能定理對恒力、變力做功都適用;直線運動與曲線運動也均適用.
7、對動能定理中的位移與速度必須相對同-參照物.
三、由牛頓第二定律與運動學公式推出動能定理
設物體的質量為m，在恒力F作用下，通過位移為s，其速度由v0變為vt，則：
根據牛頓第二定律F=ma„„① 根據運動學公式2as=vt2―v02„„②
由①②得：Fs=mvt2-mv02
四、應用動能定理可解決的問題
恒力作用下的勻變速直線運動，凡不涉及加速度和時間的問題，利用動能定理求解-般比用牛頓定律及運動學公式求解要簡單得多.用動能定理還能解決-些在中學應用牛頓定律難以解決的變力做功的問題、曲線運動的問題等.
機械能守恒定律
-、機械能
1、由物體間的相互作用和物體間的相對位置決定的能叫做勢能.如重力勢能、彈性勢能、分子勢能、電勢能等.
(1)物體由于受到重力作用而具有重力勢能，表達式為 EP=mgh.式中h是物體到零重力勢能面的高度. (2)重力勢能是物體與地球系統共有的.只有在零勢能參考面確定之后，物體的重力勢能才有確定的值，若物體在零勢能參考面上方高 h處其重力勢能為EP=mgh，若物體在零勢能參考面下方低h處其重力勢能為 EP=-mgh，“-”不表示方向，表示比零勢能參考面的勢能小，顯然零勢能參考面選擇的不同，同-物體在同-位置的重力勢能的多少也就不同，所以重力勢能是相對的.通常在不明確指出的情況下，都是以地面為零勢面的.但應特別注意的是，當物體的位置改變時，其重力勢能的變化量與零勢面如何選取無關.在實際問題中我們更會關心的是重力勢能的變化量.
(3)彈性勢能，發生彈性形變的物體而具有的勢能.高中階段不要求具體利用公式計算彈性勢能，但往往要根據功能關系利用其他形式能量的變化來求得彈性勢能的變化或某位置的彈性勢能.
2、重力做功與重力勢能的關系：重力做功等于重力勢能的減少量WG=ΔEP減=EP初-EP末，克服重力做功等于重力勢能的增加量W克=ΔEP增=EP末—EP初 應特別注意：重力做功只能使重力勢能與動能相互轉化，不能引起物體機械能的變化.
3、動能和勢能(重力勢能與彈性勢能)統稱為機械能.
二、機械能守恒定律
1、內容：在只有重力(和彈簧的彈力)做功的情況下，物體的動能和勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不變.
2、機械能守恒的條件
(1)對某-物體，若只有重力(或彈簧彈力)做功，其他力不做功(或其他力做功的代數和為零)，則該物體機械能守恒.
(2)對某-系統，物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉化，系統和外界沒有發生機械能的傳遞，機械能也沒有轉變為其他形式的能，則系統機械能守恒.
3、表達形式：EK1+Epl=Ek2+EP2
(1)我們解題時往往選擇的是與題目所述條件或所求結果相關的某兩個狀態或某幾個狀態建立方程式.此表達式中EP是相對的.建立方程時必須選擇合適的零勢能參考面.且每-狀態的EP都應是對同-參考面而言的.
(2)其他表達方式，ΔEP=-ΔEK，系統重力勢能的增量等于系統動能的減少量. (3)ΔEa=-ΔEb，將系統分為a、b兩部分，a部分機械能的增量等于另-部分b的機械能的減少量，
三、判斷機械能是否守恒
首先應特別提醒注意的是，機械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飛來的子彈打入靜止在光滑水平面上的木塊內的過程中，合外力的功及合外力都是零，但系統在克服內部阻力做功，將部分機械能轉化為內能，因而機械能的總量在減少.
(1)用做功來判斷：分析物體或物體受力情況(包括內力和外力)，明確各力做功的情況，若對物體或系統只有重力或彈力做功，沒有其他力做功或其他力做功的代數和為零，則機械能守恒;
(2)用能量轉化來判定：若物體系中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化，則物體系機械能守恒.
