統計與概率范文第1篇
1 概率論中的案例
概率論具有符號化、邏輯性等數學學科所具有的共同特點, 但與高等數學、線性代數相比, 又具有與學生具體生活聯絡緊密的特點。概率的問題在學生的日常經驗中或多或少都有一定的體會, 如何有效的利用這樣的直覺感受, 促進學生對于知識點的理解和掌握, 成為我們思考教學創新的主要著眼點。以下的幾個案例, 是我們在案例教學創新中已經實踐的幾個。
1.1 案例1:全概率公式在敏感事件調查中的應用
在介紹全概率公式中, 學生對于概念的理解有一定的困難, 解題過程中雖可以比較容易地應用, 但并不覺得引入這些公式有什么必要性。我們引入了敏感事件調查這個例子。這樣的一個案例, 對于經管類的文科學生具有一定的現實意義, 為學生提高市場調查、問卷設計的能力提供了一定的幫助。
在市場調查實踐中, 往往會涉及一些不方便提供的一些信息, 即所謂的敏感信息, 比如我們想要調查特定人群中的吸毒人員比例。針對這一情況, 需要做一些技術處理, 基本的核心是:如果我們需要調查的初始樣本容量為n, 我們將設計調查的樣本個數為2n, 采取隨機抽樣回答問題的方式比如從100個白球100個紅球中隨機抽球的方式回答兩種不同的問題:若抽到白球, 則回答我們的目標敏感問題, “是否吸毒”;若抽到的是紅球, 則回答一個無敏感性的問題, 如手機號碼的尾號是否為奇數, 這一指標我們可以通過其它方式方便得到手機尾號為奇數的概率為p1。通過調查數據, 我們可以統計出在2n個樣本中回答“YES”的人數m。對于我們想要調查的吸毒人員的比例p, 可以利用全概率公式得到表達式m2n=p×21+p1×21, 其中表達式左側是樣本中回答“YES”的人員比例。這樣我們通過簡單的計算就可以計算得出我們需要的敏感事件的概率p。
敏感事件調查背景比較簡單, 對學生的專業學習和實踐應用有幫助, 易引發學生的學習興趣。
1.2 案例2:隨機實驗-學生點名
教學創新要更貼進現代和學生以后的應用方向, 單純的計算已經不適應學生以后的發展。我們發現“用EXCEL進行學生隨機點名”這一案例的引入, 很好地切合了數學模型的思想。
針對學生相對熟悉的EXCEL軟件, 我們應用有了兩個自帶函數:rand () 產生均勻分布U (0, 1) , ceiling () 向上取整函數, 構造了一個隨機點名的數學模型:ceiling (n×rand () , 1) 其中n表示點名冊中的學生人數。本質上我們通過產生U (0, n) 隨機數, 后采取向上取整與學生在點名冊中一一對應的序號的方式, 實現隨機點名。
用這樣的一種方式, 在教學的過程中可以讓學生體會: (1) 簡單的隨機數的產生對于理解隨機變量有一定的直觀感受; (2) 更好地讓學生建立起概率統計意識。并且這樣的例子的引入, 對于二項分布的教學也能起到一定的幫助, 我們所構造的隨機點名的模型, 是一個可放回的隨機抽樣, 假設我們在一個學期里共點名10次, 每次抽20名同學來的話, 針對特定的同學來說, 其被點到的次數ξ, 事實上就是試驗次數為200
1
我們所關注的“成功”概率為的二項分布
n
B (200, n1) 。
2 數理統計中的案例
數理統計是以數學為工具, 但本質上不是數學的一門實用學科。數據在我們的生活中無處不在, 如果在我們的教學中能夠把統計學的方法和手段讓學生有更深入的體會, 對于提高學生的競爭力是很有幫助的。
案例3:救災物資發放在描述性統計中的應用。
描述性統計是指從原始數據中, 整理出最基礎的一些數據, 如基本統計量, 頻數、眾數等, 我們用案例可以更好地幫助學生理解相關的概念。
