函數思想范文第1篇
(2011年湖南) 設直線x=t與函數f (x) =x2, g (x) =lnx的圖像分別交于點M, N, 則當|MN|達到最小時t的值為 () .
解析D
可知|MN|=f (x) -g (x) =x2-lnx.令F (x) =x2-lnx, 利用導數考查F (x) 的最小值, 從而得到t的值.
F' (x) <0, F (x) 單調遞減;
題型二:異類分離函數
A.沒有零點B.有且僅有一個零點
C.有且僅有兩個零點D.有無窮多個零點
解析B
題型三:作差函數
已知x>0, 證明:x>ln (x+1) 恒成立.
解析設f (x) =x-ln (x+1) ,
∴x>0時f' (x) >0, f (x) 是增函數.
于是x>0時, x>ln (x+1) 恒成立.
題型四:截取局部討論函數
(1) 求a, b的值.
解析 (1) a=1, b=1,
當0
當x>1時, h (x) <0,
在一些問題中, 通過建立函數關系或構造函數, 從而將問題轉化為討論函數的相關性質的問題, 特別是轉化為求最值的問題, 重要的是要具有函數的觀點, 用函數的觀點去分析問題、解決問題.
摘要：函數思想是用運動和變化的觀點, 分析和研究數學中的數量關系, 建立函數關系或構造函數, 運用函數的圖像和性質去分析問題.函數思想也反映了函數、方程、不等式之間的密切聯系, 它們之間常常相互轉化, 因此函數思想是高考考查的重要思想之一.
函數思想范文第2篇
等差數列是一種特殊的函數, 其屬性也必然蘊含著函數思想, 在該節中也必有可用函數思想解決的例題、練習、習題.現就蘇教版《高中數學必修5》中此處的內容將其拙列如下:
1.等差數列的通項公式是關于n的一次函數an=kn+b (k, b∈R)
課本37頁的思考:“如果一個數列an=kn+b (k, b∈R) , 那么這個數列一定是等差數列嗎?”可利用等差數列的定義證明之, 并可得出k+b為首項, k為公差.進而得出結論:“an是關于n的一次函數”是“數列{an}是等差數列”的充要條件.
有了一次函數an=kn+b (k, b∈R) 后在38頁的習題2.2 (1) 中, 第3 (2) 題“已知a4=4, a8=-4, 求a12”可得出多種做法.
解法1 轉化為基本量a1, d, 把a4=4, a8=-4帶入an=a1 (n-1) d, 求a1, d.
解法2a8-a4=4d, 得出d.又a12=a8+4d, 即可求得.
解法3 令an=kn+b (k, b∈R) , a4=4k+b=4, a8=8k+b=-4, 解出k, b.又有a12=12k+b, 可得a13.
解法3就運用了an是關于n的一次函數, 方法雖沒有體現出什么特別的優勢但可讓學生再次體會函數思想, 在頭腦中不斷加深印象.
2.等差數列{an}的前n項和Sn是關于n的二次函數
推導出公式undefined后, 不難發現數列中a1, d已是定值, 在式undefined中只有n是變量, 所以可把Sn看作關于n的函數.undefined可變形為undefined, 這是關于n的二次函數且常數項是0.圖像為過原點的拋物線上的點.如41頁練習4, “在等差數列{an}中, 已知S8=100, S16=392, 求S24.”除基本方法外也可不必求a1, d, 所以可設Sn=An2+Bn, 將S8=100, S16=392代入其中求出A, B便可得.同樣這種方法并不比基本方法簡單多少, 但又一次強化函數思想, 學生定會留下深刻的印象:“Sn是關于n的二次函數.”
在以上基礎上還可繼續挖掘等差數列中有關題型的函數解法:
例1 已知等差數列{an}中, a1=-9, S3=S7, 問:前幾項和最小?
分析 此題可由a1<0, S3=S7易知d>0, Sn關于n的函數是二次函數, 圖像是開口向上的拋物線上的點, 點 (3, S3) , (7, S7) 關于對稱軸n=5對稱, 于是S5最小.這種方法不需要具體計算出d的值, 只需要判斷出d>0, 也就是拋物線開口向上, 再找出拋物線的對稱軸就可得解.由上題變式:
①已知等差數列{an}中, a1=-9, S3=S8, 問:前幾項和最小?
②已知等差數列{an}中, S3=S8, 求S11.
