函數概念范文第1篇
【摘要】本文為研究函數在一點連續的概念教學，在APOS理論的視角下，經過一系列內化、壓縮、解壓縮的心理機制，建立 “函數在某一點的連續性”的三個等價定義的圖式，形成概念域.
【關鍵詞】APOS理論;連續性
一、引 言
函數的連續性是函數的一個最基本的概念，是運用極限方法對連續性現象進行研究，而函數在一點的連續性的三種定義的關系是認知連續性概念的思維障礙點.杜賓斯基提出APOS理論，主要應用于概念教學，注重概念的形成與學生思維建構的過程.因此，本文以APOS理論為基礎，教師要能夠有針對性地為“函數在一點的連續性”的教學方案提供依據，幫助學生克服對連續性概念的認知障礙.
二、相關概念
（一）函數在一點連續的定義
在連續函數的概念中，對于函數在一點的連續性，有下面三種常見的定義方式：
定義1 設函數f（x）在某U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0連續.
定義2 設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點x0連續.
定義3 設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點x0連續.
（二）APOS理論
杜賓斯基以皮亞杰提出的建構主義為基礎，提出了數學概念學習的APOS理論模型.該理論模型認為學生學習數學概念是要進行心理建構的，此建構過程要經歷以下四個階段：活動、過程、對象、圖式.其中，“活動”是個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指定去變換一個客觀的數學對象.當“活動”經過多次重復而被個體熟悉后，就可被內化為一種稱之為“程序”的心理操作.當個體能把“程序”作為整體進行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象”.一個數學概念的“圖式”是指相應的“活動”“程序”“對象”以及與某些一般原理相聯系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認知框架，可以用于解決與這個概念相關的問題.“活動”“過程”“對象”也可看作數學知識的三種狀態，“圖式”是由這三種知識結構構成的一種認知結構.
三、APOS理論視角下函數在一點連續的概念的教學研究
（一）運用APOS理論的可行性分析
學生對于“連續性”的初始概念圖像，是坐標平面上一條連綿不斷的曲線，而不是在一點上具有連續性，故而函數在一點的連續性與學生所認知的連續性的概念形象就產生了認知沖突，可能導致學習障礙.內化與壓縮作為APOS理論的重要心理機制，可以對函數在一點連續性的學習障礙提供解釋與解答.教師可利用APOS理論，在過程階段與對象階段，結合函數極限構造函數在一點連續的概念圖像，將極限概念過渡到連續性概念，幫助學生克服函數在一點連續性的學習困難，從而形成對函數在一點連續的真正理解.
對于函數在一點連續的三個等價定義，在教材安排上，不同版本的教材采用的編排順序不同，但都是在學習函數極限之后，采用上述定義中的某個定義引入連續性概念，進而將另外兩個定義作為等價定義給出.因此，在認知層面上，對上述三種定義的教學，要把握極限理論中極限概念和連續性概念的聯系.選取不同的定義引入連續性概念，會影響初學者對該概念的理解以及所出現的學習障礙.
（二）APOS視角下函數在一點連續的概念的教學研究
從幾何直觀上看，連續函數是坐標平面上一條連綿不斷的曲線，故學生對連續性并非完全陌生的，將學生所認知的自然界的連續變化反映在數學上，就是量的變化，而反映這種連續變化現象的數量關系就是函數的連續性.連續函數的概念是“隱性”的，需要通過外顯的活動，將連續性呈現出來，由此獲得連續函數概念的“表象”.
（三）關于三個定義的教學研究
1.定義1的教學研究
問題1：分別畫出①f（x）=x，②f（x）=1x，③f（x）=x+2（x≥0），x-2（x<0）的圖像，并思考下述問題：（1）圖像是否連續？若是不連續，又在哪里間斷？圖像斷開的原因是什么？（2）當x→0時，函數極限值分別是多少？
通過解答（1），學生單個地分析函數是否連續以及圖像斷開的原因，將這個過程經過多次重復后，學生能通過對比①②③發現x=0是②③是否連續的關鍵點.解答（2）時，當圖像出現間斷，學生不得不運用函數左、右極限進行計算.學生通過計算，便會猜想當x趨于0時的函數極限、函數在x=0處的函數值與函數的圖像連續存在聯系.這種思考過程即心理機制上的內化，進而達到“程序”階段.
