函數教學論文范文第1篇
摘 要：對于中學生抽象思維能力的培養來說，函數概念教學顯得尤為重要，這是因為函數概念是抽象思維的結果，在學生進行函數概念構建的時候，學生會從自身的感性認識逐漸轉化為理性認識，這樣就能對函數概念有一個很好的理解，從而讓中學生的抽象思維能力得到很好的培養。在教師進行函數概念教學的時候，相比于其他數學知識的教學，它的教學效果更需要學生抽象思維能力的配合，只有擁有較強抽象思維能力的學生才能對函數概念有更深入的了解，基于此本文首先對抽象思維能力詳解進行了分析，又對目前函數概念教學中抽象思維能力的培養存在的問題進行了敘述，最后提出了提升函數概念教學中抽象思維能力的培養的相關策略。
關鍵詞：函數概念;抽象思維;策略
前言：抽象思維也被稱為邏輯思維，它是數學學習過程中必具備并且得到不斷培養的能力之一，尤其是在函數概念教學中更是對抽象思維能力有較高的要求和培養。在中學階段，學生已經能夠對大多數知識有一個較為深刻的認知，不僅能夠對問題進行具體的描述，還能用抽象的概念進行敘述，這樣在初中結束后學生的抽象思維能力得到很好的培養，從而為以后的學習打下良好的基礎，但在研究中發現現在很多中學的函數教學中存在很多問題，比如與生活聯系較少和只注重概念的形式教學等，這些問題不僅對教學水平產生了不好的影響，還給學生抽象思維能力的培養帶來了負面影響，基于此本文在文中對于相關內容都有較好的闡述，希望能對本行業的研究人員提供參考價值。
一、抽象思維能力詳解
在業內抽象思維也被稱為邏輯思維，它指的是脫離具體事物進行的思維推理和判斷的過程，這種思維方法是把感性認識作為基礎，使用推理與判斷的方法進行了一種有效地思考方式[1]。這種思考方式可以直接或者間接地反應事物的本質規律，從抽象的程度來劃分，又可以分為理論型和經驗型兩種。在函數教學的不同階段，使用的抽象思維方式也會有所區別，一般形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，且a≠0）的函數就是叫做y的二次函數。例如，函數y=（k- ）x2k?+k+1是二次函數，則k=多少？
這道題的解答思路為：根據題意，得出
由①可得出，
由②可得出 ，
所以由此可以得出。
通過不同的歸納方法可以得知，認知是建立在操作的基礎之上，在本例中使用的就是理論型的抽象思維方法。
二、目前函數概念教學中抽象思維能力的培養存在的問題
（一）與生活聯系較少
通過調查發現，在函數概念教學過程中存在與生活聯系較少的問題。隨著教育改革的落實，有部分學校的教學已經與實踐緊密的結合在一起，而大多數學校仍然停留在理論教學的層面，尤其是函數概念的教學過程中，這是因為函數概念雖然與生活息息相關，但是要找到合適的例子必須要進行適當的思考才能做到，而現在的教師不再把“授人以漁”的工作當成神圣的職業，只作為一種糊口的手段，因此很少有教師愿意為尋找一個實例而花費大量的時間，這樣不僅影響了學生學習函數概念的積極性，還給學生抽象思維的培養帶來了不利的影響。通過進一步研究發現，函數概念的教學中與生活聯系較少，主要存在以下幾個方面[2]。
第一，在函數概念特點的講解上，很多教師在進行函數概念特點的講解，只是生搬硬套教學大綱里邊的案例，而沒有與生活進行聯系，這樣不僅讓函數概念的教學受到影響，還不利于學生抽象思維能力的培養;第二，在函數概念背景的講解上，大多數教師都是把教學大綱上的背景生澀的背誦出來，而沒有進行詳細的分析與講解，也沒有進行有效拓展，這樣不僅降低了學生對函數概念的理解程度，還給學生抽象思維能力的培養帶來了不利影響。以上兩個方面就是函數概念教學中，存在與生活聯系較少的主要方面[3]。
（二）只注重概念的形式教學
通過調查發現，在函數概念教學過程中存在只注重概念的形式教學的問題。由于受到傳統教學觀念的影響，很多教師的教學想法很難發生轉變，還認為教學的目的就是為了讓學生考一個好的分數，這樣就忽略了函數概念教學對學生抽象思維能力的培養，從而給學生的抽象思維能力培養帶來負面的影響。從另一個方面來說，教師在教學過程中只注重函數概念的教學，是因為這樣的教學從短期來看更加省時省力，并且還能讓學生考得較好的成績，但從長期發展的角度來看，這樣的教學方式不僅會降低學生對函數概念的學習興趣，還讓學生的抽象思維能力培養受到的負面影響。
通過進一步研究發現，在教學過程中教師只注重形式教學，主要存在以下幾個方面：第一，教師要對函數概念的內涵和外延的講解不細致，這樣不僅降低了函數概念教學的教學效果，還讓學生抽象思維能力受到了負面影響。第二，教師很少講解函數概念的形成背景，這樣就讓學生只知其一不知其二，讓學生對函數概念的理解模棱兩可，從而讓學生的抽象思維能力培養受到了負面影響。