③已知等差數列{an}中, Sp=Sq, 求Sp+q.
解 ①由a1=-9, S3=S8得拋物線開口向上, 對稱軸是n=5.5, 又函數定義域為N*, 所以S5=S6最大.
②由S3=S8可判斷拋物線的對稱軸為n=5.5, 所以S0=S11, 又拋物線過原點所以S11=0.
故③同②, 對稱軸為undefined, 而拋物線又過原點, 所以Sp+q=0.
例2 設等差數列{an}的前項n和為Sn, 已知.判斷a3=12, S12>0, S13<0, 判斷S1, S2, …S12中哪一個值最大并說明理由.
分析Sn是關于n的二次函數且對應的拋物線過原點, S12>0, S13<0, 可知圖像上的點 (12, S12) 在軸n的上方, 點 (13, S13) 在n軸的下方, 則拋物線在區間 (12, 13) 內與n軸有一個交點, 其橫坐標n∈ (12, 13) , 又對稱軸undefined, 所以n0∈ (6, 6.5) , 有a3=12, S12>0, S13<0也易判斷出拋物線開口向下, 那么跟對稱軸距離越近的函數值就越大, 所以S6最大.
該題用其他方法計算量大比較麻煩.像分析中利用函數思想, 數形結合就可避免繁雜的計算, 解決起來也就非常方便了.這就體現了用函數思想解題的優勢.
函數思想不僅僅在等差數列中作用很大, 它貫穿于整個高中階段.“理解函數的一個重要方法就是在頭腦中留住一批具體的函數模型”.這樣才能實現對函數本質的理解, 才能靈活運用函數思想解決問題.在日常教學中要充分利用教材, 挖掘教材中蘊含的數學思想, 循序漸進地把這些思想滲透到學生的認知結構中.讓學生感受數學思想方法之美、體會數學思想方法之重要, 在潛移默化中能自覺得運用這些數學思想方法去分析、思考問題, 從而培養學生的數學素養, 提高學生的綜合能力.
摘要：函數思想在高中階段是重要的數學思想, 它貫穿于整個高中數學課程.有些問題用函數思想解決要比用普通方法簡單而且便于理解.在日常教學過程中應不斷挖掘教材中蘊含的函數思想, 來幫助學生更深刻地理解函數概念, 體會函數思想.以便在解題中靈活運用函數思想, 提高解題速度節約解題時間.
函數思想范文第3篇
一、函數思想
例1小李從西安通過某快遞公司給在南昌的外婆寄一盒櫻桃, 他了解到這個公司除收取每次6 元包裝費外, 櫻桃不超過1 kg收費22 元, 超過1 kg, 則超出部分每千克加收10 元費用, 設該公司從西安到南昌寄櫻桃的費用為y (元) , 所寄櫻桃為x (kg) .
(1) 求y與x之間的函數關系式;
(2) 已知小李給外婆寄了2.5 kg櫻桃, 請你求出這次寄快遞的費用是多少元.
【解析】本題考查了一次函數的應用, 解題的關鍵是建函數模型, 很多同學解答第一問時, 常常忽視0<x≤1 的情況, 導致出錯.
解: (1) 根據快遞的費用=包裝費+運費, 分兩種情況:0<x≤1 和x>1, 直接列出y與x的函數關系式.
當0<x≤1 時, y=22+6=28;
當x>1時, y=28+10 (x-1) =10x+18.
∴y與x的函數關系式為
(2) 根據 (1) 求出的解析式, x=2.5>1, 因此代入相應的函數關系式就可以得出答案.
當x=2.5 時, y=10×2.5+18=43,
∴ 小李這次寄快遞的費用是43 元.
二、方程思想
例2 甲、乙兩輛汽車分別從A, B兩地同時出發, 沿同一條公路相向而行, 乙車出發2 h后休息, 與甲車相遇后, 繼續行駛.設甲, 乙兩車與B地的路程分別為y甲 (km) , y乙 (km) , 甲車行駛的時間為x (h) , y甲, y乙與x之間的函數圖像如圖2 所示, 結合圖像解答下列問題:
(1) 乙車休息了多少小時;
(2) 求乙車與甲車相遇后y乙與x的函數解析式, 并寫出自變量x的取值范圍;
(3) 當兩車相距40 km時, 直接寫出x的值.
