函數值域范文第1篇
一、利用函數的單調性
例1 求函數undefined的值域。
解:因為函數f (x) 的定義域為 (2, 6) , 且在定義域上是減函數。又因f (2) 的值為+∞, f (6) =log126, 因此函數f (x) 值域為 (log126, +∞) 。
例2 求函數undefined的值域。
解:函數定義域[-2, 7]。在定義區間上, 函數undefined與undefined都是增函數, 根據增函數的特點易得undefined, 即undefined。所以函數值域為undefined。
二、利用均值定理
例3 求函數undefined的值域。
解:變形undefined, 因此當x>0, 分母用均值定理就可以得到undefined, 當x<0時, undefined。因此f (x) 的值域為undefined。
三、運用判別式法
例4 求函數undefined的值域。
解:將函數式去分母并整理得: (y-1) x2- (2-y) x-3y-1=0 (1)
當y=0時, 由△= (2-2y) 2-4 (y-1) (-3y-1) ≥0解得y≥1或y≤0。
若y=1, 由 (1) 知x不存在。
若y=0, 由 (1) 得x=1, 在定義域內。
所以函數的值域為:y∈ (-∞, 0]∪ (1, +∞) 。
四、換元法
例5 求函數undefined的值域。
解:設undefined, 則t≥0, 且undefined。
undefined, 即undefined。
所以函數的域為undefined。
例6 求函數undefined的值域。
解:令x+1=4cos2α, 則3-x=4sin2α
所以undefined, 它的值域為undefined。
五、運用三角函數的有界性
例7 求函數undefined的值域。
解:∵2-cosx>0, ∴函數式可變形為 (2-cosx) y=2-sinx。即
sinx-ycosx+2 (y-1) =0
從而就有解得 (-y) 2+1-4 (y-1) 2≥0 , ∴解之得undefined。
故函數的值域:undefined。
六、數形結合法
再看上例例7設A (2, 2) B (cosx, sinx) 因此y就是直線AB的斜率, 而動點B的軌跡是一個單元。這時就是求函數的斜率的取值范圍。因此設直線AB的斜率為K, 它的直線方程為y-2=k (x-2) 它與圓相切, 因此, 圓心到原點的距離為R, 從而求得undefined。
函數值域范文第2篇
1. 課本知識再現
教科書(以人教版為例)對函數值域問題的相關描述是：(1)在定義函數后給出了函數值域的定義和表示方法;(2)羅列出了基本初等函數(如一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、三角函數)的值域，并沒有具體說明如何去求這些函數的值域，這無形中給學生的學習帶來了很大的困難(學生感覺對函數求值域問題無例可參，無法可依)，同時又給教師的教學提供了更廣闊的空間，于是求解函數值域問題的各種方法和技巧應運而生。
2.函數值域的求法
函數的表示方法有列表法、圖像法、解析法, 下面分別介紹在這三種情況下如何求函數的值域。
2.1列表法給出的函數, 其值域就是表格中相應y取值的集合。
2.2圖像法給出的函數, 其值域就是函數圖像在y軸上的正投影覆蓋y軸的部分。
2.3解析法給出的函數, 就要根據函數解析式的不同結構, 靈活地選擇方法求其值域, 值得注意的是這往往是多種方法的綜合, 并不是某一種方法就能解決的問題。
2.3.1對于簡單的一次整式型函數, 可以結合其定義域進行觀察、分析, 直接得出函數的值域。如果求這類函數在某區間內的值域, 有時可以采用單調性法 (若該函數在此區間內單調) , 如函數f (x) =2x+3在 (-1, 3) 的值域就可由f (-1)
2.3.2二次函數求值域, 一般采用配方法, 其關鍵在于將函數的解析式正確地化成完全平方式, 但要特別注意二次函數在R上的值域和它在某區間內的值域是不同的。如二次函數f (x) =x2-2x+3= (x-1) 2+2≥2, 其值域為[2, +∞) (這里隱含x∈R) , 而函數f (x) =x2-2x+3 (-1
2.3.3分式型函數求值域大致可分為以下幾類。
2.3.3.1函數解析式的分子和分母都是x的一次式 (如函數若原函數的值域不易直接求解, 可以考慮求其反函數的定義域, 根據互為反函數的兩個函數定義域與值域互換的特點, 確定原函數的值域, 可采用反函數法, 也可用分離常數法。
2.3.6數形結合法。如果函數的解析式有較明顯的幾何意義, 可借助幾何法求函數的值域, 形如可以聯想兩點 (x, y) 與 (x1, y1) 的連線的斜率;由可聯想兩點 (x, y) 與 (x1, y1) 的距離。
2.3.7導數法。通過導數可求函數在一個閉區間上的最大值和最小值, 即得出函數的值域。此法主要用于高次函數或不同的基本初等函數構成的較復雜函數的值域。課本中有較詳盡的介紹, 這里不再贅述。
摘要：函數的值域取決于函數的定義域和對應法則, 求函數的值域涉及各種數學思想方法和代數式的變形技巧等, 具有一定的靈活性。本文就中學階段出現的各種函數值域問題進行分類研究。
關鍵詞：函數,值域,方法,技巧
參考文獻
[1]人民教育出版社數學室編著.全日制普通高級中學教科書.數學必修.北京:人民教育出版社, 2006, 11.