（三）教學停留在表面難以深入
通過調查發現，在函數概念教學過程中存在教學停留在表面難以深入的問題，這種問題不僅會影響到函數概念的教學效果，還給學生抽象思維能力培養帶來了不利影響。很多教師在實際教學過程中，為了完成教學大綱的教學要求，在函數概念的講解過程中常常只把考試能考到的點進行講解，而對于函數概念的本質則是很少涉及，這樣不僅影響到了函數概念教學的教學效果，還影響了學生抽象思維能力的培養。通過進一步研究發現，函數概念教學中教學停留在表面難以深入，主要存在以下幾個方面：第一，教師很少進行舉例教學，這樣就讓學生對函數概念的理解程度似是而非，不僅影響到函數概念的教學效果，還給學生抽象思維的培養帶來不利影響，讓學生在未來的學習中處于不利地位;第二，教師只使用傳統的教學方法，由于傳統的函數概念教學方法是對函數概念的特點進行機械的講解，這樣不僅降低了學生對函數概念的理解程度，還讓學生抽象思維的培養受到不利影響，從而讓學生未來的學習中處于不利地位[4]。
三、提升函數概念教學中抽象思維能力的培養的相關策略
（一）在教學中建立生活化情景
為了讓學生抽象思維能力得到較好的培養，在教學中建立生活化情景是非常有效的策略，這是因為在生活中蘊含著與函數相關的素材有很多，當教師在教學過程中，能夠把生活的素材引入到函數概念的教學中不僅能夠引起中學生的高度注意，還能提高學生對函數概念的理解程度，從而讓學生的抽象思維能力得到較好的培養[5]。
例如，在二次函數概念教學過程中，由于二次函數同時存在兩個變量，所以就可以與日常生活過程中的做飯相聯系，這是因為做飯的主要影響因素是做飯時間和做飯的數量，此時教師就可以在二次函數教學過程中，就可以進行舉例教學，這樣就能讓學生對二次函數概念中的兩個變量有一個深刻的認識，從而讓學生的抽象思維能力得到較好的培養。從另一個方面來說，由于二次函數同時具備兩個變量，所以教師可以對日常的思維習慣進行引導，例如，教師可以說二次函數是在教導人在思考問題的時候，往往要準備兩套方案，一旦一套不能有效解決問題，還有另外一套方案作為后援，這樣不僅能夠讓學生養成良好的思維習慣，還能讓學生深刻的理解二次函數概念中兩個變量的重要性，從而讓學生的抽象思維能力得到有效培養。
（二）揭示函數概念抽象的基本特點
為了讓學生抽象思維能力得到較好的培養，在教學中揭示函數概念抽象的基本特點是非常有效的策略，這是因為在學生進行函數概念抽象的時候，需要學生一次次發揮自身的抽象思維能力，對概念中的基本特點進行深刻的理解，這樣不僅能夠讓學生養成良好的學習習慣，還能讓學生的抽象思維得到較好的培養，從而為學生以后的學習打下了良好的基礎。在實際教學過程中，主要需要進行以下幾個方面的工作：第一、教師要對函數概念的內涵和外延進行詳細的講解，例如，在三角函數教學過程中，教師要對三角函數的數學意義進行講解，并且還要講解三角函數能夠應用到建筑領域中，這樣不僅能夠提高學生對三角函數概念的理解程度，還能讓學生抽象思維能力得到較好的培養，從而讓函數概念教學取得較好的效果。
第二、教師要引導學生對函數概念的形成背景進行講解，人一生下來對圖畫有一種莫名的親切感，這是由人腦的構造所決定的，人腦對于圖畫的識別能力更強，所以數學概念的講解會在學生的腦海中形成一幅圖畫，這樣就可以讓學生了解函數概念的來龍去脈，讓學生對函數概念有一個深刻的認識，從而讓學生的抽象思維能力得到較好的培養;第三，在斐波那契數列講解過程中，教師可以把數列與雞下蛋有趣的故事相結合，這樣就能讓學生對函數概念抽象的基本特點有較好的理解，從而讓學生的抽象思維能力得到較好培養，為學生以后的學習打下堅實的基礎[6]。
（三）突出函數概念的本質
要想掌握事物的發展規律必須要掌握事物的本質，這是因為事物的本質決定了事物的性質以及發展方向，所以為了讓學生抽象思維能力得到較好的培養，在教學中要突出函數概念的本質是非常有效的策略。在函數概念的教學過程中，如果教師能夠突出函數概念的本質，就能加深學生對函數概念的理解，從而讓學生的抽象思維能力得到一定程度的培養。例如，實際教學過程中，為了實現突出函數概念的本質，主要需要進行以下幾個方面的工作：第一、教師要使用展開式的教學方法，也就是說在實際教學過程中，教師要把函數的所有特點展示在學生的面前，并且讓學生找出其中函數概念的本質特征，這樣就能讓學生把握住函數概念的根本，從而讓學生的抽象思維能力得到較好的培養。
