函數概念范文第1篇
1.下列集合不同于其他三個集合的是()
(A){x|x=1}(B){y|(y-1)2=0}
(C){x=1}(D){1}
2.設集合A={x|∈Z且-10≤x≤-1},{|x∈Z且|x|≤5},則A∪B中元素的個數是()
(A) 11 (B) 10 (C) 16 (D) 15
3.下列各組函數是同一函數的是()
①,f(x)=|x|與,f(x)=x0與g(x)=1④f(x)=x2-2x-1與g(t)=t2-2t-1
(A)①②(B)①③(C)②④(D)①④
4.已知函數,則f(f-2))的值是()
(A) 2 (B)-2 (C) 4 (D)-4
5.已知:函數的定義域為[0,4],則函數g(x)=fx+2)的定義域為()
(A)[0,2](B)[-2,0](C)[2,4](D)R
6.已知函數,x∈[3,6],則f(x)的最小值是()
(A) 1
7.奇函數f(x)的定義域為(-∞,+∞),且在(-∞,0)上遞減,若ab<0,且a+b>0,則f(a)+f(b)與0的大小關系是()
(A)f(a)+f(b)<0(B)f(a)+f(b)0(C)f(a)+f(b)>0(D)f(a)+f(b)0
8.設集合,且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“長度”,那么集合M∩N的“長度”的最小值是()
9.若函數f(x)是定義在R上的偶函數,在(-∞,0]上是減函數,且f(2)=0,則使得f(x)<0的取值范圍是()
(A)(-∞,2)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-2) U (2,+∞)(D)(-2,2)
10.函數y=f(x與y=g(x有相同的定義域,且都不是常數函數,對定義域中任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)·g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,則
(A)是奇函數但不是偶函數(B)是偶函數但不是奇函數
(C)既是奇函數又是偶函數(D)既不是奇函數也不是偶函數
11.直角梯形ABCD如圖1(1),動點P從B點出發,由B→C→D→A沿邊運動,設點P運動的距離為x,AABP的面積為f(x).如果函數y=f(x)的圖象如圖1(2),則ΔABC的面積為()
(A) 10 (B) 16
(C) 18 (D) 32
12.已知函數f(x是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數,且對任意實數x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),則f()的值是()(A)0 (B) 12 (C) 1 (D)
(A)0 (B) 12 (C) 1 (D)
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,滿分16分)
13.函數的定義域為______.
14.用列舉法表示集合:
15.已知函數y=f(x)為奇函數,且當x>0時f(x)=x2-2x+3,則當x<0時,f(x)的解析式為f(x)=______.
16.某汽車運輸公司購買了一批新型大客車投入客運,據市場分析,每輛客車營運的總利潤y(單位:10萬元)與營運年數x(x∈N*)滿足二次函數關系如圖2,則每輛客車營運——年,其營運年平均利潤最大______.
二、解答題(本大題共6個小題,滿分74分,解答時要求寫出必要的文字說明或推演步驟)
17.(本大題12分)已知集合A={x|a-1
18.(本大題12分)已知二次函數f(x)=x2+ax+b,A={x|f(x)=2x}={22},試求f(x)的解析式.
19.(本大題12分)已知函數(a∈R,a=1),討論f(x)在(-1,+∞)的單調性,并求其在區間[1,4]的最大值.
20.(本大題12分)為了預防甲型流感,某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知藥物釋放過程中,室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t小時)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數關系式為(a為常數),如圖3所示,根據圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)求從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數關系式;
(2)據測定,當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時,學生方可進教室,那從藥物釋放開始,至少需要經過多少小時后,學生才能回到教室.
21.(本大題12分)設函數
(1)求證:不論a為何實數f(x)總為增函數;
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數及此時f(x)的值域.
22.(本大題14分)設f(x)=x-2ax(0≤x≤1)的最大值為m(a),最小值為m(a),試求M(a)及m(a)的表達式.
集合與函數概念檢測試題參考答案
一、1.(C) 2.(C)3.(C) 4.(C) 5.(B)6.(B) 7.(B) 8.(C)9.(D) 10.(B)11.(B) 12.(A)
二、13.[-1,2) U (2,+)
14.{-11,-6,-3,-2,0,1,4,9}15.f(x)=-x2-2x-3 16.7,2
三、17.解：A∩B=Ø
(1)當A=時,有2a+l≤a-1⇒a≤-2;(2)當A≠時,有2a+1>a-1⇒a>-2.又因為A∩B=,則有2a+1≤0或a-1≥1⇒a≤—或a≥2所以或a≥2由以上可知或a≠2
18.解:由{x|f(x)=2x}={22}得方程x2+ax+b=2x有兩個等根都為22
.根據韋達定理解得84.,所以f(x)=x2-42x+4
19.解:在(-1,+∞)上任取x1,x2且x1
所以當a>1時,f(x2)>f(x1),f(x)在(-1,+∞)上為增函數.當x=4時取得最大值.
當a<1時,f(x2)
20.解:(1)依題意:當t∈[0,0.1]時,設y=kt(t為常數),由圖可知,圖象過點(0.1,1).所以1=0.1k,所以k=10,所以y=10t(t∈[0,1.1].