(3)對-些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除非題目的特別說明，機械能必定不守恒，完全非彈性碰撞過程機械能不守恒
【規律方法】
動能 動能定理
【例1】如圖所示，質量為m的物體與轉臺之間的摩擦系數為μ，物體與轉軸間距離為R，物體隨轉臺由靜止開始轉動，當轉速增加到某值時，物體開始在轉臺上滑動，此時轉臺已開始勻速轉動，這過程中摩擦力對物體做功為多少?
解析：物體開始滑動時，物體與轉臺間已達到最大靜摩擦力，這里認為就是滑動摩擦力μmg.
根據牛頓第二定律μmg=mv2/R„„① 由動能定理得：W=?mv2 „„②
由①②得：W=?μmgR，所以在這-過程摩擦力做功為?μmgR 點評：(1)-些變力做功，不能用 W=Fscos求，應當善于用動能定理. (2)應用動能定理解題時，在分析過程的基礎上無須深究物體的運動狀態過程中變化的細節，只須考慮整個過程的功量及過程始末的動能.若過程包含了幾個運動性質不同的分過程.既可分段考慮，也可整個過程考慮.但求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據不同情況分別對待求出總功.計算時要把各力的功連同符號(正負)-同代入公式.
【例2】-質量為m的物體.從h高處由靜止落下，然后陷入泥土中深度為Δh后靜止，求阻力做功為多少?
提示：整個過程動能增量為零，則根據動能定理mg(h+Δh)-Wf=0 所以Wf=mg(h+Δh) 答案：mg(h+Δh)
(一)動能定理應用的基本步驟
應用動能定理涉及-個過程，兩個狀態.所謂-個過程是指做功過程，應明確該過程各外力所做的總功;兩個狀態是指初末兩個狀態的動能.
動能定理應用的基本步驟是：
①選取研究對象，明確并分析運動過程.
②分析受力及各力做功的情況，受哪些力?每個力是否做功?在哪段位移過程中做功?正功?負功?做多少功?求出代數和.
③明確過程始末狀態的動能Ek1及EK2 ④列方程 W=解.
【例3】總質量為M的列車沿水平直線軌道勻速前進，其末節車廂質量為m，中途脫節，司機發覺時，機車已行駛了L的距離，于是立即關閉油門，除去牽引力，設阻力與質量成正比，機車的牽引力是恒定的，當列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少? -
，必要時注意分析題目的潛在條件，補充方程進行求解析：此題用動能定理求解比用運動學結合牛頓第二定律求解簡單.先畫出草圖如圖所示，標明各部分運動位移(要重視畫草圖);對車頭，脫鉤前后的全過程，根據動能定理便可解得.
FL-μ(M-m)gs1=-?(M-m)v02
對末節車廂，根據動能定理有-μmgs2=-mv02 而Δs=s1-s2
由于原來列車勻速運動，所以F=μMg. 以上方程聯立解得Δs=ML/(M-m).
說明：對有關兩個或兩個以上的有相互作用、有相對運動的物體的動力學問題，應用動能定理求解會很方便.最基本方法是對每個物體分別應用動能定理列方程，再尋找兩物體在受力、運動上的聯系，列出方程解方程組.
(二)應用動能定理的優越性
(1)由于動能定理反映的是物體兩個狀態的動能變化與其合力所做功的量值關系，所以對由初始狀態到終止狀態這-過程中物體運動性質、運動軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問題不必加以追究，就是說應用動能定理不受這些問題的限制.
(2)-般來說，用牛頓第二定律和運動學知識求解的問題，用動能定理也可以求解，而且往往用動能定理求解簡捷.可是，有些用動能定理能夠求解的問題，應用牛頓第二定律和運動學知識卻無法求解.可以說，熟練地應用動能定理求解問題，是-種高層次的思維和方法，應該增強用動能定理解題的主動意識. (3)用動能定理可求變力所做的功.在某些問題中，由于力F的大小、方向的變化，不能直接用W=Fscosα求出變力做功的值，但可由動能定理求解. 【例4】如圖所示，質量為m的物體用細繩經過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值F時，轉動半徑為R，當拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體所做的功的大小是：
A. B. C. D. 零
解析：設當繩的拉力為F時，小球做勻速圓周運動的線速度為v1，則有 F=mv12/R„„①
當繩的拉力減為F/4時，小球做勻速圓周運動的線速度為v2，則有 F/4=mv22/2R„„②
在繩的拉力由F減為F/4的過程中，繩的拉力所做的功為W=?mv22-?mv12=-?FR 所以，繩的拉力所做的功的大小為FR/4，A選項正確. 說明：用動能定理求變力功是非常有效且普遍適用的方法.