函數值域范文第3篇
一、求函數值域的常用方法
1.觀察法.
此方法常應用于解析式比較簡單的函數, 如y=2x2+3, y=, y=log2 (-2x) 等, 此類函數能一目了然地看出函數的值域, 或用心算也能求出函數的值域.
2.判別式法.
此方法多用于求分式函數或無理函數的值域中, 運用此方法時必須全面慎重地考慮已知條件, 否則容易產生“漏判”、“誤判”等情況, 出現擴大值域范圍的錯誤.因此, 若有別的方法, 應避免用判別式法.
例如:求的值域.
解:函數關系式可改寫成關于x的方程
(y-2) x2+ (2-y) x+y-3=0,
當y≠2時, 因為x為任意實數, 所以Δ= (2-y) 2-4 (y-2) (y-3) ≥0,
解得:2≤y≤, 因為y≠2, 所以2
當y=2時, 方程顯然無解, 綜合有函數的值域為{y|2
3.求反函數的定義域法.
由于函數y=f (x) 的定義域和值域分別是函數x=f-1 (y) 的值域和定義域, 所以可以通過求反函數的定義域來求原函數的值域.
例如:求函數的值域.
解:由y=可得.要使x有意義, 必有y≠
∴函數的值域是y≠的一切實數.
4.換元法.
換元法在數學解題中有著極其廣泛的應用, 它通過引入新變量來代替原式中某些量, 將原式化繁為簡, 化難為易, 使問題發生有利的轉化, 以利于問題的解決.
例如:求函數y=x2+4-4的值域.
解:設t=, 則t≥1, 將x2=t2-1代入原函數解析式化簡得:
y=t2-1+4-4t= (t-2) 2-1 (t≥1) .
因此y≥-1, 故原函數的值域為[-1, +∞) .
5.利用基本不等式法.
在必修5中我們學習過, 如果a、b都是正數, 那么 (當且僅當a=b時等號成立) , 我們稱上述不等式為基本不等式, 它有著極其廣泛的應用, 也是求值域的一種方法.
例如:求函數的值域.
6.圖像法.
通過觀察函數圖像求函數的值域是一種比較好的方法, 清楚、直觀、快捷, 這里不再贅述.
二、求函數值域的特殊方法
1.數形結合法.
通過數形結合, 可以實現代數問題和幾何問題的相互轉化, 以新的視角去分析和解決問題, 能夠加深對問題的認識和理解, 實現不同知識間的融會貫通, 別有一番意義.
例如:求函數的值域.
解:觀察的形式, 可以聯想到兩點間距離公式, 原式可改寫為, 因此y表示動點A (x, 0) 到定點B (2, 2) 、C (-1, 2) 的距離和 (如圖) , 根據初中平面幾何的知識易知, 當點A與點B、點C關于x軸的對稱點D共線時, |AC|+|AB|的值最小, 此時|AC|+|AB|=|BD|=5, 當點A在x軸上向左或向右移動時, |AC|+|AB|的值可以無限大, 因此此函數的值域是[5, +∞)
2.輔助角法.
輔助角法是高中數學中一種基本的解題方法.對于解析式中含有形如a si nx+bcosx的函數, 可以提取, 變換為, 再根據正弦函數的值域得出原函數的值域.
例如:求函數y= cos3x+3sin3x的值域.
函數值域范文第4篇
一、忽視負號, 生搬硬套
問題1求函數的值域, 函數的值域。
問題2求函數f (x) =|x+3|-|1-x|的值域, 函數g (x) =|x+3|+|1-x|的值域。
簡析:教師應重點強調雙根式型和雙絕對值型函數值域問題求解的基本方法和特殊方法, 尤其是易錯點。上面兩組問題在函數表達式的結構形式上只差一個負號, 但在解法上不一樣, 學生容易類比遷移解題, 出現錯誤, 具體解法如下。
問題1:易知函數的定義域{x|-3≤x≤1}, 由于函數為遞增函數, 函數也為遞增函數, 根據在公共定義域中, “增函數+增函數=增函數”的單調性質, 函數f (x) 為遞增函數。
∴f (-3) ≤f (x) ≤f (1) , 即-2≤f (x) ≤2。
顯然函數g (x) 不能根據“增+減=增 (減) ”的單調性進行判斷, 而采用等價轉化的形式來處理, 由于
該題另一解法雙換元后數型結合處理, 令則u2+v2=4 (u, v≥0) 且直線l∶u+v=y, 即直線v在軸上的截距等于y, 數型結合易知
問題2:該類雙絕對值型解法有三種, 在利用絕對值不等式性質解題時易出錯。絕對值不等式性質:|a|-|b|≤|a±b|≤|a+b|, 具體解法如下。
∵‖x+3|-|1-x‖≤| (x+3) + (1-x) |=4,
∴-4≤|x+3|-|1-x|≤4, 即-4≤f (x) ≤4, 本題易錯認為 (x+3) - (1-x) ≤4。