當t∈[1,+∞)時,(a為常數)
由圖可知,圖象過點(0,0.1)
所以,所以t=0.1.
綜上,
(2)依題意t∈[0.1,+∞),所以
因為在R上是減函數,所以,-0.1>0.5,所以t>0.6.至少需要經過0.6小時后,學生才能回到教室.
21.解:(1)因為f(x)的定義域為R,所以xI<*2,則.因為x1
(2)因為f(x)為奇函數,所以f(-x)=f(x),即,解得:a=1.所以.
由以上知，因為2x+1>0,所以-1
所以f(x)的值域為(-1,1).
22.解:f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2(0≤x≤1),對稱軸為x=a.
(1)①時,M(a)=f(1)=1-2a,②時,M(a)=f(0)=0,所以
(2)①a<0時,m(a)=f(0)=0,
②0≤a≤1時,m(a)=f(a)=-a2.
函數概念范文第2篇
【摘要】本文為研究函數在一點連續的概念教學，在APOS理論的視角下，經過一系列內化、壓縮、解壓縮的心理機制，建立 “函數在某一點的連續性”的三個等價定義的圖式，形成概念域.
【關鍵詞】APOS理論;連續性
一、引 言
函數的連續性是函數的一個最基本的概念，是運用極限方法對連續性現象進行研究，而函數在一點的連續性的三種定義的關系是認知連續性概念的思維障礙點.杜賓斯基提出APOS理論，主要應用于概念教學，注重概念的形成與學生思維建構的過程.因此，本文以APOS理論為基礎，教師要能夠有針對性地為“函數在一點的連續性”的教學方案提供依據，幫助學生克服對連續性概念的認知障礙.
二、相關概念
（一）函數在一點連續的定義
在連續函數的概念中，對于函數在一點的連續性，有下面三種常見的定義方式：
定義1 設函數f（x）在某U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0連續.
定義2 設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點x0連續.
定義3 設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時有，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點x0連續.
（二）APOS理論
杜賓斯基以皮亞杰提出的建構主義為基礎，提出了數學概念學習的APOS理論模型.該理論模型認為學生學習數學概念是要進行心理建構的，此建構過程要經歷以下四個階段：活動、過程、對象、圖式.其中，“活動”是個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指定去變換一個客觀的數學對象.當“活動”經過多次重復而被個體熟悉后，就可被內化為一種稱之為“程序”的心理操作.當個體能把“程序”作為整體進行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象”.一個數學概念的“圖式”是指相應的“活動”“程序”“對象”以及與某些一般原理相聯系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認知框架，可以用于解決與這個概念相關的問題.“活動”“過程”“對象”也可看作數學知識的三種狀態，“圖式”是由這三種知識結構構成的一種認知結構.
三、APOS理論視角下函數在一點連續的概念的教學研究
（一）運用APOS理論的可行性分析
學生對于“連續性”的初始概念圖像，是坐標平面上一條連綿不斷的曲線，而不是在一點上具有連續性，故而函數在一點的連續性與學生所認知的連續性的概念形象就產生了認知沖突，可能導致學習障礙.內化與壓縮作為APOS理論的重要心理機制，可以對函數在一點連續性的學習障礙提供解釋與解答.教師可利用APOS理論，在過程階段與對象階段，結合函數極限構造函數在一點連續的概念圖像，將極限概念過渡到連續性概念，幫助學生克服函數在一點連續性的學習困難，從而形成對函數在一點連續的真正理解.
對于函數在一點連續的三個等價定義，在教材安排上，不同版本的教材采用的編排順序不同，但都是在學習函數極限之后，采用上述定義中的某個定義引入連續性概念，進而將另外兩個定義作為等價定義給出.因此，在認知層面上，對上述三種定義的教學，要把握極限理論中極限概念和連續性概念的聯系.選取不同的定義引入連續性概念，會影響初學者對該概念的理解以及所出現的學習障礙.
（二）APOS視角下函數在一點連續的概念的教學研究
從幾何直觀上看，連續函數是坐標平面上一條連綿不斷的曲線，故學生對連續性并非完全陌生的，將學生所認知的自然界的連續變化反映在數學上，就是量的變化，而反映這種連續變化現象的數量關系就是函數的連續性.連續函數的概念是“隱性”的，需要通過外顯的活動，將連續性呈現出來，由此獲得連續函數概念的“表象”.
（三）關于三個定義的教學研究
1.定義1的教學研究
問題1：分別畫出①f（x）=x，②f（x）=1x，③f（x）=x+2（x≥0），x-2（x<0）的圖像，并思考下述問題：（1）圖像是否連續？若是不連續，又在哪里間斷？圖像斷開的原因是什么？（2）當x→0時，函數極限值分別是多少？
通過解答（1），學生單個地分析函數是否連續以及圖像斷開的原因，將這個過程經過多次重復后，學生能通過對比①②③發現x=0是②③是否連續的關鍵點.解答（2）時，當圖像出現間斷，學生不得不運用函數左、右極限進行計算.學生通過計算，便會猜想當x趨于0時的函數極限、函數在x=0處的函數值與函數的圖像連續存在聯系.這種思考過程即心理機制上的內化，進而達到“程序”階段.