第二、教師要把具有相似特征的函數放在一起讓學生進行辨別，這樣不僅能檢查出學生對函數概念本質的掌握情況，還能進一步提高學生對函數概念本質的理解深度，從而讓學生的抽象思維能力得到較好的培養，為學生以后的學習打下了良好的基礎，進而讓函數概念教學取得較好的效果。通過以上兩個方面的工作，就能讓教師在函數概念教學過程中突出函數概念的本質，從而讓學生的抽象思維能力得到較好的培養。
結束語：通過本文分析，從抽象思維的本質來說，它是能夠從函數概念教學過程中通過現象找到函數概念的內在聯系，并且它是一種從一般到具體的思維處理過程，因此能夠給學生的抽象思維能力的培養帶來極大的好處。在文中對于函數教學過程中出現的具體問題進行了敘述：與生活聯系較少、只注重概念的形式教學以及教學停留在表面難以深入，并且提出了具體的解決策略：在教學中建立生活化情景、揭示函數概念抽象的基本特點和突出函數概念的本質，通過三方面的策略應用到實際的函數概念教學過程中，不僅能讓教師的教學效果得到很好的提高，還能讓學生抽象思維能力得到較好的培養，從而為學生以后的學習生活打下良好的基礎。
參考文獻
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函數教學論文范文第2篇
一、在數學復習中, 加強學習目標引導, 突出情感教育
1、目標是前進的動力, 有了目標才能從要我學轉化為我要學, 在教學中用典型事例教育引導學生。成功只屬于努力拼搏者。
2、馬克思說:
“激情、熱情是人強烈追求自己對象的本質力量。”由于職高學生基礎差, 底子薄, 接受力差。因此在教學的過程中, 應突出情感, 引導學生學好本學科。
二、從學生實際出發, 搞好數學基礎知識的復習
1、由易而難, 面對基礎差的學生, 要選好起點, 放慢進
度, 使學生通過努力學習, 基本上能懂、能會、能做, 從而增強學習的信心。如:“不等式性質與證明, ”首先從具體數字入手, 然后過渡到一般字母的證明, 進而解決有關不等式的證明問題。要教育學生復習一定要有耐心、有信心和有恒心, 這樣就能踏實、牢固地掌握知識和技能。此外, 在復習課上, 諸如課堂紀律、知識檢查、作業布置、獨立解題等等, 仍應一如既往地對學生有嚴明的要求。
2、重視教材的應用, 第一輪復習, 應以教材為主, 重視講練結合。
職高學生注意力不易集中, 因此, 在課堂上必須采取講中有練, 練中有講, 講練結合的原則, 使他們動腦、動口、動手, 做到學有所用, 循序漸進。復習時, 要對基本概念做到準
每年的中考數學題都出現了一種與實際生活密切相關的題型--數學實際應用題。它要求考生在短時間內讀懂并理解一個數學情景, 然后運用所學知識和已掌握的解題技能靈活地進行解答。如2008年重慶市的一道“四川抗震救災”數學應用題。很多學生對這類題目感到難以下手, 原因是看了題目弄不清楚是什么意思, 問題成因主要在于學生的數學閱讀理解能力較差。“數學生活化”是初中數學新課程標準的目標之一, 解決生活中的實際數學問題已成為數學教學的重要任務。筆者認為, 在數學課堂教學中, 加強對學生閱讀理解能力的培養已成為必須。這里將簡要探討筆者在教學中常采用的五種培養方式。
一、在問題情境中激發閱讀興趣
美國著名心理學家、教育家、結構主義教育思想的代表人物--布魯納 (J.S.Brunner, 1915-) 認為:“知識的獲取是一個主動的過程, 學習者不應是信息的被動接受者, 而應該是知識獲取的參與者。”這句話間接地強調了興趣的重要性。所以, 我們采用了通過創設問題情境, 誘發學生的閱讀興趣, 引導學生進行針對性地閱讀。比如, 可以設置這樣一個問題情境:“如果你能順利完成這道題, 你就能勝任這次抗震救災的總指揮, 就能快速、準確、高效把這些救災物資運往災區”。這樣, 一個簡單的問題情境就在一定程度上激發了學生的閱讀興趣。
二、在初讀感知中指導學生閱讀
通過多年的教學實踐發現, 給予學生充分的初讀時間, 不僅能提高學生的閱讀理解能力, 還能提高教學效率。初讀就是學生提前對將要學習的實際應用題進行閱讀, 既給學生提出明確的學習目標, 要求他們先通讀全文, 了解本題的背景內容和各種數量關系, 掌握題中的識記內容, 找出自己不懂的地方, 在閱讀的過確表達和實質性理解, 并注意定理、公理、引理、公式的正用和逆用、變用、活用, 以及它們的使用范圍, 并做到五個過關:
⑴準確地理解課本的任何一個概念。
⑵做到能證明課本的所有重要的定律、定理和公式等。
⑶能夠自己寫出課本的定律和定理的已知和求證, 并能證明它們, 寫出證明的過程。
⑷能夠自己親自做出課本的每一道例題和每一道習題。
⑸總結課本上的所有習題和例題, 按規律、按解法進行歸類記憶和描述。
