函數單調性判定定理:設函數y=f (x) 在[ɑ, b]上連續, 在 (ɑ, b) 內可導。則: (1) 如果在 (ɑ, b) 內f′ (x) >0, 那么y=f (x) 在[ɑ, b]上單調增加; (2) 如果在 (ɑ, b) 內f′ (x) <0, 那么y=f (x) 在[ɑ, b]上單調減少。注:如果把這個定理中的閉區間換成其他各種區間 (包括無窮區間) 結論仍舊成立。
另類思考問題:由一點處的導數符號能不能判斷函數在該點附近的單調性?很多初學者認為:對于上述定理使用時, 可以通過計算某一特殊點處導函數的符號就可以下定結論, 而不用考慮取點的任意性。即認為若y=f (x) 在[ɑ, b]上連續, 在 (ɑ, b) 內可導, 且f+′ (ɑ) , f-′ (b) 存在, 能由f+′ (ɑ) , f-′ (b) 的符號分別判定出函數y=f (x) 在 (ɑ, ɑ+δ) , (b-δ, b) 這兩個小鄰域的單調性。即以下結論成立: (1) 若f+′ (ɑ) >0, 則y=f (x) 在 (ɑ, ɑ+δ) 內單調增加;若f+′ (ɑ) <0, 則y=f (x) 在 (ɑ, ɑ+δ) 內單調減少。 (2) 若f-′ (b) >0, 則=f (x) 在 (b-δ, b內單調增加;若f-′ (b) <0, 則y=f (x) 在 (b-δ, b) 內單調減少。注:δ>0。
下面利用反證法, 以若f-′ (b) <0, 則y=f (x) 在 (b-δ, b) 內單調減少為例進行分析研究。
例:分析函數在x=0的左側小鄰域內增減性。
思路:首先求解f-′ (0) 得出其正負號, 再討論函數在x<0而接近于x=0情況下f′ (x) 的符號, 確定出函數的增減性, 從而解答上面提出的問題。
解:x=0: (分段點的導數由定義出發求解)
若上面提出的結論成立, 則由于f-′ (0) <0, 存在δ>0使得函數y=f (x) 在 (-δ, 0) 內單調減少。
其中當x→0-時, , 即, 因此x→0-時f′ (x) 的符號取決于的符號。而在x→0-的過程中之間振蕩 (x=0是函數的第二類 (振蕩) 間斷點) , 之間振蕩, 因此, 當x→0-時f′ (x) 的符號時正時負, f′ (x) 不能保持一定的符號, 即f′ (x) 在x=0左側小鄰域內不單調。與由于f-′ (0) <0, 存在δ>0使得函數y=f (x) 在 (-δ, 0) 內單調減少相矛盾。
由此可以看出, 由一點處的導數符號不能判斷函數在該點附近的單調性。但如果導函數在該點連續, 則可由這一點處的導數符號判別函數在此點附近的單調性 (由函數連續性易證) 。
摘要：通過學習函數單調性的判定定理可以提出:由一點處的導數符號能不能判斷函數在該點附近的單調性?這個問題利用反證法進行分析可以得出結論:由一點處的導數符號不能判斷函數在該點附近的單調性, 但如果導函數在該點連續, 則可由這一點處的導數符號判別函數在此點附近的單調性。
關鍵詞：導數,單調性,連續性
參考文獻
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