第一篇：基于數學史范文
數學史與數學教育
第三節 數學史與數學教育
數學是歷史地形成的。只有懂得歷史，才能深刻理解數學。法國偉大的數 學家亨利·龐加萊曾說： “如果我們想要預測數學的未來，那么適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。”近幾年來，我國數學教育改革中，強調數學的文化價值，致使數學史知識得到廣泛的關注。 《高中數學課程標準》把“數學史選講”作為一門選修課加以開設，進一步推動數學史和數學教學的融合。
一、數學史對數學教育的作用
經過幾十年的不懈努力， 在數學教學中使用數學史，現在已經相當普及。各種教材都有關于數學史的材料。數學史對數學教育的作用主要有以下四個方面。
第一、幫助理解數學。
數學家發現數學的時候，是火熱地思考著的。一旦研究完畢，呈現在我們面 前的則是冰冷的美麗形式。教師的工作是要揭開這層形式化外衣來顯現數學本質，讓學生體會到數學的內涵。
當然，完成這項工作有許多途徑，應該說所有這些途徑都屬于教學方法范疇之內。但從數學歷史的角度來把握數學本質也是其中的一種有效的途徑。 正如醫生給病人看病，詢問病人的病史是一個不可或缺的環節一樣，理解數學也要知道它的發生、變化和發展的歷史全過程，才能透析出隱藏于其中的數學內涵。
一個明顯的例子是古希臘的演繹幾何。為什么古希臘人要用公理化方法展開數學?他們所處的時代背景如何?中國古代數學的特點和古希臘數學的特征有何不同?弄清這些問題，對學生理解古希臘的演繹幾何學， 體會其中的理性精神和人文主義價值十分重要。
再如，西周時期的商高在解釋勾股定理的來源時，提到“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”其中明確地指出“矩”是一個最為根本的數學概念，它可以產生“方”(正方形)，進一步可以產生與圓有關的數學知識(古代有“環矩以為圓”的說法)，所以他認為只要對“矩”加以不同方式的變形(即折矩)就能衍生出新的數學關系(如勾股定理)。這是一個把握中國古代數學思想的典型例子。
1 因此，如若我們經常仔細品思這些數學歷史素材，則定會“遂悟其意”，進而更為深刻地理解數學本質，形成全面、正確的數學觀。
第二、提高數學的宏觀認識。
數學教師的任務不僅要把書本上的東西說清楚，還要對數學發展的來龍去脈有清楚的認識。一個優秀的教師，不僅要授人以業，還要授人以法，進而授人以道。教師要掌握這些“法”和“道”，必須宏觀地理清數學發展的脈絡，深入數學的本質。對于進行數學創新來說，數學史研究更具有指引的作用。數學史中記載了許多數學家發明發現的生動過程，向學生介紹這些過程，有助于學生理解掌握創造的方法、技巧，從而增強其創造力。如公元263年，劉徽對我國古籍《九章算術》的注釋中提出了計算圓周長的“割圓”思想，劉徽本人精辟的論述： “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣!”這些生動的描寫，對后人是一種創新激勵。
第三、數學史能夠為數學教學設計提供一定的指導
數學歷史可以把古人的思維與現今學生的思維作一番比較，共通的規律是什么?不同的特點又是什么?進而幫助設計數學教學。
例如，商高對矩形加以折疊(或者分割)，叫做折矩(或者割矩)，即把矩形沿對角線分割。 然后“環而共盤”，叫做拼盤。如此一割一拼，不僅道出了復雜(直角三角形邊的關系)源于簡單(矩形)的深刻道理，同時給出了勾股定理的一個巧妙而簡潔的證明。
上述方法可直接用于勾股定理的教學，更重要的是其中蘊涵的思想(如簡單與復雜的辨證關系，追求簡潔的表達形式，講究策略與方法等)對數學教學具有重要的啟示意義。
第四、數學歷史能夠凸現數學的文化價值
數學教材內容中的一個數學定理，或一個數學公式，其背后就是一位人物、一種思想、一種品格或一種精神。前者是靜態的，是“冰冷的美麗”，后者是活 2 生生的，是“火熱的思考”。但要想透過“冰冷的美麗”，看到“火熱的思考”背后的精神動態，數學歷史便是最好的選擇。笛卡兒主張“我思故我在”， 打破歐氏幾何的局限，創立解析幾何的故事; 歐拉著作等身，勤奮創作的精神， 費馬創立微分學思想、研究概率論、提出數論中的“費馬大定理”， 到300年后才完滿解決。 這些絢麗多彩歷史故事，永遠是激勵后人進行數學創新的動力。
我們常說，讀歷史其實就是讀人物，就是讀人物的內心世界，品人物的人格 魅力和精神風范。一個數學歷史人物的事跡也許會讓某一個人因此而喜歡上了數學，甚至走上了探索數學奧秘之路。充分介紹中國現代數學家的貢獻，激勵意義更為直接。華羅庚、陳景潤、蘇步青等名家的事跡對青少年是很大的鼓舞。此外對當代世界數學有重大貢獻的華裔數學大師陳省身等的名字也應該在中學數學課程中出現。感人至深的包頭五中物理教師陸家羲的數學獻身精神，同樣是進行思想教育的良好材料。當我們品味出數學之中人文精神的底蘊，觸摸到數學歷史人物的情感、操行、思想和精神，并與之在思想上、精神上進行交流與匯合的時候，將會感召我們的心靈、激勵我們的行動。此時，學生的人文感懷也就油然而生。
二、培養數學歷史素養的途徑
要想實現數學歷史的數學教育價值，挖掘數學歷史的數學教育功能，首先要提高教學設計者的數學歷史素養，能夠從簡約的數學史敘述中看到其中的科學價值與人文精神。
首先，數學史要宏觀把握。常?？吹揭恍┙滩闹械臄祵W史介紹， 只是提供 一位數學家的畫像，配以簡歷，說明做了“偉大”貢獻就結束。這就太潦草了。 宏觀地把握各個時代的文化特征，才能起到教育作用。 以勾股定理來說，如果僅僅了解它是什么時候發現的，由誰發現的，在中國叫商高定理，而在西方叫畢達哥拉斯定理等等，那就只看到了一些皮毛。只有進行東西方數學文化的比較， 看到古人的思考過程和理性精神，那才能感染學生。
其次， 數學史知識要運用細節。