能夠在做完課本的習題和例題的基礎上, 自己能夠編一些類似的題目, 對課本的題目進行改變條件, 從正反等幾方面進行一個題目的處理, 這樣就不會陷入題海茫茫的感覺之中, 做到舉一反三、觸類旁通、事半功倍的效果。
3、培養學生系統整理各章節知識的能力。
把知識納入到已有的知識范圍內, 系統化、條理化, 才能促進新舊知識的鞏固、儲存和應用, 特別是知識的橫向、縱向聯系, 進一步鞏固所學知識。
4、重視單元知識檢測, 檢測題目要求簡單化, 然后從結果
中讓學生尋找自身價值, 充滿自信, 努力進取, 會收到事半功倍的效果。
三、加強知識在實際中的應用
數學來源于實踐, 然后應用于實際。為了在有限的時間里提高復習效率, 保證好學習質量, 同學們要注意學習優秀學生的學習方法, 取長補短, 并付諸實踐。另外還要掌握一些特別的運算技巧?；厥鉃橐话愕哪芰? 化實際問題為數學模型的能力 (高考熱點) , 如函數中利用最大值解決房租、修花壇等問題, 解三角形中求兩地實際距離, 諸如此類問題就是要讓學生能建構數學模型, 讓數學應用于實際。這樣不但學習了知識而且增強了學生學習數學的興趣, 有利于提高數學成績。
淺談應用題中閱讀能力
的五種培養方式
◇何興明
程中并要求學生作適當的筆記, 劃出關鍵句和關鍵詞。比如, 在前面提到的那道中考題中, 要求學生找到的關鍵句有:A, B, C三地現在分別有賑災物資100噸、100噸、80噸需要全部運往四川重災地區的D、E兩縣等。關鍵詞:小于, 不超過等。這樣的指導既有助于培養學生的閱讀能力, 提高學生獨立解決實際問題的能力, 又便于教師根據學生的初讀情況, 有目的、有重點地精講有關內容, 達到提高教學效率的目的。
三、在討論交流中鍛造閱讀能力
新課改的教學目標提出, 教學不僅要學習知識, 還要培養學生自主探究、主動獲取知識的能力。合作討論交流有利于培養學生協作的精神、交往能力、有利于創新意識的培養。如上例中, 通過對關鍵句 (A, B, C三地現在分別有賑災物資100噸, 100噸, 80噸需要全部運往四川重災地區的D、E兩縣) 討論交流, 讓學生明白題中的等量關系:運往D縣的救災物資加運往E縣的救災物資等于180噸。引導學生共同閱讀、交流閱讀心得、讓學生盡情地自我表現、發揮潛能、鍛造閱讀能力, 并在有限的時間內增強思維的檢索頻率, 使思維變得異?；钴S。
四、在作圖識圖中提高閱讀能力
函數教學論文范文第3篇
(1)課時緊張。這門課程安排了32個課時,講授時間緊張。很多老師僅講授復變函數的概念,解析函數,積分和級數,很少涉及共性映射。教學過程中只介紹基本內容與基本方法,省略了較難的證明,簡化了較為復雜的運算,突出重應用而輕理論。這樣造成了學生在學習過程中知道了解一些知識,只會做一些基礎題目。很多學生感慨好像沒有學到多少實用知識。
(2)重視不夠。這門課程每周一次,作為小課頭,很多學生不重視。課前不預習,課后不復習,僅僅依賴課堂聽講,抄襲作業現象時有發生。由于每次課間隔一周時間,學生經常是學了新知識忘了舊的知識。圖書館中關于這門課程的參考資料太少,很多學生不得不只啃課本。學院將本門課程的考試分為系考和院考,分類不明確,并且也沒有相應的教學大綱。試題分類不明確,難度過于簡單。一些同學平時不學,考試前突擊復習也能考過,談其經驗,多做幾套往年試卷就可通過。
(3)學生基礎不同。由于學校是面向全國招生,學生來自不同的省份。有些省份中學根本就不講復數,而有些省份中學講述較多。學院各專業學生差異較大,一些專業的學生基礎差,平時又不努力,考試時很多學生不能通過。每次補考或者清考,很多學生都要參加。
針對以上的問題,我們在教學過程中采用各種方法和手段加以解決。
(1)建立新型師生關系。我們要打破傳統的教育觀念,要求師生之間民主,平等。教師公平地對待每一位學生,尊重每一位學生,贊賞每一位學生,善于發現學生身上的閃亮點,能夠讓學生感受到老師在關注他愛護他,時常感受到老師的愛。這樣學生才會更加積極主動地學習,才會更加重視老師的每一次課程,才會對每一次課有更多地期盼和留戀,并且會以較高的熱情參與學習活動。這樣師生之間的情感不斷加深,關系和諧融洽發展。及時適當調整教學內容。根據了解學生所具有的知識結構,結合學生各自專業實際情況,有針對性的講授。教學過程中適當突出解析函數,柯西積分理論,留數理論以及共形映射等知識,加強本門課程與《高等數學》等課程的對比,揭示它們之間的共同點和不同點,學會融會貫通。在課程講授過程中形成以教師為主導學生為主體合作交流促進式學習,進一步培養學生的自主學習的能力。