問題2：接下來脫離具體情境，將x=0拓展到x=x0的情況，將情境中的函數圖像歸納為下述情況，如圖1，圖2，圖3所示，繼續思考上述問題.
教師引導學生思考：若是函數在點x0處出現間斷，依照問題1的思考過程，借助圖像，運用左、右極限的知識加以理解.對于圖1，函數在點x0處出現間斷，對于函數曲線上斷開的點f（x0）可歸為左側圖像，那么，函數在點x0處的左極限恰好等于這一點的函數值f（x0），即limx→x-0f（x）=f（x0）.對于圖2，函數曲線上斷開的點f（x0）可歸為右側圖像，那么，函數在點x0處的右極限恰好等于這一點的函數值f（x0），即limx→x+0f（x）=f（x0）.對于圖3，函數在點x0處沒出現間斷，那么這點不僅可以歸為左側圖像，也可以歸為右側圖像，由左右極限的定義，可得limx→x0f（x）=f（x0）.
教師要讓學生意識到：曲線在某一點連續與不連續的差別，在于曲線在該點處的函數值是否產生了“突變”，并且發現函數在點x0連續應滿足三個條件：函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義;極限limx→x0f（x）存在;極限limx→x0f（x）的值等于點x0處的函數值f（x0）.此時，上述“程序”就已經被“壓縮”為一種“對象”.
最后，教師引出函數在點x0處連續的定義為：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若limx→x0f（x）=f（x0），則稱f（x）在點x0連續.
完成這個過程，APOS理論視域下，函數在一點連續的定義與函數極限的聯系，是之前所習得的函數極限圖式的進一步發展，形成函數連續性概念的新圖式.
2.定義3的教學研究
問題3：由于函數在一點的連續性是通過極限定義的，所以可類比函數極限的定義，試著用ε-δ語言敘述定義1.
學生思考：類比函數極限的定義，可由定義1得到其ε-δ語言，如表1所示：
教師細致分析，讓學生領會：討論極限時，假定f（x）在點x0某空心鄰域U。（x0）上有定義（f（x）在點x0可以沒有定義），而“函數f（x）在點x0連續”，則要求f（x）在某鄰域U（x0）上有定義.此時，對于|f（x）-f（x0）|<ε，當x=x0時總是成立的，所以在極限定義中的“0<|x-x0|<δ”換成了在連續定義中的“|x-x0|<δ”.
最后教師總結定義：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，若對任意的ε>0，存在δ>0，使得當|x-x0|<δ時，都有|f（x）-f（x0）|<ε，則稱f（x）在點x0連續.
這樣，圍繞limx→x0f（x）=f（x0）這個“對象”，定義1與定義3建立等價關系.
3.定義2的教學研究
對于定義2，教師可通過幾何知識更為直觀地進行教學.為理解“函數y=f（x）在點x0連續”的概念，教師引入增量的概念，記Δx=x-x0，稱為自變量x（在點x0）的增量或改變量.設y0=f（x0），相應的函數y（在點x0）的增量記為Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0）=y-y0.其中，自變量的增量Δx或函數的增量Δy為實數.
問題4：引進了增量的概念之后，固定點x0，反復變化下圖中Δx的大小，觀察其對應的Δy如何變化.
教師引導學生理解自變量的增量Δx或函數的增量Δy可以為正數、0或者負數.當Δx>0時，自變量x增大，函數的增量Δy>0，反之，當Δx<0時，自變量x減小，函數的增量Δy<0.
在“活動”階段，學生依次對h（x）和f（x）的圖像實施Δx的變化，以觀察其對應的Δy的變化.重復多次“活動”后，慢慢就內化為“程序”，學生能對比發現圖4的函數y=h（x）的圖像在點x0處間斷，保持x0不變，當Δx趨近于0時，點N沿曲線趨近于點N′，此時Δy為定值，在點x0處不連續.圖5的函數y=f（x）的圖像是一條連續變化的曲線，令f（x0）=M，f（x0+Δx）=N，保持x0不變，當Δx趨近于0時，點N沿曲線趨近于點M，Δy趨近于0.學生對整個區間上函數值的增量隨自變量的增量變化趨勢有整體認識，上述“程序”就被“壓縮”成一種“對象”.
最后，教師總結得到定義2：設函數f（x）在某鄰域U（x0）上有定義，記Δx=x-x0，Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），有limΔx→0Δy=0，則稱f（x）在點x0連續.
此時，學生對“函數在一點連續”的三個定義有了完整的形式化表述，但對三個定義的等價關系的認識還處于分離的狀態，所以，認識需要上升到“圖式”階段.教師要引導學生對定義2進行“解壓縮”，在定義2中，令Δx=x-x0，則Δy=f（x）-f（x0）=f（x0+Δx）-f（x0），當Δx→0時，有x→x0，Δy→0，則[f（x0+Δx）-f（x0）]→0，即f（x）→f（x0），可得limx→x0f（x）=f（x0）.該過程圍繞“limx→x0f（x）=f（x0）”，定義1與定義2建立等價關系.
四、總 結
對于“函數在某一點的連續性”的三個等價定義的教學，教師應引導學生主動建構，把握學生對概念的思維障礙點，避免讓學生死記數學概念，而無法理解“函數在某一點的連續性”的三個等價定義之間的關系.