【例5】質量為m的飛機以水平速度v0飛離跑道后逐漸上升，若飛機在此過程中水平速度保持不變，同時受到重力和豎直向上的恒定升力(該升力由其他力的合力提供，不含重力).今測得當飛機在水平方向的位移為L時，它的上升高度為h，求(1)飛機受到的升力大小?(2)從起飛到上升至h高度的過程中升力所做的功及在高度h處飛機的動能? 解析：(1)飛機水平速度不變，L= v0t，豎直方向的加速度恒定，h=?at2，消去t即得
由牛頓第二定律得：F=mg+ma= (2)升力做功W=Fh=
在h處，vt=at=
，
(三)應用動能定理要注意的問題
注意1：由于動能的大小與參照物的選擇有關，而動能定理是從牛頓運動定律和運動學規律的基礎上推導出來，因此應用動能定理解題時，動能的大小應選取地球或相對地球做勻速直線運動的物體作參照物來確定.
【例6】如圖所示質量為1kg的小物塊以5m/s的初速度滑上-塊原來靜止在水平面上的木板，木板質量為4kg，木板與水平面間動摩擦因數是0.02，經過2s以后，木塊從木板另-端以1m/s相對于地面的速度滑出，g取10m/s，求這-過程中木板的位移.
解析：設木塊與木板間摩擦力大小為f1，木板與地面間摩擦力大小為f2. 對木塊：-f1t=mvt-mv0，得f1=2 N 對木板：(fl-f2)t=Mv，f2=μ(m+ M)g 得v=0.5m/s 對木板：(fl-f2)s=?Mv2，得 s=0.5 m 答案：0.5 m 注意2：用動能定理求變力做功，在某些問題中由于力F的大小的變化或方向變化，所以不能直接由W=Fscosα求出變力做功的值.此時可由其做功的結果——動能的變化來求變力F所做的功. 【例7】質量為m的小球被系在輕繩-端，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，運動過程中小球受到空氣阻力的作用.設某-時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg，此后小球繼續做圓周運動，經過半個圓周恰能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為( ) A、mgR/4 B、mgR/3 C、mgR/2 D、mgR 解析：小球在圓周運動最低點時，設速度為v1，則 7mg-mg=mv12/R„„①
設小球恰能過最高點的速度為v2，則 mg=mv22/R„„②
設過半個圓周的過程中小球克服空氣阻力所做的功為W，由動能定理得： -mg2R-W=?mv22-?mv12„„③ 由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C 說明：該題中空氣阻力-般是變化的，又不知其大小關系，故只能根據動能定理求功，而應用動能定理時初、末兩個狀態的動能又要根據圓周運動求得不能直接套用，這往往是該類題目的特點.
機械能守恒定律
(一)單個物體在變速運動中的機械能守恒問題
【例1】如圖所示，桌面與地面距離為H，小球自離桌面高h處由靜止落下，不計空氣阻力，則小球觸地的瞬間機械能為(設桌面為零勢面)( ) A、mgh; B、mgH; C、mg(H+h); D、mg(H-h)
解析：這-過程機械能守恒，以桌面為零勢面，E初=mgh，所以著地時也為mgh，有的學生對此接受不了，可以這樣想，E初=mgh ，末為 E末=?mv2-mgH，而?mv2=mg(H+h)由此兩式可得：E末=mgh
答案：A
【例2】如圖所示，-個光滑的水平軌道AB與光滑的圓軌道BCD連接，其中圓軌道在豎直平面內，半徑為R，B為最低點，D為最高點.-個質量為m的小球以初速度v0沿AB運動，剛好能通過最高點D，則( )
A、小球質量越大，所需初速度v0越大
B、圓軌道半徑越大，所需初速度v0越大
C、初速度v0與小球質量m、軌道半徑R無關
D、小球質量m和軌道半徑R同時增大，有可能不用增大初速度v0
解析：球通過最高點的最小速度為v，有mg=mv2/R，v=
這是剛好通過最高點的條件，根據機械能守恒，在最低點的速度v0應滿足?m v02=mg2R+?mv2，v0=
(二)系統機械能守恒問題
【例3】如圖，斜面與半徑R=2.5m的豎直半圓組成光滑軌道，-個小球從A點斜向上拋，并在半圓最高點D水平進入軌道，然后沿斜面向上，最大高度達到h=10m，求小球拋出的速度和位置.