運用數學史知識進行數學教學，如能關注數學歷史發展中的細微之處，往往可以探得數學文化之精妙。例如，勾股定理為什么曾經又被稱為陳子定理呢?因為《周髀算經》記載了陳子用勾股定理推算地球與太陽的距離以及太陽的直徑。 3 這就表明中國古代數學文化的一大特色是追求實用價值。 數學教學應該繼續發揚這種精神，但是也要防止以實用為唯一追求的狹隘做法。
又如，“勾廣三，股修四，徑隅五”(或“勾三，股四，弦五”)，反映了中國古代數學形式化、符號化進程緩慢的特點。相比于古希臘，畢達哥拉斯雖然也是從古埃及的“黃金三角形”(即邊長分別為3，4，5或6，8，10的直角三角形)發現勾股定理的， 但很快過度到符號化的一般表示。此外，畢達哥拉斯也可能是受啟于古巴比倫的勾股數(即一組可以構成直角三角形三邊的數，現在我們也稱勾股數3，4，5為畢氏三數)。從3，4，5到勾股數是一個重要的數學進展。
再次， 數學史知識要適當引申。數學是一種文明， 要從數學歷史中獲得聯系性的啟示，融會貫通， 才能充分發揮教育效能。
仍以勾股定理為例，要從早先的勾股定理，延伸到劉徽、趙爽的“勾股術”并引申到費爾馬大定理;既要看到商高的證明，也要看到劉徽的證明，還要看到歐幾里得的證明以及美國總統加菲爾德對勾股定理的多種證明;既要看到“環而共盤”，又要看2002年第24屆國際數學家大會的會標圖案;既要看到“a2?b2?c2”，又要看人們預想的太空語言的表達方式等等。
三、數學史教育的原則
數學史教育應遵循以下四個原則：科學性、實用性、趣味性、廣泛性。 第
一、科學性是第一位的原則。教師向學生傳授的數學史知識必須是正確的。我們應該尊重歷史，尊重事實，既不可隨意編造，也不能無端拔高，更不可藝術加工，把數學史當作故事，隨意虛構。特別在講授中國的數學史時，實事求是更能激發民族自尊心和愛國主義熱情。
第二、實用性是指所講的數學史對學生的數學學習及將來工作有直接幫助作用。限于時間、授課計劃，應有所側重，例如初等數學中的數的起源與記法、無理數的導入與確立、圓周率、勾股定理、笛卡爾對直角坐標系的貢獻等，高等數學中的微積分的概念、函數的概念、非歐幾何的創立，不僅史料豐富，而且內容精彩，非常適合于課堂教學，對學生理解所學的知識有很大的幫助。
第三、趣味性指課堂教學要有趣味。題材的典型，情節的生動，發展的曲折，數學史上驚心動魄，引人入勝的例子不勝枚舉，教者應恰當選材，能使課堂教學娓娓動聽。講授時要合理地運用語言，全身心地投入表達，語調同情節配合，知
4 識性與趣味性共生，應避免照本宣科或嘩眾取寵，要寓教于樂，以教為本。
第四、廣泛性是指選取的數學史知識要不分年代、國家。數學是幾千年來全人類孜孜以求、不斷探索、歷盡千辛萬苦共同取得的財富。在整個數學科學發展長河中，數學是在人類社會變革推動之下，各國數學家相互交流，學習共同探索的結果。因此在進行數學史教學時注意選擇不同時期、不同國度的史料，不能僅局限于中國的數學史。這樣才能全面地、真正地、準確地展示數學史的全貌。
四、數學歷史與數學教育結合中的一些注意問題
從目前來看，數學歷史與數學教育相結合的實踐過程，確實發生了一些可喜的變化，但存在的問題依然不少。 以下是幾個應注意的問題：
首先，數學歷史與數學教育要在深層次結合，避免表面化。例如，只提及歷史上有那么個人， 有那么回事，沒有切入到更深層次的聯系界面中，因而不能發揮數學歷史的啟示和引導作用。
其次，數學歷史與教學內容要融合， 不要割裂。 這就是說，不要介紹一段數學歷史，然后接著講課程內容，前后沒有任何聯系，不作任何銜接，給人一種斷裂感，學生在思想上不能得到啟發。
再次，運用數學史知識要客觀， 不要片面拔高。例如，對于到底是商高定理出現早，還是畢達哥拉斯定理出現早的問題，應該根據史實客觀地敘說，多一些謙遜的態度、欣賞的目光，不要帶有狹隘的民族主義情緒。
事實上，在勾股定理的發現上中國人是否走到了前面至今沒有定論。 目前比較傾向于古巴比倫的勾股數為勾股定理的最早原形。至少是知道勾股數的時間，比起我國公元前1000年的《周髀算經》中描述的勾股定理要早幾百年的時間。
最后， 數學史用于教育，要把愛國主義和國際意識統一起來， 不要局限于發現的遲早。數學是全人類的共同財富。在科學發現上，各個國家和各個民族應該彼此借鑒，互相學習，共同提高。不能以己之長，說人之短，借以提高自己的信心。相反，要實行拿來主義，把外國的一切優秀文化，包括數學成就都充分尊重，吸收過來。 “洋為中用”，為中國的建設服務，這是愛國主義的精粹。我們注意到，許多國家的數學教學大綱中，并沒有直接提到“愛國主義”的字樣，但是他們強調聯系現實生活，努力吸收世界上的一切優秀數學成果，為發展本國科 5 學事業服務，實際上也是愛國主義教育。數學上的成就不能只論遲早，不可用比別人早多少年作為衡量數學成就的標準。
人類的數學文明最早起源于巴比侖，其次是埃及。巴比倫的泥板、埃及的紙 草書上的數學記載都在公元前1000年以上。即便是后來的古希臘的數學文明 也遠早于中國。中國古代數學雖然出現得比地中海文明要遲許多，但是具有自 己的特點，同樣為人類作出了重要貢獻。我國著名數學家，2001年獲得首屆國家最高科學獎的吳文俊教授，曾經十分深刻地指出，中國古代數學的優秀傳統是“算法數學”。中國算學雖然缺乏古希臘式的公理化演繹體系，卻十分準確地用算法的形式表達出來。 1970年代，吳文俊教授從研究中國古算受到啟發，并結合現代計算機技術進行思考，發展出了世界領先的“數學定理機器證明”方法(世稱“吳方法”)。這樣的古為今用，才是真正的愛國主義，才能真正激發起民族自豪感。
如何運用數學史進行數學教學，是一個國際數學教育界共同關心的問題。1998年，國際數學教育委員會在法國馬賽組織了一次“數學史與數學教育”的專題研討會① 。這次會議的主題是數學文化，要求數學教學充分反映數學的文化底蘊，從課程內容，概念形成，證明方法，習題配置等各個方面，全方位地使數學史融入、豐富和促進數學教學。