【解析】本題考查了一次函數的應用, 解題的關鍵是準確讀取圖像信息, 第 (3) 問是一次函數中典型的方程思想解決問題的案例, 對于行程類的圖像信息題, 要注意利用相遇、追及等類型構造方程求解.
解: (1) 設乙車休息了t小時, 根據題意得200+ (400/5) · (t+2) =400, 解得t=0.5, 即乙車休息了0.5 h.
(2) 設y乙與x的函數解析式為y乙=kx+b, 把 (2.5, 200) 、 (5, 400) 代入, 得解得
∴y乙=80x (2.5≤x≤5) .
(3) 相遇前:100x+80x+40=400, 解得x=2;
相遇后:80x+200+80 (x-2.5) =440, 解得x= (11/4) .
綜上可知, x=2 或x= (11/4) .
三、分類討論思想
例3當kb<0 時, 一次函數y=kx+b的圖像一定經過 () .
A.第一、三象限B.第一、四象限
C.第二、三象限D.第二、四象限
【解析】本題考查了一次函數的圖像與性質, 解題的關鍵是利用一次函數的圖像與性質進行分類討論, 全面獲解.
(1) 確定k、b的符號;
(2) 根據k、b的符號確定一次函數y=kx+b的圖像所經過的象限.
解:已知kb<0, 則k與b異號, 故存在兩種情形:k>0 且b<0 或k<0 且b>0.當k>0, 且b<0 時, 一次函數y=kx+b的圖像必過第一、三、四象限;當k<0, 且b>0 時, 一次函數y=kx+b的圖像必過第一、二、四象限.
綜上可知, 一次函數y=kx+b的圖像必過第一、四象限, 故選擇B.
四、數形結合思想
例4 如圖2, 直線y=kx+b過A (-1, 2) 、B (-2, 0) 兩點, 則0≤kx+b≤-2x的解集為___________.
【解析】本題考查了一次函數與不等式之間的關系, 解題的關鍵是理解函數的圖像, 利用數形結合的思想找到答案.
解:根據題意可知, 直線y=-2x過點 (-1, 2) , 結合函數的圖像可知, 0≤kx+b≤-2x所對應的自變量的取值范圍是-2 ≤x≤-1, 故答案為-2≤x≤-1.
五、特殊到一般思想
例5如圖3, 已知A1、A2…An、An+1是x軸上的點, 且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1, 分別過點A1、A2…An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2…Bn、Bn+1, 連接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3…AnBn+1、BnAn+1, 依次相交于點P1、P2、P3…Pn, △A1B1P1、△A2B2P2…△AnBnPn的面積依次為S1、S2…Sn, 則Sn為 () .
【解析】本題是探究規律試題, 解決此類問題應先觀察圖形的變化趨勢, 然后從第一個圖形進行分析, 運用從特殊到一般的探索方式, 分析歸納三角形面積變化中不變的規律, 并用含有n的代數式進行表示, 最后用代入法求出特殊情況下的數值.
解:A1坐標為 (1, 0) , B1坐標為 (1, 2) , A2坐標為 (2, 0) , B2坐標為 (2, 4) , 通過A1、B2構造的直線為y1=4x-4, 通過A2、B1構造的直線為y2=-2x+4, 這兩條直線的交點坐標P1的坐標為, 所以△A1B1P1的面積為△A2B1O-△A1B1O-△A1A2P1=1/3;同理可求得第二個三角形的面積為4/5;第三個三角形的面積為9/7;……通過此規律可推出答案為.
六、建模思想
例6 為了節省空間, 家里的飯碗一般是摞起來存放的. 如果6 只飯碗摞起來的高度為15 cm, 9 只飯碗摞起來的高度為20 cm, 那么11 只飯碗摞起來的高度更接近 () .
A.21 cm B.22 cm
C.23 cm D.24 cm
【解析】本題考查了利用一次函數建模、應用, 解題的關鍵是尋找恰當的數學模型來解決問題. 設碗的個數x與碗摞起來的高度y厘米, 滿足一次函數關系式y=kx+b (k, b是常數, 且k≠0) , 根據所給條件, 求出一次函數關系式, 再求x=11 時, 函數y的近似值, 比對選項, 找出答案.
解:因為設碗的個數x與碗摞起來的高度y厘米, 滿足一次函數關系式y=kx+b (k, b是常數, 且k≠0) , 所以把x=6 時, y=15, x=9 時, y=20 代入函數關系式, 得
所以一次函數關系式為y= (5/3) x+5.