作為上級管理部門, 需要了解在物資發放過程中, 具體的物資發放的數量。物資的價值有高有低, 各級發放機構可能會人為地瞞報價值高的物資, 作為上級管理部門, 如何真實地從數據中發現問題?我們可以先針對問題中的核心數據:發放的人數有多少?每個人的基本生活資料數據是比較可信的, 比如發放的鹽的數據, 每人每天的用鹽量比較少, 并且變化不大, 同時鹽的價值比較低, 因此做假的可能性會比較小。我們可以利用這樣的比較可信的數據與可能有問題的數據進行對比, 就會發現其中的問題。這個案例, 我們還可以應用在類似的環境中, 比如調整商戶的稅收等問題。
3 結語
針對《概率論與數理統計》教學中學生理解困難的問題, 我們引入了案例教學法, 列舉了三個在教學過程中應用的案例, 展現了案例教學對于促進學生學習興趣的提高的一些幫助, 更好地實現了教學創新的工作。
摘要：本文是有關案例教學法對《概率論與數理統計》教學提升作用的研究, 列舉了三個應用在教學中案例, 討論了案例與相應知識點結合的問題, 為改善《概率論與數理統計》的教學效果作了一些教學創新。
關鍵詞：案例,概率,統計
參考文獻
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統計與概率范文第2篇
1 高度重視概率統計在生活中的應用
1.1 應用概率統計思想處理保險業務
保險行業是一個對保民有利, 使保險公司賺錢的行業。保民只需交納少量的保險費, 則在保險期間內若遇到意外傷害, 即得保險公司較大數額的理賠補償, 所以, 很多人都愿意參加保險, 而保險公司也愿意經營這個行業。為什么?理論依據就是統計推斷原理:小概率事件在少量次試驗中是不會發生的, 但在大量次試驗中是必然發生的。于是, 人們在“以防萬一”的心理驅駛下, 都愿意用少量的投資去買個“平安”;保險公司則需調查被保險人群發生意外傷害死亡和重大疾病的概率, 制定投保金額的標準, 使保險公司永遠不會虧本。例如, 某保險公司估計, 在其管理區里有5000人參加一年期的平安保險, 經調查, 這一地區遇到意外傷害死亡或遇到重大疾病的概率為0.002, 如果遇到此類情況時, 保險公司則需理賠10000元的補償費。為了使保險公司一年盈利5萬元的概率達到98%, 則需保民交納多少元的保險費;為了使保險公司一年盈利10萬元的概率達到98%, 則需保民交納多少元的保險費?學過概率統計的人對這些計算都不是難事, 問題是如何引導學生參與這樣的實踐活動, 則是教師所要考慮的重要問題。
1.2 應用概率統計思想看待抽獎
當前, 福利彩票、體育彩票、各地各部門的抽獎活動方興未艾, 各種股票經久不衰。但不要忘了, 天下沒有免費的午餐, 為什么?因為不管那一個抽獎活動, 它所遵循的規則, 都是把“中獎”設定為小概率事件, 又把這些小概率事件賦予大獎, 諸如500萬元大獎, 100萬元一等獎。當然, 隨著參與人員的大量增加, 這些小概率事件也偶爾發生, 的確有人一夜冒富, 但是, 大量的人群卻是望洋興嘆。應該說, 福利彩票、體育彩票, 是有利于國家的抽獎活動。至于怎樣選號可以提高“中獎”的概率呢?有人介紹過一條選號規則——逆向選號法。從搖獎機的構造角度來說, 它要保證每個數字出現的概率都一樣, 所以搖獎的次數越多, 每個數字出現的次數也就趨于相同。所以, 在選號時就應該盡量選擇前幾次沒中過獎的數字。這就是逆向選號法, 其實它是利用了概率的穩定性。
1.3 應用概率統計思想看待賭博現象