總之，數學史不是競賽場，僅僅記錄“勝者為王”。數學文化觀念下的數學 史，要把握各民族文化發展的歷史進程，看到世界各國的科學技術是如何各自發 展，又如何彼此融合，互相促進的。
思考與練習
1.試舉例說明數學史對數學教育的價值。
2.怎樣認識數學史教育中愛國主義和國際視野之間的關系。
3. 進一步閱讀有關吳文俊研究中國古代數學史， 并做出機器證明創新工作的文獻。
第二篇：數學史教案
第一講：20世紀數學概觀 I
1、國際數學家大會
1893年芝加哥“世界哥倫布博覽會”。1897年蘇黎世第一屆國際數學家大會。1900年巴黎第二屆ICM，希爾伯特(德，1862-1943年)作了“數學問題”的演講。2000年“國際數學年”。
1924年多倫多第七屆ICM，大會主席菲爾茲(加，1863-1932年)。菲爾茲獎：數學界的“諾貝爾獎”，1936年開始頒獎。
1983年，丘成桐(中-美，1949-)獲獎;2006年，陶哲軒(澳，1975-)獲獎。
2、純粹數學的發展
20世紀數學的特點：結構數學與統一的數學。阿蒂亞(英，1929- )指出：20世紀前半葉“專門化的時代”，20世紀后半葉“統一的時代”。
阿蒂亞簡介。 2.1 實變函數論
集合論的觀點在20世紀初首先引起積分學的變革，從而導致了實變函數論的建立。
1898年波雷爾(法，1871-1956年)的測度論，1902年勒貝格(法，1875-1941年)的博士論文《積分，長度與面積》，形成實變函數論，分析的“分水嶺”。
2.2 泛函分析
創始時期(19世紀80年代至20世紀20年代)：1906年弗雷歇(法，1878-1973年)的博士論文《關于泛函演算若干問題》，1922年列維(法，1886-1971年)出版《泛函分析》。
發展時期(20世紀20至40年代)：1932年巴拿赫(波，1892-1945年)出版《線性算子論》。1940年蓋爾范德(蘇，1913-)的巴拿赫代數理論。
成熟時期(20世紀40年代起)：施瓦茲(法，1915-2002年)的廣義函數理論或分布論，格羅登迪克(法，1928-)的核空間理論。
巴拿赫簡介。
第三篇：數學史
前言
一、數學史研究哪些內容? P1 答：數學史研究數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展，及其與社會政治、經濟和一般文化的聯系。
二、歷史上關于數學概念的定義有哪些? P5~8 答：
1、公元前4世紀的希臘哲學家亞里士多德將數學定義為“數學是量的科學”。
2、16世紀英國哲學家培根(1561—1626)將數學分為“純粹數學” 與“混合數學”。
3、在17世紀，笛卡兒(1596—1650) 認為：“凡是以研究順序(order)和度量(measure)為目的的科學都與數學有關”。
4、19世紀恩格斯這樣來論述數學：“純數學的對象是現實世界的空間形式與數量關系”。根據恩格斯的論述，數學可以定義為：“數學是研究現實世界的空間形式與數量關系的科學。”
5、19世紀晚期，集合論的創始人康托爾(1845—1918)曾經提出： “數學是絕對自由發展的學科，它只服從明顯的思維，就是說它的概念必須擺脫自相矛盾，并且必須通過定義而確定地、有秩序地與先前已經建立和存在的概念相聯系”。
6、20世紀50年代，前蘇聯一批有影響的數學家試圖修正前面提到的恩格斯的定義來概括現代數學發展的特征：“現代數學就是各種量之間的可能的，一般說是各種變化著的量的關系和相互聯系的數學”。
7、從20世紀80年代開始，又出現了對數學的定義作符合時代的修正的新嘗試。主要是一批美國學者，將數學簡單地定義為關于“模式” 的科學：“【數學】這個領域已被稱作模式的科學，其目的是要揭示人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的結構和對稱性” 。
三、數學史通常采用哪些線索進行分期?P9
答：一般可以按照如下線索：
(1)按時代順序;(2)按數學對象、方法等本身的質變過程; (3)按數學發展的社會背景。
四、本書對數學史如何分期?P9
答：
1、數學的起源與早期發展(公元前6世紀前)
2、初等數學時期(公元前6世紀一16世紀)
(1)古代希臘數學(公元前6世紀-6世紀)
(2)中世紀東方數學(3世紀一15世紀)
(3)歐洲文藝復興時期(15世紀一16世紀)
3、近代數學時期(變量數學，17世紀-18世紀)
4、現代數學時期(1820年一現在) (1)現代數學醞釀時期(1820„一1870) (2)現代數學形成時期(1870—1940’)
(3)現代數學繁榮時期(當代數學時期,1950-現在)
第一章
一、世界上早期常見有幾種古老文明記數系統，它們分別是什么數字，采用多少進制數系? P13 答：1.古埃及的象形數字(公元前3400年
左右)：十進制數系
2.巴比倫楔形數字(公元前2400年左右)：六十進制數系 3.中國甲骨文數字(公元前1600年左右)：十進制數系 4.希臘阿提卡數字(公元前500年左右)：十進制數系 5.中國籌算數碼數字(公元前500年左右)：十進制數系 6.印度婆羅門數字(公元前300年左右)：十進制數系
7.瑪雅數字(?)：二十進制數系
二、 “河谷文明”指的是什么? P16 答：歷史學家往往把興起于埃及。美索不大米亞、中國和印度等地域的古代文明稱為“河谷文明”。
三、 關于古埃及數學的知識主要依據哪兩部紙草書?P17 紙草書中問題絕大部分都是實用性質，但有個別例外，請舉例。P23
答：古埃及數學的知識主要依據萊茵德紙草書和莫斯科紙草書兩部紙草書。 例如：萊茵德紙草書第79題：“7座房，49只貓，343只老鼠，2401棵麥穗，16807赫卡特。
四、 美索不達米亞人的記數制遠勝埃及象形數字之處主要表現在哪些方面?P23—2
5答：
1、六十進制為主德楔形文記數系統。
2、巧妙地將位值原理應用到整數以外的分數。