當x=11時, y= (5/3) ×11+5= (70/3) ≈23.
故選C.
例7 如圖4, 是一對變量滿足的函數關系的圖像.有下列3 個不同的問題情境:
①小明騎車以400 米/分鐘的速度勻速騎了5 分鐘, 在原地休息了4 分鐘, 然后以500 米/分鐘的速度勻速騎回出發地, 設時間為x分, 離出發地的距離為y千米;
②有一個容積為6 升的開口空桶, 小亮以1.2 升/分鐘的速度勻速向這個空桶注水, 注5 分鐘后停止, 等4 分鐘后, 再以2 升/分鐘的速度勻速倒空桶中的水, 設時間為x分, 桶內的水量為y升;
③矩形ABCD中, AB=4, BC=3, 動點P從點A出發, 依次沿對角線AC、邊CD、邊DA運動至點A停止, 設點P的運動路程為x, 那么當點P與點A不重合時, y=S△ABP;當點P與點A重合時, y=0.
其中, 符合圖中所示函數關系的問題情境的個數為 () .
A. 0B. 1C. 2D. 3
【解析】本題考查了函數圖像與問題情境的對應轉換問題, 即將情景問題建立恰當模型, 與已知函數模型相比較, 抓住圖像的轉折點, 正確識圖是解決問題的關鍵.
解:①根據情境知, 前5 分鐘應行駛了400×5=2 000 (米) , 而圖像上反映的是6 千米, 所以不正確;
②根據情境知, 前5 分鐘注水1.2×5=6 (升) ;此時注滿, 5~9 分鐘時水的高度不變;9~12 分鐘后, 每分鐘倒出2 升, 3 分鐘倒空, 符合圖像;
③, 則當0<x≤5 時 (如圖5) , y為x的正比例函數且y隨x的增大而增大, 當x=5 時, ;當5<x≤9 時 (如圖6) , y的值不變;當9<x≤12時 (如圖7) , y為x的一次函數, 且y隨x的增大而減小, 所以函數情境符合圖像.
函數思想范文第4篇
一、構造函數、運用函數性質
例1已知關于x的方程x2- (2a+1) ·si n (cosx) +1-4a2=0有唯一實數解, 求實數a的所有取值。
分析:構造函數f (x) =x2- (2a+1) ·si n (cosx) +1-4a2, 則問題轉化為求f (x) 的零點唯一時a的取值。
解析:構造函數f (x) =x2- (2a+1) ·si n (cosx) +1-4a2。
由f (x) =f (-x) 知f (x) 是偶函數,
∴若x0是f (x) 的解, 則-x0也是f (x) 的解。
又∵方程有唯一實數解,
點評:有關不等式、方程及最值之類的問題, 通過構建函數關系式, 借助函數的圖象與性質, ?？墒箚栴}簡單易解。構造出函數之后, 要充分研究這一函數可利用的性質, 善于挖掘隱含的條件。
二、選定主元, 揭示函數關系
例2已知函數f (x) =, 當x∈[-2, -]時, 對任意實數k∈[-1, 1], f (x) <λ2+ (k-4) λ-2k恒成立, 求實數λ的取值范圍。
分析:從一個含有多個變元的數學問題里, 選定合適的主變元, 圍繞這個變元, 揭示其中主要的函數關系, 是求解此類問題的常用方法。本例中可在k、λ中選一個變量作主元。
解析:令f
解得x=±1 (正的不合題意) 。
∵當x[-2, -1]時, f' (x) >0;當x∈
∴函數f (x) =x3+在x=-1處取得極大值, 極大值為f (-1) =-4。
故問題轉化為不等式λ2+ (k-4) λ-2k>-4, 當k∈[-1, 1]時恒成立, 求λ的取值范圍。
設函數g (k) =λ2+ (k-4) λ-2k+4= (λ-2) k+λ2-4λ+4。
∵函數g (k) 是一個以k為自變量的一次函數, 且在k∈[-1, 1]上是單調的,
∴即, 解之得λ<1或λ>3。
點評: (1) 不等式恒成立問題可轉化為函數的最值問題, 從而利用函數的性質解決。
(2) 本題的另一個巧妙之處是“反客為主”, 求λ反而以k為主元構建函數, 這才是真正切中要害。否則, 若以λ為主元進行討論, 則問題的解決就繁難多了。
三、選取輔助變元, 確定函數關系
例3求函數的值域。
分析:一般思路是:移項, 平方, 孤立根式, 再平方, 可以化無理式為有理式。面對這樣一個不低于四次的含雙變量的方程, 其難度可想而知?？煽紤]轉換選取新變元。