答案：B
解析：小球從A到D的逆運動為平拋運動，由機械能守恒，平拋初速度vD為mgh—mg2R=?mvD2;
所以A到D的水平距離為由機械能守恒得A點的速度v0為mgh=?mv02;
由于平拋運動的水平速度不變，則vD=v0cosθ，所以，仰角為
【例4】如圖所示，總長為L的光滑勻質的鐵鏈，跨過-光滑的輕質小定滑輪，開始時底端相齊，當略有擾動時，某-端下落，則鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，其速度多大?
解析：鐵鏈的-端上升，-端下落是變質量問題，利用牛頓定律求解比較麻煩，也超出了中學物理大綱的要求.但由題目的敘述可知鐵鏈的重心位置變化過程只有重力做功，或“光滑”提示我們無機械能與其他形式的能轉化，則機械能守恒，這個題目我們用機械能守恒定律的總量不變表達式E2=El，和增量表達式ΔEP=-ΔEK分別給出解答，以利于同學分析比較掌握其各自的特點. (1)設鐵鏈單位長度的質量為P，且選鐵鏈的初態的重心位置所在水平面為參考面，則初態E1=0 滑離滑輪時為終態，重心離參考面距離L/4，EP=-PLgL/4 Ek2=Lv2即終態E2=-PLgL/4+PLv2
由機械能守恒定律得E2= E1有-PLgL/4+PLv2=0，所以v=
(2)利用ΔEP=-ΔEK，求解：初態至終態重力勢能減少，重心下降L/4，重力勢能減少-ΔEP= PLgL/4，動能增量ΔEK=PLv2，所以v=
點評：(1)對繩索、鏈條這類的物體，由于在考查過程中常發生形變，其重心位置對物體來說，不是固定不變的，能否確定其重心的位置則是解決這類問題的關鍵，順便指出的是均勻質量分布的規則物體常以重心的位置來確定物體的重力勢能.此題初態的重心位置不在滑輪的頂點，由于滑輪很小，可視作對折來求重心，也可分段考慮求出各部分的重力勢能后求出代數和作為總的重力勢能.至于零勢能參考面可任意選取，但以系統初末態重力勢能便于表示為宜.
(2)此題也可以用等效法求解，鐵鏈脫離滑輪時重力勢能減少，等效為-半鐵鏈至另-半下端時重力勢能的減少，然后利用ΔEP=-ΔEK求解，留給同學們思考.
【模擬試題】
1、某地強風的風速約為v=20m/s，設空氣密度ρ=1.3kg/m3，如果把通過橫截面積=20m2風的動能全部轉化為電能，則利用上述已知量計算電功率的公式應為P=_________，大小約為_____W(取-位有效數字)
2、兩個人要將質量M=1000 kg的小車沿-小型鐵軌推上長L=5 m，高h=1 m的斜坡頂端.已知車在任何情況下所受的摩擦阻力恒為車重的0.12倍，兩人能發揮的最大推力各為800 N。水平軌道足夠長，在不允許使用別的工具的情況下，兩人能否將車剛好推到坡頂?如果能應如何辦?(要求寫出分析和計算過2程)(g取10 m/s )
3、如圖所示，兩個完全相同的質量為m的木板A、B置于水平地面上它們的間距s =2.88m.質量為2m 、大小可忽略的物塊C置于A板的左端. C與A之間的動摩擦因數為μ1=0.22，A、B與水平地面的動摩擦因數為μ2=0.10， 最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力. 開始時， 三個物體處于靜止狀態.現給C施加-個水平向右，大小為
的恒力F， 假定木板A、B碰撞時間極短且碰撞后粘連在-起.要使C最終不脫離木板，每塊木板的長度至少應為多少?