3、計算程序化。
4、數表計算。
第二章
一、希臘數學一般是指什么時期，活動于什么地方的數學家創造的數學? P32 答：希臘數學一般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區域、馬其頓與色雷斯地區、意大利半島、小亞細亞以及非州北部的數學家們創造的數學。
二、什么使泰勒斯獲得了第一位數學家和論證幾何學鼻祖的美名? P33 答：關于泰勒斯并沒有確鑿的傳記資料留傳下來。但是以下命題記載卻流傳至今，使泰勒斯獲得了第一位數學家和論證幾何學鼻祖的美名。泰勒斯曾證明了下列四條定理：
1、圓的直徑將圓分為兩個相等的部分;
2、等腰三角形兩底角相等;
3、兩相交直線形成的對頂角相等;
4、如果一三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對應角、邊相等，那么這兩個三角形全等。 傳說泰勒斯還證明了現稱“泰勒斯定理”的命題：半圓上的圓周角是直角。
三、畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物皆依賴于整數的信條由于什么發現而受到動搖?這個“第一次數學危機”是由于什么人提出的新比例理論而暫時消除，P38這個新比例理論當今的語言可怎么敘述?P48 答：畢達哥拉斯學派認為宇宙萬物皆依賴于整數的信條由于不可公度量的發現而受到動搖, 這個“第一次數學危機”是大約一個世紀以后，由于畢達哥拉撕學派成員阿契塔斯的學生歐多克斯提出的新比例理論而暫時消除。
這個新比例理論當今的語言可敘述為(P48):設A,B,C,D是任意四個量，其中A和B同類，C和D同類，如果對于任意兩個正整數m和n，關系mA?(?)nB是否成立，相應地取決于關系mC?(?)nD是否成立，則稱A與B之比等于C與D之比，即四量成比例。
四、希臘數學學派主要有哪些學派? P39
答：希臘數學也隨之走向繁榮，學派林立，
主要有：
1、伊利亞學派;
2、詭辯學派;
3、雅典學院(柏拉圖學派);
4、亞里士多德學派。
五、 古希臘三大著名幾何問題是什么?P40 答：(1)化圓為方，即作一個給定的圓面積相等的正方形。
(2)倍方立體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍。 (3)三等分角，即分任意角為三等分。
六、亞里士多德《物理學》中記載芝諾提出的四個著名的悖論是什么?P43 答：芝諾四個著名悖論：
1、兩分法
2、阿基里斯
3、飛箭
4、運動場
七、希臘數學的“黃金時代”指的是什么時間?這時期希臘數學的中心從雅典移到何處，此處出現了哪三大數學家? P45
答：從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前30年羅馬消滅最后一個希臘化國家托勒密王國的三百余年，史稱希臘數學的“黃金時代”。
這時期希臘數學的中心從雅典移到亞歷山大城;此處出現了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數學家，標志著古代希臘數學的顛峰。
八、 幾何《原本》共分多少卷，包括有多少條公理，多少條公設，多少個定義和多少條命題? P46 答：幾何《原本》共分13卷，包括有5條公理，5條公設，119定義和465條命題。
九、 阿基米德數學研究的最大功績是什么? P52~53 答：阿基米德數學研究的最大功績是集中探討與面積與體積計算相關的問題。主要著述：(1)《圓的度量》 (2)《拋物線求積》(3)《論螺線》(4)《論球和圓柱》 (5)《論劈錐曲面和旋轉橢球》(6)《引理集》(7)《處
理力學問題的方法》(8)《論平面圖形的平衡或其重心》(9)《論浮體》(10)《沙粒計數》(11)《牛群問題》。
十、 阿波羅尼奧斯最重要的數學成就是什么?P58 答：阿波羅尼奧斯最重要的數學成就是創立了相當完美的圓錐曲線理論。
第三章
一、中國數學史上何時何人何種方法最先完成勾股定理證明?P70
答：公元3世紀三國時期的趙爽在注《周髀算經》，作“勾股圓方圖“，其中的”弦圖“，相當于運用面積的出入相補證明了勾股定理。
二、《九章算術》中各章名稱是什么?這些章節中談論算術、代數、幾何方面的內容為哪些章節?P71----78 答 ：《九章算術》采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章，依次為：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股，其中所包含的數學成就是豐富和多方面的。
算術方面：方田、粟米、衰分、均輸、盈不足;
代數方面：方程;
幾何方面：方田、商功、勾股。
三、 劉徽的數學成就中最突出是什么? P78
答：劉徽的數學成就中最突出是 “割圓術”和“體積理論”
四、 賈憲增乘開方法能否適用于開任意高次方? P93
答：賈憲增乘開方法，是一個非常有效的和高度機械化的算法，可適用于開任意高次方。
五、為什么說一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”? P96 答：秦九韶(約公元1202――1261)的“大衍求一術”是完全正確且十分嚴密的，但本人沒有給出證明，到
18、19世紀，歐拉(1743)和高斯(1801)分別對一次同余組進行了詳細研究，重新獨立地獲得與秦九韶“大衍求一術”相同的定理，并對模數兩兩互素的情形作出了嚴格證明。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯算法是一致的，因此關于一次同余組求解的剩余定理常常被稱為“中國剩余定理”。
第四章
一、印度數學的發展可劃分為3個重要時期，這3個重要時期是指什么時期?