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函數概念范文第3篇
1 從函數的“變量說”過渡到“對應說”
函數概念的教學要從實際背景和定義兩方面幫助學生理解函數的本質。初中階段從學生容易掌握的描述性函數定義入手, 即采用函數的變量說, 便于和實際相聯系。
構建函數的一般概念之后, 然后通過正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等具體函數的研究, 結合圖像分析, 繼續加深學生對函數概念的理解。在這里, 要注意函數體現變量之間的各種各樣的關系, 不要錯誤的以為函數就是y=kx+b一種類型。
進入高中階段, 要求用兩個數集之間對應的方式來闡述函數的意義。此時學生需要抽象的思考, 跳出函數的具體表達式的限制, 把“對應法則”作為函數概念的核心。這就是要求從變量說過渡到對應說。
對應說的函數概念, 可以形象化地的解釋為一架加工機。它把自變量加工成因變量。例如, 正方形的面積y是邊長x的函數, 記為y=x2, 對于每一個自變量x的值, 就有一個面積y=x2與之對應。這好像在加工機f中, 每輸入一個x, 就輸出一個x (y的值是x2) , 于是, 這個函數f就相當于“平方機”的作用。
在引入函數概念之前, 需要完成從常量到變量的轉變。字母除了表示定數外, 還可以表示變化的量。在學習函數之前, 初中學生可能寫出S=100t, 但是他們仍然不能從這一式子中看到變化過程。對于表達式x+y=5, 在學生已有的認知圖式中就是兩個定數相加為5, 并不能想到兩個量之間有“此消彼長”的內在聯系, 事實上, 此前學生的經驗只涉及常量的運算, 字母或符號在他們的認知結構中只是代表一個特定的具體數量, 這就是說, 把一個算式和運動聯系起來并不容易。
在實際教學中, 我們可以把定數表示為數軸上的一個定點, 而把變量看成式一個動點。特別地, t從0變到10就是動點沿數軸從0運動到10;再取自變量t的一系列特定值, 列出相應的另一個變量S (t) 的對應值, 并在坐標系上描出這些點, 這樣學生就容易感受到變量的真實意義。
2 理清初等函數概念教學中幾個典型的問題
問題1函數y=f (x+1) 中的自變量x是還是x+1?
答:函數y=f (x+1) 中的自變量x是, 如, 則, 顯然函數f (x+1) 中的自變量x是, 而不是 (x+1) , 一般的, 復合函數y=f (g (x) ) 的自變量都是x, 而不是g (x) 。
問題2已知f (x) 的定義域為[0, 1], 為什么f (x2) 的定義域由不等式確定?
答:為方便于理解, 我們構造一個具體的函數, , , f (x2) 的定義域為。一般的, 設函數f (x) 的定義域為D, 則函數y=f (g (x) ) 的定義域為。
問題3已知f (x+1) =x2+x, 求f (x) 時, 作變量代換t=x+1, 得f (t) =t2-t, 故f (x) =t2-t.這里為什么能將t換成x?
答:我們知道, 當且僅當兩個函數的三要素相同時, 兩個函數是同一函數。函數f (t) =t2-t與f (x) =x2-x的三要素都相同, 它們是同一個函數, 所以能將f (t) =t2-t中的t換成x, 本題實際上是求函數的對應法則, 它與表示自變量的字母無關。
問題4若函數y=f (x) 存在反函數, 函數y=f-1 (x+1) 的反函數是嗎?答:函數y=f (x+1) 的反函數一般不是y=f-1 (x+1) , 按求反函數的步驟可得, y=f (x+1) 的反函數為y=f-1 (x+1) -1。
3 結語
(1) 初等函數就是由基本初等函數經過有限次的四則運算與有限次的復合步驟所構成、并且可以用一個式子表示的函數[2], 教師在進行初等函數教學時, 最重要的是引導學生對初等函數基本的概念進行抽象或概括。
(2) 教師應適當選擇和設計具有挑戰性和開放性的問題, 以提高學生的探索層次, 擴展學生的思維空間。
摘要：中學初等函數教學是中學數學中的一個重點和難點, 本文運用了文獻資料法和筆者的多年經驗對中學初等函數概念的教學做出了實質性的建議, 希望能促進函數教學的發展和學生學習的進步。
關鍵詞：中學,初等函數概念,教學建議
參考文獻
[1] 匡繼昌.什么是初等函數[J].數學通報, 2007 (7) .