問題2：接下來脫離具體情境，將x=0拓展到x=x0的情況，將情境中的函數圖像歸納為下述情況，如圖1，圖2，圖3所示，繼續思考上述問題.
教師引導學生思考：若是函數在點x0處出現間斷，依照問題1的思考過程，借助圖像，運用左、右極限的知識加以理解.對于圖1，函數在點x0處出現間斷，對于函數曲線上斷開的點f（x0）可歸為左側圖像，那么，函數在點x0處的左極限恰好等于這一點的函數值f（x0），即limx→x-0f（x）=f（x0）.對于圖2，函數曲線上斷開的點f（x0）可歸為右側圖像，那么，函數在點x0處的右極限恰好等于這一點的函數值f（x0），即limx→x+0f（x）=f（x0）.對于圖3，函數在點x0處沒出現間斷，那么這點不僅可以歸為左側圖像，也可以歸為右側圖像，由左右極限的定義，可得limx→x0f（x）=f（x0）.
教師要讓學生意識到：曲線在某一點連續與不連續的差別，在于曲線在該點處的函數值是否產生了“突變”，并且發現函數在點x0連續應滿足三個條件：函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義;極限limx→x0f（x）存在;極限limx→x0f（x）的值等于點x0處的函數值f（x0）.此時，上述“程序”就已經被“壓縮”為一種“對象”.
最后，教師引出函數在點x0處連續的定義為：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0連續.
完成這個過程，APOS理論視域下，函數在一點連續的定義與函數極限的聯系，是之前所習得的函數極限圖式的進一步發展，形成函數連續性概念的新圖式.
2.定義3的教學研究
問題3：由于函數在一點的連續性是通過極限定義的，所以可類比函數極限的定義，試著用ε-δ語言敘述定義1.
學生思考：類比函數極限的定義，可由定義1得到其ε-δ語言，如表1所示：
教師細致分析，讓學生領會：討論極限時，假定f（x）在點x0某空心鄰域U。（x0）上有定義（f（x）在點x0可以沒有定義），而“函數f（x）在點x0連續”，則要求f（x）在某鄰域U（x0）上有定義.此時，對于|f（x）-f（x0）|<ε，當x=x0時總是成立的，所以在極限定義中的“0<|x-x0|<δ”換成了在連續定義中的“|x-x0|<δ”.
最后教師總結定義：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點x0連續.
這樣，圍繞limx→x0f（x）=f（x0）這個“對象”，定義1與定義3建立等價關系.
3.定義2的教學研究
對于定義2，教師可通過幾何知識更為直觀地進行教學.為理解“函數y=f（x）在點x0連續”的概念，教師引入增量的概念，記Δx=x-x0，稱為自變量x（在點x0）的增量或改變量.設y0=f（x0），相應的函數y（在點x0）的增量記為Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=y-y0.其中，自變量的增量Δx或函數的增量Δy為實數.
問題4：引進了增量的概念之后，固定點x0，反復變化下圖中Δx的大小，觀察其對應的Δy如何變化.
教師引導學生理解自變量的增量Δx或函數的增量Δy可以為正數、0或者負數.當Δx>0時，自變量x增大，函數的增量Δy>0，反之，當Δx<0時，自變量x減小，函數的增量Δy<0.
在“活動”階段，學生依次對h（x）和f（x）的圖像實施Δx的變化，以觀察其對應的Δy的變化.重復多次“活動”后，慢慢就內化為“程序”，學生能對比發現圖4的函數y=h（x）的圖像在點x0處間斷，保持x0不變，當Δx趨近于0時，點N沿曲線趨近于點N′，此時Δy為定值，在點x0處不連續.圖5的函數y=f（x）的圖像是一條連續變化的曲線，令f（x0）=M，f（x0+Δx）=N，保持x0不變，當Δx趨近于0時，點N沿曲線趨近于點M，Δy趨近于0.學生對整個區間上函數值的增量隨自變量的增量變化趨勢有整體認識，上述“程序”就被“壓縮”成一種“對象”.
最后，教師總結得到定義2：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點x0連續.