答; 印度數學的發展可以劃分為三個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達羅毗(pi)荼人時期(約公元前3000——前1400)，史稱河谷文化;隨后是吠(fei)陀(tuo)(約公元前10世紀——前3世紀);其次是悉檀(tan)多時期(5世紀——12世紀)。
二、用圓圈符號“O”表示零，可以說是印度數學的一大發明，印度人起初用什么表示零，直到最后發展為圈號。 答：點號 ，直到最后發展為圈號。
1.“0”表示空位;
2. “0”表示“無”;
3.數域的一個基本元素，可以運算。
三、 “巴克沙利手稿”中涉及到哪些的數學內容? P107 答：“巴克沙利手稿”中涉及到分數，平方根、數列、收支與利潤計算、比例算法、級數求和、代數方程等，其代數方程包括一次方程、聯立方程組、二次方程。特別值得注意的是手稿中使用了一些數學符號如：減號、零號“0”。
四、 “阿拉伯數學“是否單指阿拉伯國家的數學? P113 答：“阿拉伯數學“并非單指阿拉伯國家的數學，而是指8――15世紀阿拉伯帝國統治下整個中亞和西亞地區的數學，包括希臘人、波斯人、猶太人和基督徒等所寫的阿拉伯文及波斯文等數學著作。
五、 第一次給出一元二次方程的一般代數解法是來自何人著的著作?
P114
答：第一次給出一元二次方程的一般代數解法是來自中世紀對歐洲數學影響最大的阿拉伯數學家花拉子米(約783-850)的《代數學》。
第五章
一、卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是從何人那里傳授來的?在《大法》中卡爾丹對三次方程又進一步作了哪些工作?P126
答：卡爾丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是從塔塔利亞(1499――1557)那里傳授來的。
在《大法》中卡爾丹給出了一般三次方程的解法，而且補充了幾何證明;書中還把其學生費拉里(1522――1565)的一般四次方程的解法寫進《大法》中。
二、學符號系統化首先應歸功于哪位數學家，對這位數學使用的代數符號的改進工作是由何人完成的? P129 答：數學符號系統化首先應歸功于法國數學家韋達(1540――1603)，對這位數學使用的代數符號的改進工作是由法國笛卡兒(1596――1650)完成的，他首先用拉丁字母(a,b,c,d,?)表示已知量，后幾個(x,y,z,w,?)表示未知量等。
三、 球面三角與平面三角何者先出現?P131
答：球面三角先于平面三角出現 。
四、對數是何人首先發明?它的產生主要是由于什么的需要?P136 答 ：蘇格蘭貴族數學家納皮爾正是在球面天文學的三角研究中首先發明對數方法的。對數的產生主要是由于天文和航海計算的強烈需要。
五、 笛卡兒創立解析幾何的靈感有幾個傳說，請試述其中的任意一個。P142 答：笛卡兒創立解析幾何的靈感有兩個傳說。第一個傳說“晨思”時，看見一只天花板的蒼蠅，想確定其路線;另一個傳說是1619年冬天的三個連慣的三個夢。
第六章
一、微積分與積分學的起源何者在先，何者在后?P145 答：積分學的起源在先，微積分的起源比積分學的起源要晚的多。
二、 微積分醞釀階段最有代表性的工作有哪幾項?P146—154 答:
(一)開普勒與旋轉體體積;
(二)卡瓦列里不可分量原理;
(三)笛卡爾“圓法”;
(四)費馬求極大值與極小值的方法;
(五)巴羅“微分三角形”;
(六)沃利斯“無窮算術”。
三、 牛頓走上創立微積分之路受哪兩部著作的影響最深?P155 答：就數學思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》對他的影響最深，正是這兩部著作引導牛頓走上創立微積分之路。
四、 牛頓1666年寫了《流數簡論》之后，始終不渝努力改進，完善自己的微積分學說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是什么?P158為什么其中第三篇是牛頓最成熟的微積分著述?P160 答：牛頓1666年寫了《流數簡論》之后，始終不渝努力改進，完善自己的微積分學說，先后寫成三篇微積分論文，這三篇論文的名稱是：
1、 《運用無窮多項方程的分析》，簡稱《分析學》(1669)
2、《流數法與無窮級數》，簡稱《流數法》(1671)
3、《曲線求積分》簡稱《求積術》(1691)
五、為什么說在微積分的創立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽?P174 答：牛頓和萊布尼茨都是他們時代的巨人，就微積分的創立而言，盡管在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但兩者的功績是相當的，他們都使微積分成為能普遍適用的算法，同時又都將面積、體積及相當的問題歸結為反切線(微分)運算。應該說，微積分能成為獨立的科學并給整個自然科學帶來革命性的影響，主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作，在科學上，重大的真理往往在條件成熟的一定時期的探索者相互獨立地發現，微積分地出來，情形也是如此。所以說在微積分的創立上牛頓需要與萊布尼茨分享榮譽。
第七章
一、 18世紀微積分發展包括哪幾個主要方面?P176—187 答:
(一)積分技術與橢圓積分，
(二)微積分向多元函數的推廣，
(三)無窮級數理論，
(四)函數概念的深化，
(五)微積分嚴格化的嘗試。
二、 簡述18世紀常微分方程的發展過程。P188 答：
1、常微分方程是伴隨著微積分一起發展起來的，從17世紀末開始，擺的運動、彈性理論以及天體力學等實際問題的研究引出了一系列常微分方程。
2、數學家們起初是采取特殊的技巧來對付特殊的方程，但逐漸開始尋找帶普遍性的方法，如：萊布尼茲1691年分離變量法，1696年雅各布伯努利的“伯努利方程”;歐拉和克萊洛的“積分因子法”。
3、歐拉1743年關于n階常系數線性齊次方程的完整解法。