函數概念范文第4篇
關鍵詞：分段函數,圖像,ε-δ定義,極限
極限是高等數學中很重要的內容, 它是導數及微分的基礎, 理解極限概念是高等數學學習中的一個關鍵環節。然而, 極限對大一新生來說是非常抽象的, 尤其是上來就用ε-δ語言給出時, 學生更是無所適從。要搞好極限內容的教學, 必須考慮到學生邏輯思維較弱的事實, 盡量多用函數圖像, 數形結合, 幫助學生抓住極限概念的實質, 進而再引導、訓練他們運用邏輯思維來考慮問題。
1 極限的定義
以下列舉了幾類學生理解有困難的函數極限的定義。
極限定義1:
(1) 如果當undefined無限增大, 即x→∞時, 函數f (x) 無限逼近一個常數A, 那么就稱當x→∞時, f (x) 極限存在, 且數A就是x→∞時函數f (x) 的極限, 記做undefined。
自變量x→∞的含義是指x的絕對值無限增大, 它包含以下兩方面情況:
1) x取正值, 無限增大, 記做x→+∞;2) x取負值, 無限減小, 記做x→-∞。
(2) 如果當x→x0時, 函數f (x) 無限逼近一個常數A, 那么就稱當x→x0時, f (x) 極限存在, 且數A就是x→x0時函數f (x) 的極限, 記做undefined。
x→x0也包含兩個方面, 分別如下:
1) x從x0的左側方向趨近x0, 記做x→x0-;
2) x從x0的右側方向趨近x0, 記做x→x0+。
定義1的優點在于它比較通俗, 也比較形象, 但學生對該定義中的幾個要點理解會比較含糊, 比如, x是沿著任意途徑逼近x0、函數f (x) 無限逼近而不一定達到A等。我們需要尋找到合適的例子及其圖像幫助學生澄清這些要點。
極限定義2 (ε-δ) :
函數f (x) 在x0的某個空心鄰域u0 (x0, δ) 內有定義, A是一個確定的數, 若對任給的正數ε, 總存在某個正數δ, 使得當undefined時, 都有undefined, 則稱f (x) 當x→x0時極限存在, 且以A為極限, 記做undefined。
相比較定義1, 定義2比較精確, 它還給出了證明極限的方法, 這一點, 定義1是做不到的。但它對學生的邏輯思維能力要求較高, 這對大一新生、尤其是那些基礎較差的學生而言, 幾乎是無法理解的。也正是這個原因, 現在很多高職高專類高等數學自編教材中, 都將該定義刪除了。然而, 從培養學生邏輯思維和嚴謹的科學態度出發, 筆者認為, ε-δ語言定義應該介紹給學生。我們教師的任務就是, 幫助學生從形象思維逐漸向邏輯思維過渡。
2 利用圖像, 讓學生直觀理解
2.1 利用函數圖像, 幫助學生理解極限定義1中的幾個要點
例1:函數
作出圖像, 顯然, 當x→+∞時, y→0;x→-∞時, y→0, 所以x→∞時, y→0。通過這個例題, 讓學生從正面理解undefined。 (見圖1)
例2:函數y=arctanx, 作出圖像 (如圖2) , 顯然, 當x→+∞時, undefined;undefined所以, x→∞時, 函數極限不存在。通過這個例題, 幫助學生從反面去理解。
要想幫助學生理解極限定義1 (2) , 一般的初等函數圖像很難達到我們所要的效果, 有的甚至還起反作用。
例3:f (x) =x+1, 當x→1時, f (x) →2。這個例子容易讓學生將極限跟以后要學的連續混淆。 (見圖3)
我們可以在此基礎上, 進一步構造分段函數, 如, 作出圖像, x→1時, 不管是左接近, 還是右接近, f (x) →2, 稱undefined, 從而可以得出, 無限逼近并非一定達到這樣一個抽象的結論。 (見圖4)
例4:我們還可以構造分段函數, , 作出圖像, 顯然此時, 學生會發現x左逼近1時, 函數逼近2;x右逼近1時, 函數逼近1, 那么, 我們不能說x→1時, f (x) 的極限為2, 事實上, 此時, 函數無極限。 (見圖5)
2.2 利用分段函數圖像幫助學生理解ε-δ語言
極限定義1 (2) 基本上可以讓學生從圖像上形象地去辨別, 當x→x0時, f (x) 是否有極限, 以及相應的極限是什么, 但如果沒有圖像, 任給一個函數, 問為什么undefined而不是B, 學生將無法回答, 所以, 定義1局限性很強。而ε-δ語言定義給學生提供了一種證明極限的工具, 但它比較抽象, 我們可以利用分段函數圖像, 先讓學生感性地接受ε-δ語言。
例5:
undefined
, 從圖中可知, 當x→1時, f (x) 在2的左右波動, 不管波動范圍ε多么小, 都存在一個δ, 使得當undefined時, undefined。
當undefined時, 根據圖6, 我們很容易找出, undefined, 當undefined時, 有undefined。
類似的當undefined我們都能驗證。所以說, 當x→1時, f (x) →2。 (見圖6)
在學生對ε-δ語言已經有一定的感性認識基礎上, 再給出ε-δ語言定義。我們也可以從ε-δ語言定義去解釋, 為什么x→1時f (x) 的極限不是1。
從圖7中易知, 當undefined時, undefined, 但我們很輕易就發現, undefined, 卻有undefined, 所以x→1時, f (x) 的極限不是1。 (見圖7)
最后, 給學生指出, ε-δ定義揭示的同樣是無限趨近這樣一個實質, 所以定義2和定義1語言形式雖不一樣, 但描述的極限的本質是一樣的。
總之。極限定義是非常重要的, 教師在教學過程中, 要充分相信學生, 結合學生的認知規律, 幫助學生在思維上突破約束, 實現質的飛躍。
參考文獻
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[3]華東師范大學數學系.高等數學:第2版[M].上海:華東師范大學出版社, 1991.
