1 數學分析課程[1]給出了函數的定義
給定兩個實數集D和M, 若有對應法則f, 使對D內每一個數x都有唯一的一個數y∈M與它相對應, 則稱f是定義在數集D上的函數, 記作f:D→M或y=f (x) , x∈D
由函數的定義說明了決定函數的兩要素是定義域和對應法則, 只要兩個函數的定義域和對應法則相同, 那么它們就表示同一個函數。因此, 函數的表示法只與定義域和對應法則有關, 而與用什么字母來表示變量 (自變量, 因變量) 無關, 這種特性就稱為函數表示法的無關特性。
2 函數表示法無關特性的應用
第一, 函數表示法的無關特性可以用來解決由f[g (x) ]的表達式求函數f (x) 的表達式的問題。只需令g (x) =t, 解出x=φ (t) , 代入函數的表達式, 由函數表示法的無關特性得出的f (x) 表達式;或者經過幾次由函數表示法的無關特性的應用得到一個方程組, 再用此方程組即可求出f (x) 的表達式。下面舉例說明:
例1:設 , 其中x≠0, x≠1, 求f (x) 。
解:利用函數表示法的無關特性:
例2:f (x) 滿足 (a≠1) , φ (x) 在x≠1有意義的已知函, 求f (x) 的表達式。
解:令 則 代入原方程可得
第二, 利用函數表示法的無關特性在解決某些高等數學問題時可以使問題得到簡化, 便于求解。
(1) 求某些函數的極限問題時, 利用函數表示法的無關特性, 可以轉化極限過程。
例:求
解:令1/x=t, 則x=1/t;當x→∞時, t→0
(2) 在計算某些定積分時, 利用函數表示法的無關特性, 可以使復雜的計算變得簡單。
例:求
解:令x=-u
(3) 在求抽象復合函數的偏導問題時, 利用函數表示法的無關特性, 便于畫出結構式, 使計算偏導數時, 不重不漏。
例:設z=f (x2-y2, exy) , f具有二階連續偏導數, 求,
解:令u=x2-y2, v=exy
則畫出函數結構式為:f
由上可見, 函數表示法的無關特性是解決函數問題的一種常用的有效方法, 靈活運用函數表示法的無關特性, 在解題過程中可以帶來很大的方便。
摘要：本文介紹了函數表示法的無關特性, 并通過典型的實例說明了函數表示法的無關特性在解決函數問題時的重要作用。
關鍵詞：函數,無關特性,應用
參考文獻
[1] 華東師大數學系.數學分析 (上冊, 第三版) [M].北京, 高等教育出版社, 2001, 6.[1]華東師大數學系.數學分析 (上冊, 第三版) [M].北京, 高等教育出版社, 2001, 6.