賭博令人憂心, 又令人關注, 一些賭徒巧立名目, 設立陷阱, 把一些小概率事件作為獲獎事件, 而把大概率事件作為不獲獎事件, 讓受騙的人們不斷“壓注”不斷輸錢。
例如, 有個賭博活動規則如下:每次投入2元, 在一副52張撲克牌 (除掉大皇小皇) 中任意抽取4張, 設立: (1) A={獎金100元}={4張牌同號不同花}; (2) B={獎金30元}={4張牌同花連號}; (3) C={獎金10元}={4張牌完全不同花}; (4) D={獎金5元}={4張牌完全同花}, 若抽不到規定的4張牌, 則投入的2元進入莊家的腰包。
容易算得:
抽牌人每次贏錢的概率為:
而莊家贏錢的概率就是P=0.98503262。這就說明了一個道理:參賭人輸錢而莊家贏錢幾乎是必然的。
2 高度重視概率統計在生產實踐與科學實踐中的應用
概率統計在生產實踐與科學領域的應用也非常廣泛, 如何引導學生的應用意識, 培養學生解決實際問題的能力, 我們認為在教學中應該注重突出以下幾個方面。
2.1 突出質量檢驗
教材中有不少關于質量檢驗的問題, 尤其是產品的質量檢驗, 不但牽涉到隨機變量的各種分布參數, 也牽涉到這些分布參數的檢驗方法, 如區間估計法, 假設檢驗法。對這些內容的傳授, 在加強理論疏導的同時, 更應該帶領學生到車間去, 對產品進行數據調查, 然后進行統計分析, 寫出調查報告。使學生身臨其境, 學到處理實際問題的方法。
2.2 突出決策選優
現實中有許多決策問題和選優問題依賴于概率統計, 比如, 概率最大時的隨機變量、取得最優狀態時的隨機變量、平均值最高時的隨機變量、方差最小時的隨機變量等等, 往往就是一些經過試驗優化了的隨機變量, 這就是選優的對象, 決策的基礎。試驗的過程有時要通過方差分析、回歸分析、正交試驗、主成分分析, 因子分析等等分析方法, 找出優化的規律, 為決策提供依據。對這樣的決策選優問題, 教學中必須予以高度重視, 以此來培養學生的的統計能力、分析能力、決策能力。
2.3 突出建模競賽
建模競賽是全國性的數學競賽, 是對大學生用數學知識解決實際問題能力的綜合性考察。翻閱各年的建模競賽題, 有相當部分是與統計有關的, 在調查研究的基礎上, 得出大批數據, 然后根據這些數據進行處理, 總結歸納出數學模型, 再利用所得數學模型解決實際問題。因此, 把概率統計的教學納入建模競賽的軌道, 是必要且可行的。
2.4 突出軟件開發
概率統計的應用程序已經遠遠超出人們的預想范圍, 利用辦公軟件可以處理許許多多繁雜的日常事務, 利用大型的統計軟件如SAS、SPSS等, 可以進行許多復雜的統計分析。在教學中應注重軟件的使用, 激勵學生參與應用統計軟件的研究與開發。
2.5 突出探索追求
本門課程要想重視應用, 就必須在教法和學法上進行大膽的改革試驗, 在應用問題上多引導學生作一些探索追求, 學會總結歸納事務發展的規律。第一, 可以向學生介紹一些關于概率統計應用方面的文章, 讓學生領略概率統計的應用空間;第二, 組織學生課外小組, 給一些調查提綱, 如某校某班中學生數學成績的發展狀況、某地某村的良種推優過程中的各年平均產量、某地某超市的某商品的銷售數量等等, 讓學生收集數據并寫成調查報告, 以此來鼓勵他們的探求欲望。
總之, 對《概率論與數理統計》這門課程來說, 理論固然重要, 應用就更為重要, 因為最能體現課程特點的關鍵是應用, 而應用又是理論指導下完成的, 因此, 在保證理論教學暢通的前提下, 要重點突出應用性教學, 把解決實際問題作為教學的歸宿。