4、18世紀常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774~1775年間用參數變易法解出了一般n階變系數非齊次常微分方程。
三、 簡述18世紀微分幾何的形成過程。P196 答：
1、1731年十八歲的法國青年數學家克萊洛發表《關于雙重曲率曲線的研究》，開創了空間曲線理論，是建立微分幾何的的重要一步;
2、歐拉是微分幾何的重要奠基人。他早在1736年就引進了平面曲線的內在坐標概念;
3、18世紀微分幾何的發展由于蒙日的工作而臻于高峰，1795年發表的《關于分析的幾何應用的活頁論文》是第一步系統的微分幾何著述。
四、述哥德巴赫猜想與華林問題。P204 答：哥德巴赫猜想從：每個偶數是兩個素數之和;每個奇數是三個素數之和。
kkk華林問題：任一自然數n可表示成至多r次冪之和，即n?x1?x2?x3???xrk，其中x1,x2,x3,?,xr為自然數，r依賴于k。
第八章
一、數學家阿貝爾通過證明什么樣的結論解決了五次和高于五次的一般方程的求解問題?P208 答：1824年，年僅22歲的挪威數學家阿貝爾(1802——1829)出版的《論代數方程，證明一般五次方程的不可解性》，在其中嚴格證明了：如果方程的次數n?5，并且系數a1,a2,?,an看成字母，那么任何一個由這些字母組成的根式都不可能是方程的根，這樣，五次和高于五次的一般方程的求解問題就由阿貝爾解決了。
二、 布爾的邏輯代數思想集中在他的哪兩本書中。P219
答：布爾(英國數學家，1815--1864)的邏輯代數思想集中在他的1847年發表的《邏輯的數學分支》和1854年出版的《思維規律研究》。
三、《算術研究》的作者是誰，發表的年份是何時?它的發表有何意義。P221
答:《算術研究》是德國數學家高斯在1801年發表的。在19世紀以前，數論只是一系列孤立的結果，《算術研究》發表后數論作為現代數學的一個重要分支得到了系統的發展?！端阈g研究》中有三個主要思想：同余理論，復整數理論和型的理論。
第九章
一、 非歐幾何三位發明人(高斯、波約、羅巴切夫斯基)中哪位是最早、最系統地發表自己關于非歐幾何的研究成果?P230
答：羅巴切夫斯基。
二、 最先理解非歐幾何全部意義的數學家是誰?在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數學家有哪幾位?P235~236 答：最先理解非歐幾何全部意義的數學家是黎曼
在歐幾里得空間中給出非歐幾何的直觀模型的數學家有：意大利數學家貝爾特拉米、德國數學家克萊因和法國數學家龐加萊。
三、 在射影幾何的發展過程中，龐斯列有哪些創舉?P239~240 答：龐斯列(法國數學家，1788-1867)1822年出版的《論圖形的射影性質》，帶來了這門學科歷史上的黃金時期。龐斯列有探討一般問題：圖形在射影和截影下保持不變的性質;選擇并發展了對偶與調和點列理論;采用中心投影而不是平行投影及兩個基本原理——連續性原理和對偶原理的創舉。
第十章
一、 柯西在分析基礎工作方面做了哪些工作?P247
答：柯西(法國數學家，1789——1851)在分析基礎工作方面，他寫出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》(1821)和《無窮小計算教程概論》(1823)，它們以嚴格化為目標，對微積分的基本概念，如變量、函數、極限、連續性、導數、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基礎上重建和拓展了微積分的重要事實與定理。
二、魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個什么例子來說明存在處處連續但卻處處不可微的函數?P250 答：魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個例子
f(x)??bncos(an?x),其中a是奇數，n?0?b?(0,1)為常數，使得ab?1?3?.2
三、 魏爾斯特拉斯關于分析嚴格化的突出表現是創造了一套什么語言?P253 答：魏爾斯特拉斯關于分析嚴格化的突出表現是創造了一套ε-δ語言。
四、 集合論的建立是由哪些問題研究而導致的?P255 答：在分析的嚴格化過程中，一些基本概念如極限、實數、級數等的研究都涉及到由無窮多個元素組成的集合，特別是在對那些不連續函數進行分析時，需要對使函數不連續或使收斂問題變得很困難的點集進行研究，這樣就導致了集合論的建立。
五、19世紀分析的擴展表現在哪些方面?P258~263 答：
1、復分析的建立;
2、解析數論的形成;
3、數學物理方程與微分方程。
第十一章
一、 與19世紀相比，20世紀純粹數學的發展表現出哪些主要的特征與趨勢?P271 答：
1、更高的抽象性
2、更強的統一性
3、更深入的基礎探討
二、 1900年德國數學家希爾伯特在巴黎國際數學家大會上作演說中提出23個數學問題，至今這23個問題解決狀況如何?P272~274 答：(略，詳見教材P272~274 。)
三、 集合論觀點的滲透和公理化方法的運用導致20世紀上半葉哪四大數學抽象分支的崛興?P276 答：集合論觀點的滲透和公理化方法的運用導致20世紀上半葉實變函數論、泛函分析、拓撲學和抽象代數四大數學抽象分支的崛興
四、 簡述實變函數論的建立。P276——278 答：
1、法國數學家勒貝格1902年發表的《積分，長度與面積》中利用以集合論為基礎的“測度”概念而建立勒所謂“勒貝格積分”。
2、在勒貝格積分的基礎上進一步推廣導數等其他微積分基本概念，并重建微積分基本定理(微分運算與積分運算的互逆性)等微積分的基本事實，從而形成了一門新的數學分支——實變函數論。
五、“泛函”這個名稱是由誰最先采用的?(P279) 為什么說泛函分析的建立體現了20世紀在集合論影響下空間和函數這兩個基本概念的進一步變革?P279-280