函數概念范文第5篇
函數是中學數學的核心內容,它貫穿于中學數學的始終,是解決許多數學問題的工具和模型,其重要性不言而喻。我所執教的班級是我校創新實驗班,學生基礎較好。雖然在初中學生已學過函數概念,但僅僅是從變量的角度對函數概念的感性認識。由于高中函數概念比較抽象和學生思維發展水平的原因,它成為教學中的一個難點。本設計從學生已學過的初中函數概念入手,結合變式教學,對這一概念進行突破。
[問題提出]
函數概念由定義域、對應法則和值域三要素組成,對應法則是函數概念的核心,也是學生理解的難點,本設計通過揭示對應法則的不同表現形式,并利用數形結合的方法對難點加以突破。
[教學設計]
環節一:函數概念的變式引入
師:初中我們學習了函數的概念,還學習了具體的函數,如一次函數、二次函數,請同學們回憶一下函數定義。在某一變化過程中有兩個變量,設為x和y,如果在變量x的允許值范圍內,變量y隨著x的變化而變化,它們之間存在確定的依賴關系,那么變量y叫做x的函數。請你舉一個具體函數的例子。
師:在函數的定義中,有兩個變量,在變化過程中,一個變化時,另一個也跟著變化。請你結合例子說明它們之間確定的依賴關系如何?
生:對x每一個確定的值,y都有唯一確定的值和它對應,如y=x2,x→x2。
師:變量x的值怎么給出?
生:變量x的值通過x的允許值范圍給出。比如,y=x2中,x∈R;S=πr2中,r∈(0,+∞)。
師:從集合的觀點看,“變量x的允許值范圍”是一個實數集合記做D,x和y間“確定的依賴關系”記做對應法則f,我們可將上述函數定義具體敘述如下。
定義:在某變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某個實數集合D內的每一個確定的值,按照某個對應法則f,y都有唯一確定的實數值與它對應,那么y就是x的函數,記做y=f(x),x∈D。其中x叫自變量,x的取值范圍D叫做函數的定義域;與x的值相對應的y的值叫做函數值,函數值的集合{f(x)|x∈D}叫做函數y=f (x)的值域。
師:函數y=x2的值域是多少?
師:函數的構成有幾部分?
函數由定義域、值域和對應法則三部分組成,對應法則是核心,這就是函數的三要素。
設計意圖:初中的函數概念是用變量間的依賴關系對函數概念進行描述性定義的,而高中函數概念是用對應的觀點給出函數的現代定義。兩個定義比較如下表。
這里從學生初中已學過的變量觀點下的函數概念入手,利用集合對應的觀點重新認識函數,自然引出對應觀點下的函數定義,既符合教材的設計要求,也符合學生的認知特點。
環節二:函數概念的變式表征
問題1:判斷下列各例中的對應關系是否為函數關系?如果是函數關系,說出其對應法則、定義域和值域。
1.一物體距地面10m,從靜止開始下落,下落的距離y(m)與時間t(s)之間近似滿足關系y=4.9t2;y與t的對應關系y=4.9t2是函數關系,其對應法則為4.9×t2,定義域為[],值域為[0,10]。
2.下表是上海市2015年1月18日0點到23點整點氣溫列表。表格給出的氣溫與時間的對應關系是函數關系,對應法則如表,該函數的定義域為{0,1,…,23},值域為{3,4,6,7,8,9,10}。從表中可以知道每個時點的溫度,但不容易看出24小時氣溫的變化情況,如果將“氣溫”與“時間”的關系用圖像表示出來,就能直觀地看到氣溫變化的情況。
3.下圖是網上的截圖,表示上海市2015年1月18日0點到23點氣溫變化的函數圖像。函數定義域為[0,23],值域為[3,10],其對應法則如圖,當0≤t≤7時,θ=3℃;當7≤t≤8時,θ=t-4°C;……;當21≤t≤23時,0=6℃。
一般情況,函數對應關系的表現形式通常有三種:(1)解析法,用一個等式表示出x與y的關系;(2)列表法,用表格表示出x與y的對應關系;(3)圖像法,以數對(x,y)為點的坐標描繪出能反映x與y的對應關系的曲線。
師:三種表示法各有所長,我們要根據具體情況,選擇恰當的方法來表示所要研究的函數。
設計意圖:通過對應法則的各種變式,展示了函數常見的三種不同的表示方法,豐富了學生對函數概念的認識,突出了函數的核心——對應法則。
環節三:函數概念的變式辨析
問題2:下面各例中的對應關系是否是函數關系?為什么?
(1)y=l;(2)。
分析:(1)y=1是函數,對應法則為y=1,定義域為R,值域為{1}。
(2)滿足條件的自變量x不存在,所以該解析式不表示函數。
問題3:設集合M={x|0≤x≤2},N{y|0≤y≤2},函數f(x)的定義域為M,值域為N。哪些圖形是函數f(x)的圖像?概括一個圖形是函數圖像的特征是什么?