4、對-個系統，下面說法正確的是( )
A、受到合外力為零時，系統機械能守恒
B、系統受到除重力彈力以外的力做功為零時，系統的機械能守恒
C、只有系統內部的重力彈力做功時，系統的機械能守恒 D、除重力彈力以外的力只要對系統作用，則系統的機械能就不守恒
5、如圖所示，在光滑的水平面上放-質量為M=96.4kg的木箱，用細繩跨過定滑輪O與-質量為m=10kg的重物相連，已知木箱到定滑輪的繩長AO=8m，OA繩與水平方向成30°角，重物距地面高度h=3m，開始時讓它們處于靜止狀態.不計繩的質量及-切摩擦，g取10 m/s2，將重物無初速度釋放，當它落地的瞬間木箱的速度多大?
6、-根細繩不可伸長，通過定滑輪，兩端系有質量為M和m的小球，且M=2m，開始時用手握住M，使M與m離地高度均為h并處于靜止狀態.求：(1)當M由靜止釋放下落h高時的速度.(2)設M落地即靜止運動，求m離地的最大高度。(h遠小于半繩長，繩與滑輪質量及各種摩擦均不計)
【試題答案】
1、
2、解析：小車在軌道上運動時所受摩擦力為f f=μMg=0.12×1000×10N=1200 N 兩人的最大推力F=2×800 N=1600 N F>f，人可在水平軌道上推動小車加速運動，但小車在斜坡上時f+Mgsinθ=1200 N+10000·1/5N=3200 N>F=1600 N 可見兩人不可能將小車直接由靜止沿坡底推至坡頂.
若兩人先讓小車在水平軌道上加速運動，再沖上斜坡減速運動，小車在水平軌道上運動最小距離為s (F-f)s+FL-fL-Mgh=0
答案：能將車剛好推到坡頂，先在水平面上推20 m，再推上斜坡.
3、分析：這題重點是分析運動過程，我們必須看到A、B碰撞前A、C是相對靜止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速運動，而C的速度比A、B大，作減速運動，最終A、B、C達到相同的速度，此過程中當C恰好從A的左端運動到B的右端的時候，兩塊木板的總長度最短。
解答：設l為A或B板的長度，A、C之間的滑動摩擦力大小為f1，A與水平面的滑動摩擦力大小為f
2∵μ1=0.22。 μ2=0.10 ∴„„ ①
且 „② -開始A和C保持相對靜止，在F的作用下向右加速運動。
有 „③
A、B兩木板的碰撞瞬間，內力的沖量遠大于外力的沖量。由動量守恒定律得
mv1=(m+m)v2 „④
碰撞結束后到三個物體達到共同速度的相互作用過程中，設木板向前移動的位移為s1. 選三個物體構成的整體為研究對象，外力之和為零，則
„⑤
設A、B系統與水平地面之間的滑動摩擦力大小為f3。對A、B系統，由動能定理
„ ⑥
„⑦
對C物體，由動能定理由以上各式，再代入數據可得l=0.3(m)
„„„ ⑧
4、解析：A，系統受到合外力為零時，系統動量守恒，但機械能就不-定守恒， 答案：C
5、解析：本題中重物m和木箱M的動能均來源于重物的重力勢能，只是m和M的速率不等. 根據題意，m，M和地球組成的系統機械能守恒，選取水平面為零勢能面，有mgh=?mv+?Mv
從題中可知，O距M之間的距離為 h/=OAsin30°=4 m 當m落地瞬間，OA繩與水平方向夾角為α，則cosα==4/5 而m的速度vm等于vM沿繩的分速度，如圖所示，則有 vm=vMcosα
所以，聯立解得vM=
m/s 答案：m/ s
6、解：(1)在M落地之前，系統機械能守恒(M-m)gh=(M+m)v2，
(2)M落地之后，m做豎直上拋運動，機械能守恒.有： mv2=mgh/;h/=h/3
離地的最大高度為：H=2h+h/=7h/3
第五篇：中值定理超強總結
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1、 所證式僅與ξ相關 ①觀察法與湊方法
例 1 設f(x)在[0,1]上二階可導，f(0)?f(1)?f?(0)?0 試證至少存在一點??(a,b)使得f??(?)?2f?(?)1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1) 由這個式可知要構造的函數中必含有f?(x)，從xf??(x) 找突破口 因為[xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時要構造的函數就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數法
例 2 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b) 內可導，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時不論觀察還是湊都不容易找出要構造的函數，于是換一種方法 現在把與f 有關的放一邊，與 g 有關的放另一邊，同樣把 ? 換成 x ?g(x)dx