答：“泛函”這個名稱是由法國數學家阿達馬最先采用的.因為“空間”現在被理解為某類元素的集合，這些元素按習慣被稱作“點”，它們之間受到某種關系的約束，這些關系被稱之為空間的結構，簡言之，“空間”僅僅是具有某種結構的集合，而“函數”的概念則推廣為兩空間之間的元素(映射)關系。所以說泛函分析的建立體現了20世紀在集合論影響下空間和函數這兩個基本概念的進一步變革。
六、 《環中的理想論》的作者是誰?P282 答：《環中的理想論》的作者是諾特(1882-1935)。
七、 拓撲學研究什么內容?“拓撲學”這一術語是由何人首先引用的? P285 答：拓撲學研究幾何圖形的連續性質，即在連續變形下保持不變的性質(允許拉伸、扭曲，但不能割斷和粘合)。 “拓撲學”這一術語是由高斯的學生李斯廷1847年首先引用的。
八、 簡述概率論起源以及公理化后概率論取得哪些突破?P28
7、P291 答：概率論起源于博弈問題。P287 公理化后概率論取得如下突破：P291
1、使隨機過程的研究獲得了新的起點，
2、隨機過程是“鞅”，鞅論使隨機過程的研究進一步抽象化， 1942年開始，日本數學家伊藤清引進隨機積分與隨機微分方程，不僅開辟了隨機過程研究的新道路，而且為一門意義深遠的數學新分支——隨機分析的創立與發展奠定了基礎。
九、 舉例說明20世紀下半葉不同分支領域的數學思想與數學方法互相融合導致重大發現的事實。P292-297 答：1.微分拓撲與代數拓撲2.整體微分幾何3.代數幾何 4.多復變函數論 5.動力系統6.偏微分方程與泛函分析7.隨機分析
十、 試述羅素關于集合的悖論。P298 答：以M表示是其自身成員的集合的幾何，N表示不是其自身成員的集合的集合。然后問：集合N是否為它自身的成員?如果N是它自身的成員，則N屬于M而不屬于N，也就是說N不是它自身的成員;另一方面，如果N不是它自身的成員，則N屬于N而不屬于M，也就是說N是它自身的成員。無論出現哪一種情況，都將導出矛盾的結論。
十一、數學基礎的三大學派是什么?P300 答：
1、以羅素為代表的邏輯主義
2、以布勞威爾為代表的直覺主義
3、以希爾伯特為代表的形式主義
十二、現代數理邏輯的四大分支是什么?P303 答：1。公理化集合論 2.證明論 3.模型論4.遞歸論
第十二章
一、應用數學新時代具有哪幾個方面特點?P307——309 答：
1、數學的應用突破了傳統的范圍而向人類幾乎所有的知識領域滲透;
2、純粹數學幾乎所有的分支都獲得了應用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透;
3、現代數學對生產技術的應用變得越來越直接;
4、現代數學在向外滲透的過程中，產生了一些相對獨立的應用學科如：數理統計、運籌學、控制論等等。
二、數學向其他科學滲透表現在哪些方面?P309 答：
1、數學物理
2、生物數學
3、數理經濟學
三、簡述數理統計、運籌學、控制論發展過程。P317-324 答：略
四、 簡述電子計算機的誕生。P325答：略
五、計算機對數學的影響表現在哪些方面?P330 答：
1、計算數學的興旺
2、純粹數學研究與計算機
3、計算機科學中的數學
第十三章
一 簡述20世紀十例現代數學成果的內容。
答：1.哥德爾不完全性定理。P339 2.高斯-博內公式的推廣。P341 3.米爾諾怪球。P343 4.阿蒂亞-辛格指標定理。P344 5.孤立子與非線性偏微分方程。P345 6.四色問題。P347 7.分形與混沌。P349 8.有限單群分類。P353 9.費馬大定理的證明。P355 10.若干著名未決猜想的進展。359
二、龐加萊猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想的內容是什么?P359 答：龐加萊猜想是拓撲學中一個著名的和基本的問題，即任意一個三維的單連通閉流形必與三維球面同胚。
哥德巴赫猜想：偶數都是兩個奇素數之和，奇數都是三個奇素數之和。
黎曼猜想：在帶狀區域0???1中，黎曼?(s)?11??的零點都位于直線上。 ?s2nn?1?
第十四章
一、 為什么說數學的發展與社會的進化之間聯系是雙向的?P363 答：一方面，數學的發展依賴于社會環境，受著社會經濟、政治和文化等諸多因素的影響; 另一方面，數學的發展又反過來對人類社會的進步起推動作用，包括對人類物質文明和精神文明兩大方面的影響。
二、 數學如何促進社會進步?P363—364 答：數學的發展對人類社會的進步起推動作用，包括對人類物質文明和精神文明兩大方面的影響。數學對人類物質文明的影響，最突出的是反映在與能從根本上改變人類物質生活方式的產業革命的關系上。人類歷史上先后共有三次重大的產業革命，其主體技術都與數學的新理論、新方法的應用有直接或間接的關聯;數學對于人類精神文明的影響同樣也很深刻，數學本就是一種精神，一種探索精神，這種精神的兩個要素，即對理性(真理)與完美的追求，千百年來對人們的思維方式、教育方式以及世界觀、藝術觀等的影響是不容否認的，數學往往成為解放思想的決定性武器。
三、 1850——1899年間創辦，至今仍在發行的主要數學期刊有哪些?P372 答：《純粹與應用數學年報》(1850，意大利)，《數學匯刊》(1865，俄國)，《數學年刊》(1868，德國)，《美國數學雜志》(1878，美國)，《數學年報》(1882，瑞典)，《數學年刊》(1884，美國)，《美國數學月刊》(1894，美國)。
四、中國數學會是建立何年建立的?P376 答：1935年中國數學會建立的。
五、試述各屆國際數學家大會召開年份與地點。P375 答：略
六、兩項影響最大的國際數學獎勵是什么獎?何年、在何領域取得其中的哪個獎?P376，P378——379 答：兩項影響最大的國際數學獎勵是菲爾茲獎和沃爾夫獎。
中國數學家丘成桐，1983年，微分幾何，偏微分方程，相對論，菲爾茲獎。 中國數學家陳省身，1984年，整體微分幾何，沃爾夫獎。
第十五章
一、試述17世紀初至19世紀末在中國出現兩次西方數學傳播的高潮的時間與內容。P381 答：第一次是從17世紀初到18世紀初，標志性的事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯，17世紀中頁以后，文藝復興時代以來發展起來的西方初等數學知識如三角學、透視學、代數學等也部分傳入中國;第二次高潮是從19世紀中葉開始，除了初等數學，這一時期傳入的數學知識還包括了解析幾何、微積分、無窮級數論、概率論等近代數學。