解析:∵
故可令x=4+sin2θ () , 則
當θ=時, ymin=1;當θ=時, ymax=2。
∴函數的值域為[1, 2]。
點評:雖然經選取變元后的函數簡潔明快, 可以使人拍案叫絕, 但須特別注意:轉換后的函數y=2sin (θ+3π) 在[0, π2]上不是單調函數, 故最大值不能在其端點處取得。
四、用函數思想方法解數列題
例4已知不等式對一切大于0的自然數都成立, 求自然數a的最大值。
分析:無法求和, 數列知識就無法起作用, 故可用函數的思想, 借用研究函數單調性的方法研究不等號左邊的式子, 求出和的最小值。
解析:令f (n) =, 則
∴f (n) 是n的增函數 (n∈N*) , 故f (n) 的最小值為
∵f (n) >2a-5對任意n都成立 (n∈N*) , ∴>2a-5, 即a<, ∴自然數a的最大值為3。
點評:由于數列是特殊的函數, 故利用數列的函數性質 (本例為單調性) 求出f (n) 的最值。構建函數, 用函數的性質和圖象解決問題, 正是函數思想的核心。
五、建立函數關系解應用題
例5某工廠有一面長14m的舊墻, 現在準備利用這面舊墻建造一平面為矩形, 面積為126m2的廠房, 工程條件是: (1) 建1m新墻的費用為a元; (2) 修1m舊墻的費用為元; (3) 拆1m舊墻, 用所得材料建1m新墻的費用為元。經討論有兩種方案: (1) 利用舊墻的一段x (x<1 4) 為矩形廠房一面的邊長; (2) 利用舊墻的一面的邊長為x (x≥14) 。問如何利用舊墻, 即x為多少時, 建墻費用最省? (1) 、 (2) 兩種方案哪個更好?
分析:構建函數模型, 并運用函數性質、不等式等知識處理所得的函數模型。本題可以建墻總費用為目標函數, 通過函數求最小值解之。
解析:設利用舊墻的一面的邊長為xm, 則矩形的另一面邊長為
(1) 利用舊墻的一段x (x<14) 為矩形一面邊長, 則修舊墻費用為x·元。用剩余的舊墻所拆得的材料建新墻的費用為 (14-x) ·元, 其余建新墻的費用為 (2x+) a元
故總費用為
-1) =35a (0
(2) 利用舊墻的一面的邊長為x (x≥1 4) , 則修舊墻的費用為元, 建新墻的費用為 (2x+) a元。故總費用為y=
易證該函數在[14, +∞) 上為增函數。故當x=14時, y取得最小值, ymin=2a·
函數思想范文第5篇
方程的思想, 就是分析數學問題中變量間的等量關系, 建立方程或方程組, 或者構造方程, 通過解方程或方程組, 或者運用方程的性質去分析、轉化問題, 使問題獲得解決.方程的數學是對方程概念的本質認識, 用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題.方程思想是動中求靜, 研究運動中的等量關系.
函數和方程是密切相關的, 對于函數y=f (x) , 當y=0時, 就轉化為方程f (x) =0, 也可以把函數式y=f (x) 看做二元方程yf (x) =0.函數問題 (例如求反函數, 求函數的值域等) 可以轉化為方程問題來求解, 方程問題也可以轉化為函數問題來求解, 如解方程f (x) =0, 就是求函數y=f (x) 的零點.
函數與不等式也可以相互轉化, 對于函數y=f (x) , 當y>0時, 就轉化為不等式f (x) >0, 借助于函數圖像與性質解決有關問題, 而研究函數的性質, 也離不開解不等式.
函數與方程是密切相聯的.有時運用方程解函數問題, 把函數關系式用解析式表達, 并把解析式看做一個方程, 通過解方程的手段或對方程的研究、討論, 使問題得以解決.運用函數的思想處理方程的問題, 即把方程中的“未知數x”升華為函數的“自變量x”, 變靜態為動態的函數的思想和方法.
本文從四個方面, 利用方程、不等式與函數關系, 通過函數與方程、不等式的轉化, 不僅幫助學生解題, 而且可以活躍學生思維, 有助于學生理解數學概念, 開拓解題捷徑, 培養學生學習的興趣, 收到事半功倍的效果.