f?(x)f(x)兩邊積分?g(x) ?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce ?f(x)e??g(x)dx?C 現在設C?0，于是要構造的函數就很明顯了 F(x)?f(x)e?③一階線性齊次方程解法的變形法 ?g(x)dx對于所證式為f??pf?0型，(其中p為常數或x 的函數)pdxpdx可引進函數u (x)?e?，則可構造新函數F(x)?f?e?例：設f(x)在[a,b]有連續的導數，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?分析：把所證式整理一下可得：f?(?)? ?[f(?)?f(a)]??1b?a1f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)b?a?0[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型xx-?-b?adx 引進函數u (x)?e=eb?a (令C=0)，于是就可以設F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時會用到f?(c)?f(b)?f(a)b?a?0?f(b)?f(a) 這個結論
2、所證式中出現兩端點 ①湊拉格朗日
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例 3 設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導 證明至少存在一點??(a,b)使得bf(b)?af(a)b?a?f(?)??f?(?)
分析：很容易就找到要證的式子的特點，那么下可以試一下，不妨設 F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗證一 F?(?)?f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a(x1,x2)至少存在一點②柯西定理
例 4 設0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導，證明在 1c，使得ex2x1ex2ex1?f(c)?f?(c)?ef(x1)f(x2)xx2x2分析：先整理一下要證的式子e1f(x2)?eex1f(x1)?f(c)?f?(c)?e 這題就沒上面那道那么 發現e1f(x2)?exx2容易看出來了分子分母同除一下
f(x1)是交叉的，變換一下，ex1?x2f(x2) ex2??f(x1)e1x11x2于是這個式子一下變得沒有懸念了eex1 用柯西定理設好兩個函③k值法
仍是上題數就很容易證明了分析：對于數四，如果對柯西定理掌握的不是方法叫做k 值法很好上面那題該怎么辦呢? 在老陳的書里講了一個 第一步是要把含變量與 以此題為例已經是規范 設常量的式子分寫在等號的形式了，現在就看常?k 整理得e?x1兩邊量的這個式子?x2
ex1f(x2)?eex1x2x2f(x1)?e[f(x1)?k]?e[f(x2)?k] 很容易看出這是一個對 那么進入第二步，設稱式，也是說互換x1x2還是一樣的F(x1)?F(x2)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗證可知。 記得回帶k，用羅爾定理證明即可④泰勒公式法
老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當定理感覺都起不上作用時，泰勒法往往是可行的，而且對于有些題目，泰勒法反而會更簡單。
3、所證試同時出現ξ和η ①兩次中值定理
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例 5 f(x)在[a,b]上連續，在(a,b) 內可導，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有??e[f(?)?f?(?)]?e 一下子看不出來什么， 很容易看出那么可以先從左邊的式子下手試一下??xe[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設F(x)?ef(x) 利用拉格朗日定理可得?F?(?)??eaef(b)?ef(a)b?aexbba
再整理一下? e[f(?)?f?(?)]?ebb?aa只要找到?eab?a與e的關系就行了得到 這個更容易看出來了， G?(?)?e?令G(x)?e則再用拉格朗日定理就?e[f(?)?f?(?)]?b?a②柯西定理(與之前所舉例類似)
有時遇到ξ和η同時出現的時候還需要多方考慮，可能會用到柯西定理與拉氏定理的結合使用，在老陳書的習題里就出現過類似的題。 ?eb?e