要改變傳統上教師在講臺上占據絕對的主導地位,學生在下面被動地聽。課堂中減少教師占據時間,多給學生時間思考,讓不同的學生都有機會表現,使學生主動探索。由于課內課時緊張,需要教師在課外精心備課。教師應該把知識理解透徹,備課時背得講解內容,心中始終以學生為重,善于分析學情,思考如何營造課堂氛圍使學生成為課堂的主人,讓他們主動思考,交流,探討。有計劃合適的提問觸發學生的思維,激發學生的覺悟,還可以加強課堂上師生的互動。通過師生間的一問一答,充分體現出合作探討式學習。在這一過程中教師不僅點播指導學生的預習方法,聽課方法以及課后的復習方法,而且還可以對自己的教學活動過程和課堂教學實踐進行全面深入冷靜的思考和總結,對自己在教學活動過程中所做出的行為決策以及由此產生的結果進行審視和分析,及時反思,總結得失,不斷優化課堂教學。我們還建議學生在課下上機實習,提高學生解決問題的能力。
(2)更新教學手段和方式。由于學習這門課程的學生都是工科學生,我們在教學時弱化了證明。課程課時少,又要保證教學質量,我們引入新的教學手段。比如將數學建模思想融入教學中,以一些實例入手,激發學生學習這門課程的興趣和熱情,對數學的學習產生濃厚的興趣。多媒體教學的引入可以極大地提高授課進程,對一些定義,性質和公式的介紹,極大的增加了學生的學習積極性。教學環節應增加計算機上機實習,大部分數學題目可以用計算機解決。另外在教學過程中適當的時候可以角色互換,學生講解,老師評議。在課時充足時還可以現場測試等教學手段更新。
(3)考核方式多樣化。合理安排課時,可以采用前9周或后9周結課,考核方式由主講教師決定?？荚嚳梢蚤_卷或者閉卷?？荚嚂r可以分為獨立考試與分組討論的形式,或者提交專題討論或論文,必要時還可以要求每位學生寫學習心得。適當增加平時成績在考核中的比例。每學期應該進行期中考試。需要重視第二課堂和實踐教學,加強對學生實踐能力和創新精神的培養。
在教學過程中我們鼓勵學生多提問題,多做練習,多與教師溝通交流,及時了解學生的學習狀況,嚴格要求學生,并督促學生認真主動學習,這樣便可以提高通過率,提升教學效果。
參考文獻
[1]楊綸標,郝志峰.復變函數[M].北京:科學出版社,2003.
函數教學論文范文第4篇
【摘要】本文為研究函數在一點連續的概念教學，在APOS理論的視角下，經過一系列內化、壓縮、解壓縮的心理機制，建立 “函數在某一點的連續性”的三個等價定義的圖式，形成概念域.
【關鍵詞】APOS理論;連續性
一、引 言
函數的連續性是函數的一個最基本的概念，是運用極限方法對連續性現象進行研究，而函數在一點的連續性的三種定義的關系是認知連續性概念的思維障礙點.杜賓斯基提出APOS理論，主要應用于概念教學，注重概念的形成與學生思維建構的過程.因此，本文以APOS理論為基礎，教師要能夠有針對性地為“函數在一點的連續性”的教學方案提供依據，幫助學生克服對連續性概念的認知障礙.
二、相關概念
（一）函數在一點連續的定義
在連續函數的概念中，對于函數在一點的連續性，有下面三種常見的定義方式：
定義1 設函數f（x）在某U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0連續.
定義2 設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點x0連續.
定義3 設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點x0連續.
（二）APOS理論
杜賓斯基以皮亞杰提出的建構主義為基礎，提出了數學概念學習的APOS理論模型.該理論模型認為學生學習數學概念是要進行心理建構的，此建構過程要經歷以下四個階段：活動、過程、對象、圖式.其中，“活動”是個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指定去變換一個客觀的數學對象.當“活動”經過多次重復而被個體熟悉后，就可被內化為一種稱之為“程序”的心理操作.當個體能把“程序”作為整體進行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象”.一個數學概念的“圖式”是指相應的“活動”“程序”“對象”以及與某些一般原理相聯系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認知框架，可以用于解決與這個概念相關的問題.“活動”“過程”“對象”也可看作數學知識的三種狀態，“圖式”是由這三種知識結構構成的一種認知結構.