圖形①表示的函數定義域不是M,圖形③表示的函數值域不是N,圖形④不滿足函數對應法則的要求,只有圖形②滿足f(x)的要求,所以圖形②是f(x)的圖像。
根據函數的定義,函數圖像與垂直于x軸的直線最多有一個交點。
問題4:下列函數中哪個與函數y=x是同一個函數?
解:（1),定義域不同且值域不同,不是同一個函數;
(2),定義域與對應法則都相同,是同一個函數;
(3),值域不同,不是同一個函數;
(4)兩個函數是否相同,只與函數的定義域和對應法則有關,而與表示變量的字母無關,因此y=t與y=x是同一函數。
師:兩個函數只有當定義域、對應法則和值域完全相同時,兩個函數才能稱為同一函數。體現在圖像上,同一函數的圖像在同一坐標系中完全重合。
問題5:你能否舉出定義域和值域都相同而對應法則不同的函數?如y=x與y=-x;y=x2與y=|x|等。
設計意圖:通過對以上幾個問題的辨析,進一步強化學生對函數三要素的認識,特別是對應法則的重要性,強化函數關系必須滿足x的取值集合非空,對于每一個X的值都有唯一確定的y值與之對應。
環節四:函數概念的變式應用
例1:已知,(1)求f(x)的定義域;(2)求f (1),f ()的值;(3)求f(x+1)及其定義域;(4)求該函數的值域。
解:(1)定義域[-1,1];
定義域為[-2,0];
(4)因為-1≤x≤1,所以0≤x2≤1,,f (x)的值域為[0,1]。
設計意圖:學習概念的目的是應用,反之,應用能促進概念的深刻理解。為了更好地運用概念,需要將概念具體化,通過具體問題的分析,為學生更好地應用概念解決問題奠定基礎。
[自我反思]
本節課從初中函數的變量說過渡到高中函數的對應說,通過對應法則的不同表現形式和具體函數例子,豐富了函數的概念,加深了學生對函數概念的理解。函數y=f(x)中的f為對應法則,三要素中對應法則為函數的核心,定義域為函數的基礎,值域由定義域和對應法則確定。由于對應法則或定義域的變化產生了多樣的不同的函數。
變式教學是我國數學教學的傳統特點,在教學實踐中,它已被我國廣大數學教師自覺或不自覺地應用著。利用概念的變式——正例和反例,可以幫助學生直觀具體地對概念進行多角度理解,從而實現難點的突破。
函數概念的核心是對應法則,也是學生理解的難點,本節課通過揭示對應法則的不同表現形式,并利用直觀的圖像,把抽象的對應法則轉化為具體形象的實例,從正反兩個方面幫助學生加深對函數概念的理解,取得了滿意的效果。
[專家點評]
高中的函數概念是中學數學中的重要概念,高中階段的函數概念是在初中函數概念基礎上,用集合、對應的語言和記號更精確地來定義的。張忠旺老師對本課的概念教學做了精細的設計。從初中的函數定義出發,通過實例分析,教師引導,學生討論,使學生從初中的兩個變量間依賴關系的認識,提升到自變量x與因變量y的對應關系;從初中函數自變量x允許取值范圍的表述,提升到定義域的集合表示;將對應關系具體化為對應法則f及記號y=f (x),x∈D;將函數值的取值范圍定義為函數值域,從函數三要素體現了高中函數概念深化。在本教學設計中,組織教學,例題設計,十分自然流暢,使難點得到有效突破。
函數概念的變式表征的教學是通過三個問題為載體的,這三個問題的設計從學生學習和生活實際出發,對三種函數的表示方法及相互關系有生動的表述,特別是在24小時內溫度變化的圖像表示中,還設計了如何用解析式分段表示,很有新意。這段內容的教學豐富了學生對函數概念的認識。
函數概念范文第6篇
1. 教學目標。
⑴理解一次函數與正比例函數的概念及它們的關系, 在探索過程中, 發展抽象思維及概括能力, 體驗特殊和一般的辯證關系。
⑵能根據問題信息寫出一次函數的表達式, 能利用一次函數解決簡單的實際問題。
⑶經歷利用一次函數解決實際問題的過程, 逐步形成利用函數觀點認識現實世界的意識和能力。
2. 教學重點難點。
重點:一次函數、正比例函數的概念及關系。會根據已知信息寫出一次函數的表達式。
難點:理解一次函數、正比例函數的概念及關系, 在探索過程中, 發展抽象思維及概括能力。
二、教學過程
1. 創設情景, 引入課題。
教師展示圖片: (圖片上是2010年上海世博會場景)
問題1:綠色環保是本屆世博會的核心理念, 請同學們思考綠色環保如何從我做起?