一、深入理解概念, 靈活解題
例1:已知函數則f-1 (3) .
分析:按照學生常規解題思路, 先求f (x) 的反函數f-1 (x) , 再求當x=3時的函數值.如果對反函數概念理解深入透徹, y=f (x) 與y=f-1 (x) 是互為反函數, 反函數的定義域是原來函數的值域, 則f-1 (3) , 實際上是當y=3時, 函數中應有的x的值.把求反函數值的問題轉化為求一個分式方程解的問題, 觀點高明, 解法也簡便.
二、利用方程思想, 探求函數性質
例2:若 (x≠0) 是偶函數, 且g (x) ≠0, 則g (x) 是 (%%)
A.奇函數 B.偶函數
C.非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
分析:根據函數奇偶性定義
函數 (x≠0) 的定義域是{-∞, 0) ∪ (0, +∞)
對于任意x∈{-∞, 0) ∪ (0, +∞)
若g (-x) =g (x) 成立, 則g (x) 是偶函數;
若g (-x) =-g (x) 成立, 則g (x) 是奇函數;
由于函數關系式繁瑣, 不選用定義證明它的奇偶性.而挖掘其隱含條件, 構造g (x) 與g (-x) 的關系式, 體現了方程的思想.
由于G (x) 是偶函數
解此方程得:g (-x) =-g (x)
根據函數奇偶性定義
∴g (x) 是奇函數.
三、利用函數特征, 巧設方程
例3:設f (x) 是偶函數, g (x) 是奇函數, 且f (x) +g (x) =ex+1, 求f (x) .
分析:此題一個等式兩個未知量.因此, 需利用隱含條件, 再造一個方程, 組成方程組來解.
解:∵f (x) 是偶函數
又∵g (x) 是奇函數
四、靈活運用“數”“形”結合
例4:關于x的二次方程:2x2+3x-5m=0有兩個小于1的實根, 求m的取值范圍.
分析:令f (x) =2x2+3x-5m, 二次函數f (x) =2x2+3x-5m的圖像是開口向上的拋物線, 它與x軸交點的橫坐標均小于1, 對稱軸在x=1的左側, 所以一元二次方程根的分布問題結合函數圖像轉化為不等式組來解.
本題如按常規方法來解:平方展開, 得出一個繁雜的式子, 往下思路一般會受阻.下面結合圖像, 利用解析幾何知識來解.
所以將y看成是坐標平面上動點P (x, 0) 到定點A (0, -3) , B (4, 5) 的距離之和.由于點P在x軸上, 點A、B在x軸的兩側, 因此|AP|+|BP|的最小值就是|AB|. (三角形兩邊之和必大于第三邊)
此題這樣處理, 大大簡化了運算量, 而且很直觀.
例6:當k∈ (0, 1/2) 時, 方程解的個數為 (%%)
A.0 B.1 C.2 D.3
分析:在同一坐標系內作函數y=kx, k∈ (0, 1/2) 和的圖像, 得到三個交點, 故選D.
解:已知表明x和-2y是方程u3-sinu-2a=0的根,
而f (u) =u3+sinu-2a在u∈[-π/4, π/4]為單調遞增函數,
所以x=-2y,
即cos (x+2y) =1.
函數思想與方程思想結合起來處理例7的綜合問題.
總之, 對函數的研究離不開方程、不等式知識, 在處理有關方程、不等式的問題也離不開函數的觀點, 關鍵在于溝通它們之間的內在聯系, 系統地把握數學知識, 尋找解決問題的捷徑.
摘要：本文從四個方面, 利用方程、不等式與函數關系, 通過函數與方程、不等式的轉化, 不僅幫助學生解題, 而且可以活躍學生思維, 有助于學生理解數學概念, 探索解題捷徑, 培養學生學習的興趣, 收到事半功倍的效果。
關鍵詞：方程,不等式,函數,思想探討
參考文獻
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[3]徐長青.簡約教學在返璞歸真中見實效.中國教育報, 2010-5-21.
函數思想范文第6篇
函數思想, 就是運用運動和變化的觀點, 集合與對應的思想, 分析和研究數學問題中的等量關系, 建立或構造函數關系, 再運用函數的圖像和性質分析問題, 達到轉化問題的目的 , 從而使問 題獲得解 決的思想 ;方程思想 , 就是從問 題的數量關系入手, 運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型———方程或方程組, 通過解方程或方程組, 或者運用方程的性質去分析、轉化問題, 使問題獲得解決的思想.