三、APOS理論視角下函數在一點連續的概念的教學研究
（一）運用APOS理論的可行性分析
學生對于“連續性”的初始概念圖像，是坐標平面上一條連綿不斷的曲線，而不是在一點上具有連續性，故而函數在一點的連續性與學生所認知的連續性的概念形象就產生了認知沖突，可能導致學習障礙.內化與壓縮作為APOS理論的重要心理機制，可以對函數在一點連續性的學習障礙提供解釋與解答.教師可利用APOS理論，在過程階段與對象階段，結合函數極限構造函數在一點連續的概念圖像，將極限概念過渡到連續性概念，幫助學生克服函數在一點連續性的學習困難，從而形成對函數在一點連續的真正理解.
對于函數在一點連續的三個等價定義，在教材安排上，不同版本的教材采用的編排順序不同，但都是在學習函數極限之后，采用上述定義中的某個定義引入連續性概念，進而將另外兩個定義作為等價定義給出.因此，在認知層面上，對上述三種定義的教學，要把握極限理論中極限概念和連續性概念的聯系.選取不同的定義引入連續性概念，會影響初學者對該概念的理解以及所出現的學習障礙.
（二）APOS視角下函數在一點連續的概念的教學研究
從幾何直觀上看，連續函數是坐標平面上一條連綿不斷的曲線，故學生對連續性并非完全陌生的，將學生所認知的自然界的連續變化反映在數學上，就是量的變化，而反映這種連續變化現象的數量關系就是函數的連續性.連續函數的概念是“隱性”的，需要通過外顯的活動，將連續性呈現出來，由此獲得連續函數概念的“表象”.
（三）關于三個定義的教學研究
1.定義1的教學研究
問題1：分別畫出①f（x）=x，②f（x）=1x，③f（x）=x+2（x≥0），x-2（x<0）的圖像，并思考下述問題：（1）圖像是否連續？若是不連續，又在哪里間斷？圖像斷開的原因是什么？（2）當x→0時，函數極限值分別是多少？
通過解答（1），學生單個地分析函數是否連續以及圖像斷開的原因，將這個過程經過多次重復后，學生能通過對比①②③發現x=0是②③是否連續的關鍵點.解答（2）時，當圖像出現間斷，學生不得不運用函數左、右極限進行計算.學生通過計算，便會猜想當x趨于0時的函數極限、函數在x=0處的函數值與函數的圖像連續存在聯系.這種思考過程即心理機制上的內化，進而達到“程序”階段.
問題2：接下來脫離具體情境，將x=0拓展到x=x0的情況，將情境中的函數圖像歸納為下述情況，如圖1，圖2，圖3所示，繼續思考上述問題.
教師引導學生思考：若是函數在點x0處出現間斷，依照問題1的思考過程，借助圖像，運用左、右極限的知識加以理解.對于圖1，函數在點x0處出現間斷，對于函數曲線上斷開的點f（x0）可歸為左側圖像，那么，函數在點x0處的左極限恰好等于這一點的函數值f（x0），即limx→x-0f（x）=f（x0）.對于圖2，函數曲線上斷開的點f（x0）可歸為右側圖像，那么，函數在點x0處的右極限恰好等于這一點的函數值f（x0），即limx→x+0f（x）=f（x0）.對于圖3，函數在點x0處沒出現間斷，那么這點不僅可以歸為左側圖像，也可以歸為右側圖像，由左右極限的定義，可得limx→x0f（x）=f（x0）.
教師要讓學生意識到：曲線在某一點連續與不連續的差別，在于曲線在該點處的函數值是否產生了“突變”，并且發現函數在點x0連續應滿足三個條件：函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義;極限limx→x0f（x）存在;極限limx→x0f（x）的值等于點x0處的函數值f（x0）.此時，上述“程序”就已經被“壓縮”為一種“對象”.
最后，教師引出函數在點x0處連續的定義為：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0連續.
完成這個過程，APOS理論視域下，函數在一點連續的定義與函數極限的聯系，是之前所習得的函數極限圖式的進一步發展，形成函數連續性概念的新圖式.
2.定義3的教學研究
問題3：由于函數在一點的連續性是通過極限定義的，所以可類比函數極限的定義，試著用ε-δ語言敘述定義1.
學生思考：類比函數極限的定義，可由定義1得到其ε-δ語言，如表1所示：
教師細致分析，讓學生領會：討論極限時，假定f（x）在點x0某空心鄰域U。（x0）上有定義（f（x）在點x0可以沒有定義），而“函數f（x）在點x0連續”，則要求f（x）在某鄰域U（x0）上有定義.此時，對于|f（x）-f（x0）|<ε，當x=x0時總是成立的，所以在極限定義中的“0<|x-x0|<δ”換成了在連續定義中的“|x-x0|<δ”.
最后教師總結定義：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點x0連續.
這樣，圍繞limx→x0f（x）=f（x0）這個“對象”，定義1與定義3建立等價關系.
3.定義2的教學研究
對于定義2，教師可通過幾何知識更為直觀地進行教學.為理解“函數y=f（x）在點x0連續”的概念，教師引入增量的概念，記Δx=x-x0，稱為自變量x（在點x0）的增量或改變量.設y0=f（x0），相應的函數y（在點x0）的增量記為Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=y-y0.其中，自變量的增量Δx或函數的增量Δy為實數.