學生暢所欲言, 各抒己見。教師給予積極肯定的評價, 并展示了和生活緊密相連的三張圖片:第一張是珍惜每一粒糧食;第二張是節約每一度電;第三張是珍惜每一滴水。讓學生感受綠色環保離我們并不遙遠, 只要把身邊的小事做好, 我們就是在為綠色環保做貢獻。
(設計意圖:為學生提供展示自我才華的平臺, 增強了學生的自信心, 激發學生對本節課的學習興趣, 同時, 還倡導學生環保要從身邊做起, 從小事做起, 進一步加強德育滲透。)
問題2:為了加強公民節水意識, 我市制定了如下用水收費標準:每戶每月用水量不超過10噸時, 水價為每噸1.2元, 超過10噸時, 超過部分按每噸1.8元收費, 設某戶居民月用水量為x噸, 月交納水費y元。
(1) 當0≤x≤10時, y與x的函數關系式為_____________。
(2) 當x>10時, y與x的函數關系式為__________________。
(學生獨立完成) , 教師板書 (1) y=1.2x。 (2) y=1.8x-6。
(設計意圖:以節約用水為背景, 引出實際問題, 這個問題的兩個答案一個是正比例函數, 以此復習正比例函數的有關知識點, 另一個不是原先學過的正比例函數, 引發學生對函數特征的思考。這個實際問題既喚起學生已有的知識經驗, 又有助于新知識的自然展開, 而且還讓學生從直觀上認識一次函數與正比例函數的不同點, 為一次函數概念的形成做好鋪墊。)
問題3:問題2中y=1.2x是正比例函數嗎?為什么?y=1.8x-6是正比例函數嗎?它與正比例函數有什么不同?這種形式的函數還有嗎?
讓學生暢所欲言, 將y=1.8x-6與正比例函數y=1.2x作對比, 發現多了一個常數項, 學生仿照舉出另外一些例子, 正確的教師給予肯定。
教師總結:y=1.8x-6是不同于正比例函數的另一類函數——一次函數。本節課我們一起來研究一次函數。 (板書課題)
(設計意圖:在學習了正比例函數的定義之后, 一次函數的學習相對容易, 設計這一問題讓學生從直觀上認識一次函數與正比例函數的不同點, 為一次函數概念的形成做好鋪墊。)
2. 探索實踐, 自主歸納。
問題1:下列問題中變量間的對應關系可用怎樣的函數關系式表示?
⑴某登山隊大本營所在地的氣溫為5℃, 海拔升1km氣溫下降6℃, 登山隊員由大本營向上登高xkm時, 他們所在位置的氣溫是y℃, 試用解析式表示y與x的關系。
⑵有人發現, 在20～25℃時, 蟋蟀每分鐘鳴叫次數C與溫度t (℃) 有關, 即C的值大約是t的7倍與35的差, 試用解析式表示c與t的關系。
⑶一種計算成年人標準體重G (千克) 的方法是, 以厘米為單位量出身高值h減去常數105, 所得的差是G的值, 試用解析式表示G與h的關系。
⑷某城市的市內電話的月收費額y (元) 包括:月租費22元, 撥打電話x分的計時費按0.1元/分收取, 試用解析式表示y與x的關系。
逐一出示題目, 并由學生獨立完成, 此處不必對自變量取值范圍作深入追究, 重在正確得出關系式。答案如下:
(設計意圖:讓學生體會函數是用來刻畫現實世界中兩變量之間的關系, 培養學生的數學建模意識。)
問題2:上面這些函數有什么共同點?
學生分小組討論, 總結歸納, 每個小組派代表發言, 教師要給予積極肯定的評價。教師引導學生自己得出上面這些函數的形式都是由自變量的k (常數) 倍與一個常數的和, 并把它們抽象成 (k、b是常數, 且k≠0) 的形式, 得到一次函數的概念。
(板書) 一次函數的概念:一般的, 形如 (k、b是常數, 且k≠0) 的函數, 叫做一次函數。
(設計意圖:這里表示變量的字母雖然不同, 但結構相同, 進一步揭示函數的本質在于對變量間對應關系的反映, 而與所取符號無關, 發展學習的抽象思維能力及概括能力, 培養學生用抽象符號揭示一般規律的能力。)
問題3:一次函數與正比例函數之間的區別與聯系。
學習獨立思考得出結論。
從解析式角度:當b=0時, y=kx+b (k、b為常數, 且k≠0) 就成了y=kx (k為常數, 且k≠0) 。因此, 正比例函數是一種特殊的一次函數。
從集合角度分析:
(設計意圖:讓學生明確從特殊概念向一般概念推廣的認識過程, 體會類比和聯想的方法, 培養由此及彼的認識問題能力。)
3. 鞏固新知, 應用新知。
練習1:請指出下列函數哪些是一次函數?哪些是正比例函數?
答案: (1) (4) (5) (6) (8) 是一次函數, 其中 (4) 又是正比例函數。特別注意回答一次函數時需包含正比例函數。
(設計意圖:沒有采用傳統的識別函數關系式的習題, 而是用一棵象征“函數”的大樹的樹枝來代表函數關系式, 這樣做既鞏固了一次函數的概念, 又讓學生體會函數的多樣性, 激發學生的求知欲。)
練習2:一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動, 其速度每秒增加2米。 (1) 求小球速度v (單位:米) 隨時間t (單位:秒) 變化的函數關系式, 它是一次函數嗎? (2) 求第2.5秒時小球的速度?
解: (1) 函數關系式為v=2t (t>0) 。
(設計意圖:引導學生逐步形成用函數觀點認識現實世界的意識和能力, 進一步培養學生的數學建模能力。)
4. 回顧反思, 升華提高。
本節課你學到了什么?是如何學的?為什么要學?
作業:必做題是教材第120頁第3題、第9題。選做題是練習冊第71頁第1題到第5題。