摘要：《概率論與數理統計》是一門理論性很強的學科, 而且也是一門應用性很強的學科。在教學中, 我們不但追求理論的嚴密性, 而且更要追求實踐的應用性, 突出這門學科在生活、生產、科研等方面所起的作用。
關鍵詞：概率論,數理統計,應用性,精品課程
參考文獻
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統計與概率范文第3篇
一、預測中獎概率
當今時代，彩票產業飛速發展，人們都能通過自己能成為那個幸運兒，徹底改變自己的生活狀態。因此，在現階段的社會經濟發展中，彩票成為普通大眾經濟生活的一個熱點話題。據不完全統計，在我國，每100個人中至少有三個人購買過彩票，那么，彩票中獎的概率到底有多大呢?人們通過購買彩票發家致富愿望真的能夠達成嗎?這就需要人們在購買彩票之前運用概率論數理統計知識計算中獎率，理性購買彩票。以日常生活中比較常見的“雙色球”彩票的中獎概率為例。在“雙色球”彩票中，一共分為3個獎項，一等獎的中獎原則是“六加一”，即抽中六個紅色球和一個藍色球即中獎，既然如此，記“彩票購買者中一等獎”為事件A，“中二等獎”為事件B，“中三等獎”為事件C，那么購買彩票中獎的概率大概是P(A)+P(B)+P(C)=6.7%，也就是說一個人每買一百次“雙色球”彩票，他大概有六到七次的中獎機會，而在所有的中獎可能中，購買者中一等獎的概率只有1/17721088，能在兩千多萬個參與者中成為那個幸運兒，其難度可想而知。
由此可見，彩票中獎的概率并不高，想把購買彩票作為職業來發家致富的可能性基本是不存在的。在購買彩票之前，概率論與數據統計知識的運用有助于幫助購買者你先看看中獎概率，以平常心看待每一次購買彩票的行為，不要對其能夠中獎抱有過大期待，而去把時間和精力投入到能切實為自己帶來效益的社會經濟活動中。
二、防范金融風險
在當今社會中，“炒股”也是一個熱門話題，和彩票購買不同，“炒股”需要運用到相當專業的金融知識以及概率論思想，如此才能在日趨激烈的金融市場上抓住機遇，防范金融風險，創造經濟效益。假設現行市場上有三種股票，通過初步預測，這三種股票能為持股人帶來經濟效益的概率分別是0.8,0.5,0.3，那么，這三只股票中至少有一種股票能夠獲利的概率是多少呢?在已經知道一定的概率數據的前提下，股票購買者就可以提前計算各種股票的獲利概率，在上述問題中，就可以利用現成的概率計算公式來計算至少有一種股票能夠獲利的概率。依舊是以上述給出的股票獲利數據為例，至少有一種股票獲利的概率大概是0.93。雖然說這個數據不一定是準確無誤的，但是至少可以為股票購買者提供一定的參考，有助于股票購買者理性購買，有利于防范金融風險。
三、保險問題
隨著我國社會保障事業的不斷深入發展，保險成問題成為廣大城鄉居民共同關注的熱點問題。在選擇辦理保險業務時，人們總希望能夠選擇那種能夠為自己帶來實際收益的保險服務，在眾多的保險保障業務中，他們只有計算每一種業務為自己帶來的實際收益，才有助于自己做出正確選擇。換個角度來說，保險辦理者可以通過逆向思維考慮保險公司的經濟業務情況，從而來推導出自己可能獲益的概率。
在實際投保前，投保人可以參考借鑒一下保險公司的相關數據?，F在我們做出簡單舉例，假設一年中有2000個人在保險公司投保，而這些人發生意外事故的概率大概是0.005%，每人辦理保險業務都需要交費20元，倘若發生事故，擇期可以領取2000元的保險金，那么，就可以根據這些數據計算保險公司的虧本概率，通過伯努利實驗以及相關的計算公式，我們最終可以得出保險公司虧本的概率無限接近于0的答案，雖然這項計算受到外界不確定性因素影響較大，但是也足以為投保人提供一定的參考，有助于投保人在一眾保險業務中做出正確抉擇，為自己帶來最大化收益。