問題4：引進了增量的概念之后，固定點x0，反復變化下圖中Δx的大小，觀察其對應的Δy如何變化.
教師引導學生理解自變量的增量Δx或函數的增量Δy可以為正數、0或者負數.當Δx>0時，自變量x增大，函數的增量Δy>0，反之，當Δx<0時，自變量x減小，函數的增量Δy<0.
在“活動”階段，學生依次對h（x）和f（x）的圖像實施Δx的變化，以觀察其對應的Δy的變化.重復多次“活動”后，慢慢就內化為“程序”，學生能對比發現圖4的函數y=h（x）的圖像在點x0處間斷，保持x0不變，當Δx趨近于0時，點N沿曲線趨近于點N′，此時Δy為定值，在點x0處不連續.圖5的函數y=f（x）的圖像是一條連續變化的曲線，令f（x0）=M，f（x0+Δx）=N，保持x0不變，當Δx趨近于0時，點N沿曲線趨近于點M，Δy趨近于0.學生對整個區間上函數值的增量隨自變量的增量變化趨勢有整體認識，上述“程序”就被“壓縮”成一種“對象”.
最后，教師總結得到定義2：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點x0連續.
此時，學生對“函數在一點連續”的三個定義有了完整的形式化表述，但對三個定義的等價關系的認識還處于分離的狀態，所以，認識需要上升到“圖式”階段.教師要引導學生對定義2進行“解壓縮”，在定義2中，令Δx=x-x0，則Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），當Δx→0時，有x→x0，Δy→0，則[f（x0+Δx）-f（x0）]→0，即f（x）→f（x0），可得limx→x0f（x）=f（x0）.該過程圍繞“limx→x0f（x）=f（x0）”，定義1與定義2建立等價關系.
四、總 結
對于“函數在某一點的連續性”的三個等價定義的教學，教師應引導學生主動建構，把握學生對概念的思維障礙點，避免讓學生死記數學概念，而無法理解“函數在某一點的連續性”的三個等價定義之間的關系.
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函數教學論文范文第5篇
函數定義的演變
表達式說函數一詞是由萊布尼茲于1673年最早引入的用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量。其后, 伯努利把函數看作一個變量和一些常數組成的表達式。歐拉在伯努利之后把函數看作是含變量和常數的任何方程和公式。這是函數的早期定義。
變量說函數記號f (x) 是克雷羅和歐拉在1734年前后引進的。狄利克雷在1837年給函數下了定義:“如果兩個變量x, y有這樣的關系:每當給x指定一個值, 根據某種規則, 就自動地給y指定一個值, 則我們說y是x的函數, x可取的允許值構成函數的定義域, 所取的值構成函數的值域。”直到那時, 人們才注意到函數的本質是對應關系?，F初中教材采用了此定義。
對應關系到20世紀初, 取消了函數概念中變量只能為數的限制, 突出了函數的本質特征 (對應關系) , 用集合論的語言定義為:設A、B為兩個集合, 如果按照某個確定的對應關系, 對于集合A中每一個元素x總有集合B中唯一的、確定的元素y與之對應, 那么這個對應關系就叫做一個映射, 當A、B都是數集時, 稱為“函數”?，F在的中職教材就采用這種定義方法。
函數的“表達式說”從形式上把函數定義為“方程”或“公式”, 這就限制了函數概念的外延, 即函數還應該包含那些同“方程”或“公式”有等價關系的圖像。此外, “變量說”側重于變量間的“依賴關系”, 卻把兩個變量的數值之間的對應關系排除在外。例如, y=k (常量) 表達式中, 在平面直角坐標系上我們清楚地看到這種對應關系的存在, 而變量x是隱匿在y=k+0x里面的, 兩變量間的“依賴關系”并不存在。而函數的“對應關系”則概括了函數的本質, 從對應的角度給定兩數集間元素的關系, 可見這種“對應關系”是可以確定并依賴的表達形式。
函數定義的理解
映射的理解中職教材與普通高中教材不同, 它在內容設置上是先安排映射學習, 后學習函數, 所以對映射概念的理解就至關重要。學完映射后學生應該知道映射三要素:對應法則、定義域、陪域。同時, 要注意映射f:A→B中集合A的每一個元素一個不漏地都可以找到唯一的一個像, 這唯一的像在集合B中。學生通常對于圖1所示的兩種模型不能很快判斷是否為映射。
因此, 在教學中教師有必要設計單射型、滿射型、雙射型、不滿射不單射型等幾種映射模型, 以加深學生對映射概念的理解。概括出這幾種模型的共同特征為:兩集合A、B中元素“一對一”或“多對一”的關系。這樣不僅解決了“唯一性”的問題, 也在本質上掌握了映射的概念。
