APOS理論是描述數學概念學習過程的模型, 認為學生對數學概念的構建需要經歷四個階段, 即活動階段、過程階段、對象階段以及圖示階段, APOS解釋了數學概念的形成過程, 將APOS理論應用于幾何概念教學之中, 更有利于學生清晰牢固的完成數學概念的構建, 提高學習質量。以下為“直線與平面垂直的判定”教學設計:
一、教學目標
認識直線與平面垂直的關系, 深入理解與掌握直線與平面垂直的性質定理與判定定理, 并能夠熟練應用于實際問題的解決。培養學生幾何直觀能力、抽象概括能力以及數學化歸思想。
二、教學重難點
重點:引導學生正確理解直線與平面垂直的定義與判定定理, 并能夠簡單應用。
難點:引導學生掌握其中所蘊含的數學轉化思想。
三、教學過程
(一) 活動階段
1.創設問題情境
師:同學們, 圖片中旗桿與地面, 木柱與地面之間是什么樣的位置關系?還能舉出類似的例子嗎?
師生活動:引導學生說出生活中常見的直線與平面垂直的例子, 比如課桌桌腿與地面, 我們站立時的身體與地面, 等等, 由此增強學生對直線與平面垂直的直觀感知。
2.引導學生進一步思考
師:在上節課中, 我們在思考空間中直線與平面平行問題時, 采取的方法是將其轉化為直線與直線的平行, 那么同樣的轉化方法是否適用于處理空間中直線與平面垂直的問題。
師:如圖3, 我們假設直線AB是旗桿, 它在地面上的影子是直線BC, 那么AB與BC之間的位置關系是什么呢?
師:旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿桿底部B的直線B1C1的位置關系又是什么呢?
師生活動:多媒體動態展示旗桿在地面上的影子, 隨著太陽光照的變化而不斷變化的過程, 引導學生觀察思考, 得出旗桿所在直線與地面上的直線都垂直的結論。
(二) 過程階段
1.總結反思
師:結合直線與平面平行的定義, 試著描述一下直線與平面垂直的定義。
師生活動:給予學生充足時間, 選幾位學生作答, 并讓其他學生進行糾正與補充, 若學生無法完成, 通過設問“是直線與平面內的一條直線垂直還是與兩條直線垂直呢?”這時學生定會回答都不是, 那教師可繼續提問“那是和平面內的任意一條直線都垂直嗎?為什么”, 由此引導學生得出正確的結論。這時教師再帶著大家一起對定義進行重復, 并在黑板上畫出示意圖。
2.定義辨析
師:請同學們辨析以下命題:
(1) 如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線, 那么這條直線與這個平面垂直。
(2) 如果一條直線垂直于一個平面, 那么這條直線就垂直于這個平面內的任意直線。
師生活動:對于命題 (1) , 教師可提示學生將課桌當作平面, 直角三角板的直角邊當作兩條相交的直線, 筆當作一條直線, 再給予學生充足的時間, 舉出反例以證明。
教師總結歸納:由命題 (2) 得出下列結論:
這個結論體現了平行與垂直兩種位置關系的聯系, 它是判斷線線垂直的常用方法。從而使學生明確線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質, 線面垂直和線線垂直可以相互轉化。
(三) 對象階段
1.反思定義
師:我們為了證明直線與平面是垂直的關系, 是不是需要證明這條直線與平面內所有直線都垂直呢?
生:那樣也太復雜了, 肯定有更簡便的方法。
師:那同學們能找出簡便方法嗎?仔細觀察圖5、圖6兩幅圖, 看看能理清頭緒嗎?
師生活動:引導學生思考, 并提問“是不是有一條直線與一個平面內兩條相交的直線都垂直, 就可以證明該直線與此平面垂直了呢?”
2.實踐檢驗
師:折紙實驗。我們將三角形的紙的三個頂點分為設為A、B、C, 過△ABC的頂點A將紙片翻折, 得到折痕AD, 再將翻折后的紙片豎著放在課桌上, 也就是讓三角形的BC邊和BD邊與桌面接觸, 請同學們觀察, 回答老師的問題:
折痕AD所在的直線與桌面垂直嗎?
如果不垂直的話, 應該怎樣翻轉才能使其垂直于桌面呢?由折痕AD⊥BC, 翻轉之后垂直關系不變, AD⊥CD, AD⊥BD還成立嗎?通過折紙實驗和老師所提的這幾個問題, 你能得出什么結論嗎?
師生活動:在動手操作中找出“不垂直”的原因, 進而找出垂直成立的條件。
3.適時推理
師:通過折紙實驗, 結合公理, 我們現在能找出直線與平面垂直的判定方法了嗎?
師生活動:與學生一起重復定理內容, 并用符號語言與圖形語言表示。
(四) 圖示階段
(1) 具體應用
例1:如圖8, 在長方體ABCD-A1B1C1D1中, 有哪些垂直于平面ABCD的直線?這些直線之間又是怎樣的位置關系呢?
例2:如圖9, 已知a∥b, a⊥α, 求證b⊥α。
師生活動:例1大部分學生都可以利用所學知識解答出來的, 教師只需給予學生充足的解題時間即可。例2是例1的延伸, 教師可借此進一步滲透轉化思想。
習題:如圖10, 在三棱錐V-ABC中, AV=CV, AB=BC, K是AC的中點, 求證AC⊥平面VKB。
(五) 課堂小結
(1) 線面垂直的判定方法是什么?體現了什么數學思想?
(2) 還存在什么問題嗎?
(六) 課后作業
完成課后練習題;預習新課。
總之, 立體幾何是高中數學教學中的重要內容, 基于APOS理論指導下的幾何概念教學, 符合學生的心理發展特點與認知水平, 有助于提高教學質量, 教師需引導學生加強對概念圖示的建構, 幫助學生更好的學習掌握幾何內容。
摘要：幾何概念教學一直是高中數學教學中的重難點內容, 本文以“直線與平面垂直的判定”教學為例, 介紹了APOS理論在數學概念教學中的具體應用。
關鍵詞：APOS理論,高中數學,立體幾何,概念教學
參考文獻
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