在中學初等函數概念的課堂教學過程中, 教師要善于引導學生去觀察、實驗、猜想、論證, 幫助學生真正理解概念、原理等, 并與日常生活緊密地聯系起來, 使學生學到的知識能夠運用, 從而提高學生的應用能力。我們編寫的教材和教學中都要用準確的數學語言幫助學生建立概念[1], 運用概念的過程中逐步理解這些概念, 讓學生可以從多角度、深入地理解初等函數概念, 建立數學知識的聯系, 從而使他們在面對實際問題時, 能更容易地激活數學知識, 靈活地運用初等函數知識解決問題。
1 從函數的“變量說”過渡到“對應說”
函數概念的教學要從實際背景和定義兩方面幫助學生理解函數的本質。初中階段從學生容易掌握的描述性函數定義入手, 即采用函數的變量說, 便于和實際相聯系。
構建函數的一般概念之后, 然后通過正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等具體函數的研究, 結合圖像分析, 繼續加深學生對函數概念的理解。在這里, 要注意函數體現變量之間的各種各樣的關系, 不要錯誤的以為函數就是y=kx+b一種類型。
進入高中階段, 要求用兩個數集之間對應的方式來闡述函數的意義。此時學生需要抽象的思考, 跳出函數的具體表達式的限制, 把“對應法則”作為函數概念的核心。這就是要求從變量說過渡到對應說。
對應說的函數概念, 可以形象化地的解釋為一架加工機。它把自變量加工成因變量。例如, 正方形的面積y是邊長x的函數, 記為y=x2, 對于每一個自變量x的值, 就有一個面積y=x2與之對應。這好像在加工機f中, 每輸入一個x, 就輸出一個x (y的值是x2) , 于是, 這個函數f就相當于“平方機”的作用。
在引入函數概念之前, 需要完成從常量到變量的轉變。字母除了表示定數外, 還可以表示變化的量。在學習函數之前, 初中學生可能寫出S=100t, 但是他們仍然不能從這一式子中看到變化過程。對于表達式x+y=5, 在學生已有的認知圖式中就是兩個定數相加為5, 并不能想到兩個量之間有“此消彼長”的內在聯系, 事實上, 此前學生的經驗只涉及常量的運算, 字母或符號在他們的認知結構中只是代表一個特定的具體數量, 這就是說, 把一個算式和運動聯系起來并不容易。
在實際教學中, 我們可以把定數表示為數軸上的一個定點, 而把變量看成式一個動點。特別地, t從0變到10就是動點沿數軸從0運動到10;再取自變量t的一系列特定值, 列出相應的另一個變量S (t) 的對應值, 并在坐標系上描出這些點, 這樣學生就容易感受到變量的真實意義。
2 理清初等函數概念教學中幾個典型的問題
問題1函數y=f (x+1) 中的自變量x是還是x+1?
答:函數y=f (x+1) 中的自變量x是, 如, 則, 顯然函數f (x+1) 中的自變量x是, 而不是 (x+1) , 一般的, 復合函數y=f (g (x) ) 的自變量都是x, 而不是g (x) 。
問題2已知f (x) 的定義域為[0, 1], 為什么f (x2) 的定義域由不等式確定?
答:為方便于理解, 我們構造一個具體的函數, , , f (x2) 的定義域為。一般的, 設函數f (x) 的定義域為D, 則函數y=f (g (x) ) 的定義域為。
問題3已知f (x+1) =x2+x, 求f (x) 時, 作變量代換t=x+1, 得f (t) =t2-t, 故f (x) =t2-t.這里為什么能將t換成x?
答:我們知道, 當且僅當兩個函數的三要素相同時, 兩個函數是同一函數。函數f (t) =t2-t與f (x) =x2-x的三要素都相同, 它們是同一個函數, 所以能將f (t) =t2-t中的t換成x, 本題實際上是求函數的對應法則, 它與表示自變量的字母無關。
問題4若函數y=f (x) 存在反函數, 函數y=f-1 (x+1) 的反函數是嗎?答:函數y=f (x+1) 的反函數一般不是y=f-1 (x+1) , 按求反函數的步驟可得, y=f (x+1) 的反函數為y=f-1 (x+1) -1。
3 結語
(1) 初等函數就是由基本初等函數經過有限次的四則運算與有限次的復合步驟所構成、并且可以用一個式子表示的函數[2], 教師在進行初等函數教學時, 最重要的是引導學生對初等函數基本的概念進行抽象或概括。
(2) 教師應適當選擇和設計具有挑戰性和開放性的問題, 以提高學生的探索層次, 擴展學生的思維空間。
摘要：中學初等函數教學是中學數學中的一個重點和難點, 本文運用了文獻資料法和筆者的多年經驗對中學初等函數概念的教學做出了實質性的建議, 希望能促進函數教學的發展和學生學習的進步。
關鍵詞：中學,初等函數概念,教學建議
參考文獻
[1] 匡繼昌.什么是初等函數[J].數學通報, 2007 (7) .
[2] 魏瑩.初等函數教學中的幾個問題[J].武漢職業技術學院學報, 2002 (4) .