此時，學生對“函數在一點連續”的三個定義有了完整的形式化表述，但對三個定義的等價關系的認識還處于分離的狀態，所以，認識需要上升到“圖式”階段.教師要引導學生對定義2進行“解壓縮”，在定義2中，令Δx=x-x0，則Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），當Δx→0時，有x→x0，Δy→0，則[f（x0+Δx）-f（x0）]→0，即f（x）→f（x0），可得limx→x0f（x）=f（x0）.該過程圍繞“limx→x0f（x）=f（x0）”，定義1與定義2建立等價關系.
四、總 結
對于“函數在某一點的連續性”的三個等價定義的教學，教師應引導學生主動建構，把握學生對概念的思維障礙點，避免讓學生死記數學概念，而無法理解“函數在某一點的連續性”的三個等價定義之間的關系.
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函數概念范文第2篇
集合語言是現代數學的基本語言，使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數學的一些內容.本章中只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言去表示有關的數學對象，發展運用數學語言進行交流的能力.
函數的學習促使學生的數學思維方式發生了重大的轉變：思維從靜止走向了運動、從運算轉向了關系.函數是高中數學的核心內容， 是高中數學課程的一個基本主線，有了這條主線就可以把數學知識編織在一起，這樣可以使我們對知識的掌握更牢固一些.函數與不等式、數列、導數、立體、解析、算法、概率、選修中的很多專題內容有著密切的聯系.用函數的思想去理解這些內容，是非常重要的出發點.反過來，通過這些內容的學習，加深了對函數思想的認識.函數的思想方法貫穿于高中數學課程的始終.高中數學課程中，函數有許多下位知識，如必修1第二章的冪、指、對函數數，在必修四將學習三角函數.函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型.
二、學情分析
1.學生的作業與試卷部分缺失，導致易錯問題分析不全面.通過布置易錯點分析的任務，讓學生意識到保留資料的重要性.
2.學生學基本功較扎實，學習態度較端正，有一定的自主學習能力.但是沒有養成及時復習的習慣，有些內容已經淡忘.通過自主梳理知識，讓學生感受復習的必要性，培養學生良好的復習習慣.
3.在研究例4時，對分類的情況研究的不全面.為了突破這個難點，應用幾何畫板制作了課件，給學生形象、直觀的感知，體會二次函數對稱軸與所給的區間的位置關系是解決這類問題的關鍵.
三、設計思路
本節課新課中滲透的理念是：“強調過程教學，啟發思維，調動學生學習數學的積極性”.在本節課的學習過程中，教師沒有把梳理好的知識展示給學生，而是讓學生自己進行知識的梳理.一方讓學生體會到知識網絡化的必要性，另一方面希望學生養成知識梳理的習慣.在本節課中不斷提出問題，采取問題驅動，引導學生積極思考，讓學生全面參與，整個教學過程尊重學生的思維方式，引導學生在“最近發展區”發現問題、解決問題.通過自主分析、交流合作，從而進行有機建構，解決問題，改變學生模仿式的學習方式.在教學過程中，滲透了特殊到一般的思想、數形結合思想、函數與方程思想.在教學過程中通過恰當的應用信息技術，從而突破難點.
四、教學目標分析
(一)知識與技能
1.了解集合的含義與表示，理解集合間的基本關系，集合的基本運算. A：能從集合間的運算分析出集合的基本關系.B：對于分類討論問題，能區分取交還是取并.
2.理解函數的定義，掌握函數的基本性質，會運用函數的圖象理解和研究函數的性質. A：會用定義證明函數的單調性、奇偶性.B：會分析函數的單調性、奇偶性、對稱性的關系.
(二)過程與方法
1.通過學生自主知識梳理，了解自己學習的不足，明確知識的來龍去脈，把學習的內容網絡化、系統化.
2.在解決問題的過程中，學生通過自主探究、合作交流，領悟知識的橫、縱向聯系，體會集合與函數的本質. (三)情感態度與價值觀
在學生自主整理知識結構的過程中，認識到材料整理的必要性，從而形成及時反思的學習習慣，獨立獲取數學知識的能力.在解決問題的過程中，學生感受到成功的喜悅，樹立學好數學的信心.在例4的解答過程中，滲透動靜結合的思想，讓學生養成理性思維的品質.