函數與方程是密不可分的, 函數y=f (x) 中的f (x) 如果為0, 就可以轉化為方程f (x) =0.函數與方程思想就是把函數問題轉化為方程問題, 例如求函數的零點可以轉化為求對應方程的根, 或者把方程問題轉化為函數問題來解決, 例如求方程的根的個數可以轉化為求兩函數交點的個數. 蘇教版必修一的第三章引入的函數與方程思想, 主要體現在求方程f (x) =0的實數根, 就是確定函數y=f (x) 的圖像與x軸交點的橫坐標, 即函數y=f (x) 的零點 ;求f (x) =g (x) 的根或根的個數就是求函數y=f (x) 與y=g (x) 圖像的交點或交點個數.
一、函數思想
所謂函數思想, 就是在根據已知條件構造函數, 通過研究函數的單調性、奇偶性等性質, 解決問題的思想.1.構造函數 , 利用函數的性質答題.
點評:解有關不等式、方程、比大小的問題, 可以通過構造函數關系式, 借助函數的圖像和性質, 使問題更直觀形象, 充分利用數形結合、函數方程思想, 為以后的學習奠定基礎.
2.利用函數思想解答有關實際應用題.
例2:某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁, 為了緩解交通壓力, 特地修了一條專用鐵路, 用一列火車作為交通車, 已知該車每次拖4節車廂, 一日能來回16次, 如果每次拖7節車廂, 則每日能來回10次.若每日來回的次數是車頭每次拖掛車廂節數的一次函數, 每節車廂能乘載乘客110人.問這列火車每天來回多少次才能使運營人數最多? 并求出每天最多運營人數.
分析:建立目標函數, 再求函數的最值.
解:設每日來回y次, 每次掛x節車廂, 由題意, 再設y=kx+b (k≠0) ,
由題意知, 每日運營車廂節數最多時, 運營人數最多, 設每日運營S節車廂, 則S=xy=x (-2x+24) =-2 (x-6) 2+72, 所以當x=6時 , Smax=72, 此時y=12.
則每日最多運營人數為7920人.
答:這列火車每天來回12次, 才能使運營人數最多, 每天最多運營人數為7920人.
點評:通過建立函數解決實際問題要注意定義域, 根據定義域來求函數的最值.
二、方程思想
通過換元, 構成已經學過的方程求解.
例3:關于x的方程9x+a·3x+3=0恒有解 , 求a的取值范圍.
分析:通過換元將其變為一元二次方程恒有正根的問題, 同時利用韋達定理解題.
解:設3x=t, 則t>0.由題意得 , 方程t2+a·t+3=0有正根 ,
點評:對于類似于一元二次方程的復雜方程, 可以通過換元將問題轉化為已學過的方程求解.
三、函數方程思想
有的題目需要根據函數與方程之間的相互關系而互相轉換.
例4: (2008天津卷改編) 設a>1, 若對任意的x∈[a, 2a], 都有y∈[a, a2]滿足方程logax+logay=3, 此時a的取值集合為______.
分析:本題看上去是考查含參數的方程, 實際上是以含參數方程為載體, 考查函數的定義域、值域及函數思想, 所以解這道題目的基本思路:方程問題函數化.由方程, 可得xy=a3 (x>0, y>0) , 把x看成自變量 , y看成應變量 , 可以得到函數y=a3/x在區間[a, 2a]上單調遞減, 所以函數y=a3/x在區間 [a, 2a]上的值域是[a2/2, a2], 由題意], 所以a≤a2/2<a2, 解得a≥2, 所以答案是{a|a≥2}.
函數與方程的思想是高考的熱點, 也是學生學習的難點, 很多學生拿到類似的題目無從下手, 不會變通, 所以在上必修一函數與方程這一節時, 教師要充分利用函數的零點及二分法的有關內容不斷強調, 向學生灌輸如果從函數無從下手, 就變成方程, 如果方程不會解, 就通過函數解決的思想, 進而深化數形結合的數學思想, 通過不斷練習, 不同的變式訓練, 強化學生的記憶與理解.只有這樣, 才能讓學生在高考中能自然地運用函數方程思想, 而不是生搬硬套.