結束語：
綜上所述，概率論與數理統計是以一門實用價值比較高的學科，能夠用來解決很多現實生活中存在的經濟問題。通過概率論與數理統計，人們能夠計算彩票中獎的概率、能夠計算炒股獲利的概率、能為自己選擇哪種保險業務提供數據參考。對這項數學知識的充分利用，有助于人們客觀地看待一些“經濟陷阱”，合理規劃自己的經濟活動，讓自己的經濟活動多一些理性，人們必將從此受益。
摘要：概率論與數理統計主要致力于對隨機現象統計規律的研究,是一門注重演繹歸納和規律統計的學科。在現實經濟生活中,概率論數理統計的應用可以涉及到方方面面。因此,本文將著重分析概率論與數理統計的數學思想以及數學方法在經濟生活中的實際運用,立足于現實生活,展現概率論與數理統計的高效性和實用性。
關鍵詞：概率論與數理統計,經濟生活,統計思想,應用
參考文獻
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統計與概率范文第4篇
[摘 要] 大學數學與中學數學間的有效銜接主要體現在檢查模式、教學內容與方法上，銜接工作能夠保障數學教學的實效性。為此，對中學新課標背景下大學概率統計與中學數學的銜接問題進行了深入的分析，并對比了大學數學與中學數學中概率統計部分的教學任務，從而提出相應的大學概率統計可行性教學方案，以保證大學概率統計數學的教學工作得以順利開展。
[關 鍵 詞] 概率統計;中學數學;教學內容;銜接
[
教育部于2003年出臺了《普通高中數學課程標準》，從課程理念、內容與框架角度出發，新標準相對于傳統教學標準發生的變化較大。而相對于中學數學而言，大學數學的改革較為滯后，尤其是在中學與高校的改革過程均屬獨立，因此，大學數學與中學數學必然在教學內容等方面出現嚴重的脫軌或重復現象。在這種情況下，高校勢必要做好大學數學與中學數學的銜接工作。
一、概率內容的銜接
（一）高中概率教學內容分析
高中新課標概率教學部分主要包括五部分構成：隨機變量的數字特征、概率應用、集合概型與古典概型、隨機事件與概率、條件概率與事件的獨立性。針對于高中概率部分，新課標提出的教學任務有：實際教學中，學生要充分了解隨機事件發生頻率的穩定性和不確定性，并掌握概率的意義，同時能夠區分概率及頻率的本質。
（二）大學概率教學內容分析
大學概率教學部分主要包括以下幾部分構成：隨機變量及其分布、概率論基本概念、中心極限定理、隨機變量的數字特征、多維隨機變量及其分布、大數定律。針對于大學概率部分，提出的教學任務有：學生要對樣本空間及隨機試驗進行深入的了解，并掌握隨機事件的運算和概念，能夠清晰地對概率和頻率的公理化概念以及統計概念有所了解，認識到概率的基本性質。
二、統計內容的銜接
（一）高中統計教學內容分析
高中新課標統計教學部分主要包括四部分構成：變量的相關性、隨機抽樣、統計案例、用樣本估計總體。針對高中統計部分，新課標提出的教學任務有：學生要具備從其他學科或實際生活中抽象出具有統計價值的相關問題能力，并能夠對具體的實際問題情境進行有效結合，隨即了解了抽樣學習的重要意義以及必要意義。在統計問題的解決中，學生要掌握從總體中抽取樣本的簡單隨機抽樣方法。
（二）大學統計教學內容分析