五、重難點分析
重點：掌握知識之間的聯系，洞悉問題的考察點，能選擇合適的知識與方法解決問題.
難點：含參問題的討論，函數性質之間的關系.
六.知識梳理(約10分鐘)
提出問題
問題1：把本章的知識結構用框圖形式表示出來.
問題2：一個集合中的元素應當是確定的、互異的、無序的，你能結合具體實例說明集合的這些基本要求嗎?
問題3：類比兩個數的關系，思考兩個集合之間的基本關系.類比兩個數的運算，思考兩個集合之間的基本運算，交、并、補.
問題4：通過本章學習，你對函數概念有什么新的認識和體會嗎? 請結合具體實例分析，表示函數的三種方法，每一種方法的特點.
問題5：分析研究函數的方向，它們之間的聯系.
在前一次晚自習上，學生相互展示自己的結果，通過相互討論，每組提供最佳的方案.在自己的原有方案的基礎上進行補充與完善.
學生回答問題要點預設如下：
1.集合語言可以簡潔準確表達數學內容.
2.運用集合與對應進一步描述了函數的概念，與初中的函數的定義比較，突出了函數的本質函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型.
3.函數的表示方法主要有三種，這三種表示方法有各自的適用范圍，要根據具體情況選用.
4.研究函數的性質時，一般先從幾何直觀觀察圖象入手，然后運用自然語言描述函數的圖象特征，最后抽象到用數學符號刻畫相應的數量特征，也是數學學習和研究中經常使用的方法.
函數概念范文第3篇
函數的奇偶性是必修1第2章《函數》中的內容。它是學習函數的基礎,函數一共有兩個性質,一個是單調性為前一節的內容, 此時我們所看到的奇偶性為函數的另一個性質。奇偶性的學習能使學生在畫圖解題時更簡便化、研究具體函數時更形象 化。同時本課時授課的對象是高一年級的學生, 通過前面的學習, 其實他們對函數的概念與簡單性質有一定的認識。這節課的學習能讓學生更好地研究函數, 培養學生從特殊到一般的概括歸納問題的能力。因此, 在整個課堂教學設計中始終圍繞這個主題進行雙邊活動,由于是新授課,所以還要把握好教學的廣度、難度。
1問題情境引入
讓學生感受生活中的美———對稱美。
利用多媒體欣賞自然界中一些美麗的對稱現象: 蝴蝶、臉譜、太極八卦圖、雪花……
根據初中所學的知識,可以知道前兩張圖片是軸對稱圖形, 形, 第三張圖片是中心對稱圖形, 最后一張圖片既是軸對稱又是中中心對稱圖形。從自然界中的這些對稱現象我們來尋找一下函數 數中的對稱。
2復習回顧引入
同學們回想一下,我們已學過哪些函數的圖像具有對稱性? 一般情況下,同學們都會說出y=x2、y=1 /x (反比例函數)。
請同學參與畫出2個函數的圖像:
首先從圖像上的點與點之間的對應引導學生發現函數具有有的對稱和諧美,歸納出奇、偶函數的定義。
從特殊的 f(1)=1=f(-1)g(1)=1=-g(-1)
到一般的 f(x0)=x02=f(-x0) g(x0)=1 /x0 =-g(-x0)
再從數值上分別觀察一下,這兩個函數代數特征。從而引出函數的奇偶性的定義。
這樣的課堂設計周密、自然,一環套一環,體現了數學思想方法的滲透和發掘,比如類比、數形結合等。在新課程中非常注重新課的導入,本節課開始以“投影一些生活中優美的對稱現象的圖片”的情境吸引了學生的注意力,再復習已學的簡單函數觀察兩個函數圖象的對稱性自然地導入了新課。在奇偶性概念探索過程中,培養學生思維的深刻性,廣闊性和觀察、歸納、探究的能力。在學生感受對稱美的同時,激發學生學習數學的興趣,培養學生鍥而不舍的求學精神。
函數概念范文第4篇
函數的充分必要條件, 并在能初等化的前提下, 介紹具體化這類函數為初等函數的方法。為此, 先給出兩個引理如下。
其中k為任意實數。等式 (1) 的正確性是顯然的。 (如圖1所示)
引理2:如果分段函數
等式 (2) 的構造方法如下:xf) (的圖形如圖2所示。連接BA、兩點的直線斜率, 所以連接BA、兩點的直線方程為。
等式 (3) 的構造方法如下:
與引理2中的函數相比較, 這里的相當于a;相當于c;00, ba分別相當于b和d, 故由等式 (2) 即可得到等式 (3) 。
定理2如果分段函數