二、中國第一個大學數學系是在哪所大學設立?P383答：1912，中國第一個大學數學系是在北京大學數學系成立。
三、 1912年至1930年中國有哪些大學創辦了數學系?P384 答：北京大學、清華大學、南開大學、浙江大學、南京大學、北京師范大學、武漢大學、廈門大學、四川大學、中山大學、東北大學、交通大學、安徽大學、山東大學、河南大學
第十六章
一、簡述華羅庚生平P387答：略
二、寫一篇學習數學史教程的心得體會。答：略
填空題
1、歷史學家往往把興起于 、 、 、 和 等地域的古代文明稱為“河谷文明”。
埃及、美索不達亞、中國、印度
2.歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者，他的著作中，最重要的莫過于 ?！对尽?3.在現存的中國古代數學著作中， 是最早的一部。 《周髀算經》 4.《九章算術》“ ”、“ ”、“ ”諸章集中討論比例問題。
粟米、衰分、均輸 5.劉徽數學成就中最突出的是“ ”和 。 割圓術、體積理論
6. 的推導和 的計算是祖沖之本人引以為榮的兩大數學成就。 球體積 圓周率
7.宋元數學發展中一個最深刻的動向是代數符號化的嘗試，這就是“ 天元術 ”和“ 四圓術 ”。 8.數學符號系統化首先歸功于法國數學家 。 韋達
9.解析幾何的真正發明歸功于法國另外兩位數學家 和 。
笛卡兒 費馬 10.牛頓的《 》標志著微積分的誕生。流數簡論 11.18世紀微積分最重大的進步是由 作出的。 歐拉 12.“巴黎三L”指 、 、 。 拉普拉斯 拉格朗日 勒讓德 13.___________是歷史上并不多見的以“神童”著稱的一位數學家。高斯 14.___________可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數學家。黎曼
15.19世紀偏微分方程發展的序幕，是由法國數學家 拉開的。傅立葉 16.現代數理統計學作為一門獨立學科的奠基人是英國數學家 。 費希爾 17.影響最大的國際數學獎勵： 和 。 菲爾茲獎 沃爾夫獎 18.________年，中國第一個大學數學系—北京大學數學系成立(當時叫“數學門”，后改為“數學系”)。1912
第四篇：數學史作業
大衛·希爾伯特，一個領域中的偉人。他出生于1862年1月23日卒于1943年2月14日，是一位偉大的德國數學家。他一生的數學成就包括了很多方面，他提出了希爾伯特空間的理論(是泛函分析的基礎之一);他還是證明論、數理邏輯區分數學與元數學之差別的奠基人之一;希爾伯特和他的學生為形成量子力學和廣義相對論的數學基礎做出了重要的貢獻。并且在1900年，在巴黎的國際數學家大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名演講，他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個重要的數學問題，這為二十世紀的許多數學研究指出了方向。所以說希爾伯特是推動著一個時代的數學的偉人。 希爾伯特作為數學領域中的偉人受到了世人的欣賞與敬仰。對我來說，我所欣賞的是希爾伯特的是希爾伯特具有很強的概括能力和遠見，他在
數學史之讀后感
數學史是一門既有趣涵蓋的知識又面頗多頗深的課。在這里我對數學課本上出現的熟悉而又陌生的數學家有了跟進一步的了解。每一位數學家都有自己的一段可歌可泣的故事，每個故事也都激勵著我們。在他們身上我學習到了刻骨鉆研的精神。
教授我數學史的老師他自身在數學方面的研究也是一段深刻的“數學史”，老師在講課的過程中也會提及他早年在數學上的研究經歷，他生動的演講讓我懂得了數學研究道路上的不易以及具備堅持不懈的精神的可貴。我印象最深的就是老師有一次提到他年輕時在外國留學時如何解決老師給的他的數學難題的事跡。老師花了很長是的時間解決了數學難題令他的老師對他刮目相看，真是一件很耐人尋味的事。
一個學期的數學史就要結束了，在這個學期里我收獲頗多，雖然課程已經結束，但是在接下來的時間里，我會更加關注數學史的。
第五篇：數學史
數學史讀后感
寒假讀了數學史，有很多感觸。原來最簡單的數字在誕生之前，也經歷了那么多曲折，現在看起來很自然的數字0、無理數、負數等，在當時看來是那么奇怪。歷史上經歷了蠻長的過程才被接受，他們是許多學者前仆后繼、辛勤耕耘的結果。
數學史上的三次危機，正是由于數學家們不怕困難，堅持真理，數學才得以繼續發展。正如數學的發展過程一樣，數學的學習過程也會遇到各種困難和挫折，但是我們要向祖沖之，陳景潤、歐拉他們那樣，孜孜不倦的學習，以頑強拼搏的精神和勇氣，經過思考和探索獲得只是。同時，我們也要學習數學家們敢于質疑和創新精神，善于思考。創新是發展的靈魂。在以后的學習中，不因困難而放棄，刻苦鉆研。我的數學不太好，但是我不會放棄。雖然不會成為數學家，但是我一定會把數學學好，多寫、多練。祖沖之的故事給了我很多感悟。
祖沖之(公元429——500年)是我國南北朝時代一位成績卓著的科學家。他不僅在天文、數學等方面有過聞名世界的貢獻，而且在機械制造等方面也有許多發明創造。他的發明為促進社會生產的發展，建立了不可磨滅 的功績，受到了中國人民和世界人民的尊敬。劉徽發明了用分割的方法，求得圓周率的近似值3.14。他說用無限分割方法可以求得更加精確的數值，但是后來是由祖沖之求得了更加精確的數值。他的毅力和堅持是多么讓人敬佩啊。相比之下，我們的那點困難又算的了什么呢。我們現在有如此優越的條件，更應該努力學習，不能因為一點小小的挫折，就倒下了，要堅持。要明確自己的目標，
人正是因為有了清晰的目標和堅定的信仰，有了腳踏實地的行動，才能成功。以后要積極思考，發現問題，學習數學家創新的精神，如果沒有歐幾里得第五公設的懷疑就不會有非歐幾何的產生，如果沒有創新的勇氣哪兒會有康托爾集合論的創立。
數學的發展只一個漫長而又曲折的過程，我們學習的只是很少的一部分，沒有理由不好好學。這個過程正如人生一樣，布滿荊棘，但不能阻擋我們的前進。