大學統計教學部分主要包括六部分構成：參數估計、回歸分析、樣本、抽樣分布、方差分析、假設檢驗。針對于大學統計部分，提出的教學任務有：大學生要掌握樣本、總體、統計量與個體的概念，并對兩重點估計的定義以及區間估計的定義進行深入理解。與此同時，大學生還要具備計算單個總體的方差的置信區間與均值，能夠解出兩個總體的方差比的置信區間與均值差。并對假設檢驗的基本思想進行深入了解，掌握單個正態總體的均值的假設檢驗。
三、大學概率統計教學與中學數學教學內容銜接的注意事項
（一）概率部分
通過上文的大學與中學概率教學任務來看，有許多重復的內容，部分中學概率教學任務要求相對較低，主要體現在概率概念中僅對概率的概念以及區別概率與頻率提出了要求，不要求較為嚴密的概率的公理化定義。從數字特征角度出發，只對取值有限的離散型隨機變量的方差與均值的計算與理解提出了要求。
大學與高中概率內容講解最大的區別體現在全概率公式、對偶率、貝葉斯公式以及差事件上。由此可見，在概率教學中的概率論基本概念部分，大學教學主要是對重復的內容進行復習。例如，中學古典概型問題講解也很細致，題目的難度系數也能滿足教學要求，那么大學概率教學在這部分就沒必要花費過多的時間。針對幾何概型問題，學生在高中階段普遍掌握得較好，為此，大學教師僅需要列舉幾個相關的教學實例即可。另外，大學概率教學階段涉及數學期望、有限個離散型隨機變量的分布律可以簡單講授。但相對其上述兩項內容而言，高中階段方差的練習還是較少的，那么，大學任課教師就要正常講解有關方差的內容。
（二）統計部分
中學統計教學任務傾向于實踐應用，不要求統計理論的掌握，對大學統計部門的教學體系建立基本不產生影響。在這種情況下，高中介紹數理統計基本概念相對于大學而言，系統性和詳細性較為遜色，因此，大學統計教學的執行應該基本以原大綱為導向。
綜上所述，針對大學概率統計教學，任課教師要采取最佳教學策略，避免出現教學內容重復的現象，并以學生的實際統計概率掌握情況出發，不斷探索大學概率統計教學與中學數學教學內容相銜接的方法，精心設計教學流程，促進大學概率統計教學水平的提升。
參考文獻：
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統計與概率范文第5篇
關鍵詞：概率統計;教育環境;概念理解;教學效果
在當今的信息時代，數學知識在科學研究、工程技術、人文社會科學以及經濟生活等領域中的作用越來越重要。而概率統計課程幾乎是每所高等院校理工科與經管專業本科階段的必修數學課程，它是研究隨機現象的一門學科，它與實際問題聯系非常密切，應用非常廣泛，其重要性不言而喻。
但是在教學過程中，我發現學生在對某些內容的理解上頗為困難，尤其是一些概念和定理。為此我結合教育對象和教學過程，研究“大眾化教育”階段課程的教學方法與手段，這對提高課程的教學質量，提高學生的數學應用能力等都具有一定的意義。
一、課程面臨的問題及課程的特點
1.概率統計課程面臨的問題
近年來，我國高等教育發展迅速，學校的本科教學規模也快速發展。如何保證本科生的教學質量就成為高等教育發展中的突出問題，怎樣提高概率統計課程的教學質量也是我們必須面對和研究的問題。
多年的教學經歷告訴我們，概率統計課程的教學面臨著以下幾個問題。
(1)受教育的對象發生了很大變化。學生基礎與學習積極性跟過去相比都有較大區別，學生之間的基礎差異也較大，一些學生很難適應概率統計課程的教學要求，給課程的教學帶來了一定困難，使課堂教學效果大打折扣。