等式 (4) 的構造方法如下:
令x-x0=t, 則
將右邊各括號展開再合并, 得
定理3分段函數能化為初等函數的充要條件是。
證明:必要性:若f (x) 能化為初等函數, 則xf在x0連續,
從而有f (x0-0) =f (x0+0) ,
而
充分性若, 由定理2, 知xf) (可表示成初等函數。
摘要：函數是數學中最重要的概念之一, 它從量這個側面反映著現實世界中事物的運動、變化及相互聯系、相互制約的關系。分段函數是一類特殊的函數。本文主要從分段函數與初等函數的關系出發, 研究用初等函數表示一類特殊的分段函數。
關鍵詞：分段函數,初等函數,連續性,構造法
參考文獻
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函數概念范文第5篇
2.1.2指數函數及其性質教學設計
一、教學目標：
知識與技能：理解指數函數的概念，掌握指數函數的圖象和性質，培養學生實際應用函數的能力。
過程與方法：通過觀察圖象，分析、歸納、總結、自主建構指數函數的性質。領會數形結合的數學思想方法，培養學生發現、分析、解決問題的能力。
情感態度與價值觀：在指數函數的學習過程中,體驗數學的科學價值和應用價值,培養學生善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹的科學態度。
二、教學重點、難點：
教學重點：指數函數的概念、圖象和性質。
教學難點：對底數的分類，如何由圖象、解析式歸納指數函數的性質。
三、教學過程：
(一)創設情景
問題1：某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂 x次后,得到的細胞分裂的個數 y與 x之間,構成一個函數關系,能寫出 x與 y之間的函數關系式嗎?
學生回答: y與 x之間的關系式,可以表示為y=2x。
問題2： 一種放射性物質不斷衰變為其他物質,每經過一年剩留的質量約是原來的84%.求出這種物質的剩留量隨時間(單位:年)變化的函數關系.設最初的質量為1,時間變量用x表示,剩留量用y表示。
學生回答: y與 x之間的關系式,可以表示為y=0.84x 。 引導學生觀察，兩個函數中，底數是常數，指數是自變量。 1.指數函數的定義
一般地，函數y?a?a?0且a?1?叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R. x問題：指數函數定義中，為什么規定“a?0且a?1”如果不這樣規定會出現什么情況?
(1)若a<0會有什么問題?(如a??2,x?1則在實數范圍內相應的函數值不存在) 2(2)若a=0會有什么問題?(對于x?0,a無意義)
(3)若 a=1又會怎么樣?(1x無論x取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.) 師：為了避免上述各種情況的發生,所以規定a?0且 a?1.
練1：指出下列函數那些是指數函數：
x?1?(1)y?4x(2)y?x4(3)y??4x(4)y???4?(5)y???x(6)y???
???xx練2：若函數2.指數函數的圖像及性質
是指數函數，則a=------
?1?在同一平面直角坐標系內畫出指數函數y?2x與y???的圖象(畫圖步驟：列表、
?2??1?描點、連線)。由學生自己畫出y?3與y???的函數圖象
?3?xxx 然后，通過兩組圖象教師組織學生結合圖像討論指數函數的性質。
特別地，函數值的分布情況如下：
(四)鞏固與練習
例1： 比較下列各題中兩值的大小
教師引導學生觀察這些指數值的特征，思考比較大小的方法。
(1)(2)兩題底相同，指數不同，(3)(4)兩題可化為同底的，可以利用函數的單調性比較大小。
(5)題底不同，指數相同，可以利用函數的圖像比較大小。 (6)題底不同，指數也不同，可以借助中介值比較大小。 例2：已知下列不等式 , 比較m,n的大小 :
設計意圖：這是指數函數性質的簡單應用，使學生在解題過程中加深對指數函數的圖像及性質的理解和記憶。
(五)課堂小結
(六)布置作業