函數的理解從教育心理學的角度而言, 學習了映射后, 再學習函數便屬于下位學習。因此, 弄清楚新概念與已學概念間的聯系與區別至關重要。這就要求教師在教學中對兩定義的差異進行比較、分析。首先, 函數與映射都有:定義域、陪域和對應法則。其次, 函數是借助映射來定義的。再次, 非空數集到數集的映射一定是函數, 也就是說是函數一定是映射, 而映射不一定是函數, 只有是兩個非空數集的映射才是函數。
函數的相等函數相等的條件是:對應法則相同、定義域相同、陪域相同。例如, 對于函數f;R→R x→x2;g:R→R+x→x2來說, 函數f, g的陪域不同, 因而兩函數不相等。然而, 在實際應用中僅涉及函數的表達式, 函數的定義域沒有直接給出, 函數的陪域一般給定為實數集R。在這種情況下, 教師要根據函數的形式表達式找到函數的定義域, 求出函數的值域。此時, 函數相等的判定就應該變為:對應法則、定義域、值域。例如, 函數y=與函數y=就要依據實際情況來判斷函數是否相同了。x
數形結合的思想方法
數形結合的思想方法集合了代數方法和幾何方法的優點, 在這方面已有很多學者加以研究。如, 函數圖像與函數形式表達式的完美統一就是數形結合的典型例子。函數的抽象性決定了函數教學中的很多難點, 例如函數符號f (x) 的理解是通過函數圖像實現的。教材中給函數圖像下的定義是:“設f (x) 是定義域為A的一個函數, 取任意的在平面直角坐標系o×y里, 描出坐標為 (a, f (a) ) 的點M, 當a取遍A的所有元素時, 坐標 (a, f (a) ) 的點組成的集合, 稱為函數f (x) 的圖像”。我們從這個定義就可以得出:點M (a, b) 在f (x) 的圖像上, 且b=f (a) ?？梢? 圖像與函數解析式的結合, 是理解函數符號f (x) 的重要的一步。在后面的學習中, 可繼續利用函數圖像來研究函數的單調性、奇偶性、對稱性等特征?？傊? 數形結合的思想方法是函數學習中重要的方法之一。
元認知與函數學習
所謂元認知是指學習者對自己學習系統的了解, 以及為怎樣處理進入學習系統的信息所做的決策。它是個體在學習、記憶和思維過程中進行自我指導所必需的一種能力。它包括個體關于自己思維過程的知識和意識, 以及對學習過程中遇到的困難的意識, 以便于采取補救的措施。學生對函數普遍感覺比較抽象, 因此, 在函數教學的過程中, 教師要注意提高學生的元認知水平。下面就對幾種培養學生元認知能力的方法給予舉例說明。
有意識地復習學生在學習函數的奇偶性之前, 先復習什么是對稱, 中心對稱、軸對稱的特征是什么, 舉例說說哪些圖形是中心對稱的, 哪些是軸對稱的。尋找學生已有的知識結構中熟悉的知識, 為后面的新知識學習做準備。這樣, 通過回想已有的知識, 學生就比較容易接受“偶函數關于Y軸對稱”, “奇函數關于原點對稱”。
簡短的討論在教學中, 簡短的討論能引起學生對問題的主動思考, 調動他們的學習積極性, 并有助于形成優良的知識結構。如在學習了一元二次函數的性質和圖像后, 有意設置“求函數y=2x2-6x+5的最小值”的幾種方法, 說說每種方法的優缺點對此題而言, 選哪種方法更合適。通過討論, 以便在學生心中形成方法的最優化思想。
開放的問題開放題是指探究目標的正確答案個數不確定的問題。開放題的設計使得課堂中數學知識能與其他知識有機融合, 全面培養學生的思維能力。例如, 學生在學習了反函數后, 教師要求他們寫一篇關于“論反函數”的小文章, 以了解學生對反函數的認識。同時, 學生可以通過自己的理解來解釋這個概念, 從而形成對概念深刻的認識。
不斷地反思反思總是同思考聯系在一起, 反思引起質疑反思能夠發現錯誤, 反思促進提高, 反思是思維更加完善的有益鍛煉。在進行有關函數內容的教學時, 要培養學生善于發問的習慣:函數是一種對應, 是否理解了這種對應?一元二次函數與方程有什么關系?通過這種思考, 可加深學生對與函數的對應思想的認識。通過對方程的常量思考, 對函數變量思索, 可引導學生向更高的水平邁進。
及時總結在日常的教學中, 要逐步使學生養成整理已學知識的習慣。這種習慣既是完善知識結構的有效方法, 也便于學生掌握和遷移所學知識。因此, 在學習函數知識時, 函數的奇偶性、反函數的學習都可以使用數形結合的方法。例如, 通過圖像及時將學過的關于對稱的內容進行整理。有關于點的對稱、關于X、Y軸的對稱, 都要求學生在學習的同時不斷整理, 通過這種整理, 學生所學習的知識會更有條理性, 便于形成良好的知識結構。
總之, 提高學生元認知水平的途徑很多, 可選擇的教學內容也不僅僅局限于函數, 以上幾種提高學生元認知水平的途徑只是筆者在函數教學中的點滴總結, 希望同廣大同行進行交流探討。
參考文獻
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