(2)社會和大教育背景的變化。在當今商品經濟高速發展、物質利益追求不斷膨脹的環境中，學校的整體教與學的態度、目的和效果直接或間接地受其影響，而這種影響是復雜和持久的，其作用也是不能低估和忽視的。比如說，教師的講授和學生的學習在很多情況下不夠細致和扎實，而是像生產過程一樣追求所謂“效率”和“功利”。很多同學只是應付考試及格，只滿足于會做老師要求的幾個簡單習題。這種狀況對學生真正掌握知識是極為不利的。
2.課程的特點
概率統計課程的內容分為概率和統計兩部分，前者是后者的基礎，同時前者是該課程最難之處，需要較多時間和精力才能保證學習效果。
從表面看，工科和經管專業的概率統計課程所用的數學工具只是中學數學知識和大學一年級所學的微積分，應該說學生對這些工具并不陌生。但是在概率理論中，有一個以往數學課程中所沒有的關鍵而本質的概念，即所謂“概率空間”的概念。這個概念就是學生感到抽象而困惑的根源所在。
我們知道概率統計是研究隨機現象的一門學科，而每個隨機現象的背后都隱藏一個“概率空間”，它包含所有可能發生的結果和我們所關心的一些事件及對應的概率。這里就涉及一個集合與數字相對應的問題，而我們以往的數學課程往往考慮的是數字與數字之間的關系。比如高等數學中討論最多的函數，就是實數到實數的映射。因此學生對于一個集合對應一個數字(概率)這樣的數學理念比較陌生。
上述不同則造成了初學者理解“概率空間”的障礙。如果不能很好地理解“概率空間”的概念，那么就無法很好地理解“隨機變量”和“分布函數”等概念，進而影響整個課程內容的掌握。
鑒于此，我們提出加強基本概念的理解，注意概念間的區別和聯系。
二、加強概念理解，注意概念間的區別和聯系
概念對于數學課程的學習至關重要，概率論與數理統計中的概念也不例外，從一開始就要引導學生重視理解概念。
比如在第一章的最開始，就出現了樣本空間的概念，它是概率空間的一個基本要素，因此需要花一定的時間，舉較多的例子讓同學們理解好。接著提到了概率的三種定義：統計定義、古典定義、公理化定義。我們可以先讓學生自己分析異同點，并在課堂上自主發言討論。說的不完整甚至說錯了都沒關系，應鼓勵同學動腦筋，大膽表達和交流，然后我們老師再來分析，舉例說明異同。還可以布置學生課下寫總結，并找出習題中或生活中一些不同場合下我們使用概率的不同定義的例子。對樣本空間和概率的定義有了很好的理解之后，對概率空間的理解就水到渠成了。
根據多年的經驗，我們覺得還有如下一些概念和定理尤其需要學生注意區別和聯系，比如全概率和貝葉斯公式、離散型和連續型隨機變量、分布函數和密度函數、一維和多維隨機變量等概念。
對于這些概念的理解與區別，我們認為可以考慮采用如下線索進行：第一，課前預習，做到心中有數;第二，課堂討論，做到是非分明;第三，課下自主總結，加深理解;也可布置學生找出習題或實例中牽涉的相關概念并分析區別，做到理論聯系實際，這樣比單純地做出題目答案效果更好。
采用如上措施，至少具有下面以下意義：第一，從解題角度來看，弄清了概念的內涵、區別及聯系，避免了張冠李戴，提高了解題效率和準確率;第二，從學習能力角度看，讓同學們通過比較、分析、總結、表達、相互指正的方式來理解概念有助于培養他們自主學習和獨立探索的習慣，提高表達能力以及透過現象得出規律的歸納能力，而這些是今后繼續學習或從事科研工作所必備的品質;第三，從學以致用的角度看，只有真正透徹地理解了概念才能正確熟練地運用它們來解決實際生產生活中的問題。
因此，我建議在教學過程中從老師自身做起，帶領學生腳踏實地地進行，避免社會和教育環境中浮躁、急功近利的做法的影響，重視基本的概念理解，基礎打好，樓房才能蓋得高。學習知識不可“速成”，需要耐心與恒心。
(作者單位 浙江省杭州中國計量學院)