而x+3+1-x≥ (x+3) + (1-x) =4, 即g (x) ≥4。
另一解法是利用絕對值的幾何意義, 轉化為數軸上的點到點-3與1距離之差或距離之和, 說明-3與1兩點將數軸化分為三段, 結合數軸易找出答案。還有一種解法是去掉絕對值, 劃分為三段的一次分段函數, 做出圖像, 由圖像可知。
點評:利用函數的單調性求值域是常見的方法, 除導數法處理外, 復雜函數的形成大體分兩類, 第一類由基本初等函數加減乘除四則運算組合而成, 另一類由復合而成。但對單調性的處理截然不同, 第一類要熟記一些性質, 如增+增=增, 增—減=增, 第二類的處理根據同增異減的法則處理。
二、名稱不一, 方法有別
問題3求下列函數的值域:
簡析:易發現這兩個函數的分母只有函數名稱不一樣, 可解法截然不同, 同名的可用函數的有界性解決, 異名的應用數型結合更方便。
解: (1) 函數的定義域sinx+2≠0,
∴x∈R, 原式可化為。
由于-1≤sinx≤1, 則轉化為分式不等式組, 后解略。
(2) 可看做過定點 (-2, 1) 與動點 (cosx, sinx) 連線的直線斜率, 由于動點是單位圓上的點,
∴看做過點 (-2, 1) 向單位圓引的兩條切線的斜率, 由解出k=0或
三、不顧定義, 亂用均值
問題4求下列函數的值域:的值域, 的值域。
簡析:上兩式分子的常數不一, 可利用的思想完全不同, 如果不細心函數的定義, 通用均值不等式法, 有點畫蛇添足。兩式可化為使用均值不等式, 忽視均值不等式成立的“一正二定三相”等條件, 尤其是取最值時, 自變量是否在定義域內, 否則, 利用單調性判斷,
四、次數之分, 換元有別
問題5求下列函數的值域:
簡析:運用換元法將所給函數的解析式化為較易求解的函數, 上兩式根號里有次數之別, 全用換元思想, 當次數是一次時用代數換元, 形如的用普通換元法, 轉化為二次函數值域的求解, 表達式中含有結構的用三角換元法。
解的定義域為{x│x<1}。
函數值域范文第5篇
一、配方法
所謂配方法, 具體是經過對二次函數類的相關值域進行求解, 若是給出的函數為二次函數或是能夠化解成為二次函數的復合函數, 其都能夠使用配方法對相關的題目進行解答。
例題:求解函數y=x2+4x+2的值域。
在對這種題目進行解答的時候, 我們不僅要對其中存在的相應關系進行使用, 還需要尤其重視定義域在對值域限制方面的作用。在這個基礎上使用配方法能夠獲得很好的效果, 這也是解決函數值域問題中必備的一種解題思路。[1]
二、反函數方式
反函數求解方式也為逆求方式, 其具體是適用于在對函數進行直接求解比較困難的時候, 我們就能夠通過對函數之間的關系進行解讀, 即為反函數相關定義和值域之間的相互反逆關系。在求出的反函數定義域基礎上, 求解原函數正確的值域。
三、換元法
所謂換元法, 其是把函數轉變成為相對簡單的函數, 這種方式比較適用于一些函數解析式中存在的根式或者是三角函數公式等等。將這種方式使用在實際的解題中, 能夠讓我們對函數在相關區間里三角函數值域以及其正確的值域找到求解方式。
四、直接觀察法
五、結束語
函數值域問題是高中數學知識結構體系中最為關鍵的構成部分, 在對相關的題目題型進行解答的時候, 我們要學習從多個角度上看待問題, 尋找最為有效的解題方式。從換元法、觀察法、反函數法以及配方等相關的方式上入手, 進而在解題的過程中培養我們的邏輯思維能力, 并在此基礎上提升自己的解題效率。
摘要：數學是我們高中學習階段中最為關鍵的構成學科, 和初中數學相較, 高中數學中包含了很多我們更加值得深入研究的問題, 同時這些問題也伴隨著一定的難度。函數值域相關知識就是一項涵蓋知識面較廣的問題, 在對其題型進行解答的時候需要從多個角度出發進行。本文就以實際題目為例子, 詳細闡述了函數值域問題的多種解題方式。
關鍵詞：高中數學,函數值域,解答方式
參考文獻
[1] 官艷平.淺談高中數學中求函數值域的方法[J].佳木斯職業學院學報, 2015 (10) .
函數值域范文第6篇
對此類函數值域問題的探討分兩種情況:
(1) 當mp>0時, 函數在其定義域內為單調函數可根據單調函數性質直接求值域, 本文不再贅述.
(2) 當mp<0時, 下面用多種方法進行探究:
題目:求函數的值域.
解法1: (利用導數求值域)
由題意知x∈〔1, 5〕, y>0.則
令y′=0, 得x= (127) / (27) .
當x∈〔1, (127) / (27) ) 時, y′>0, 原函數y單調遞增;
當x∈ ( (127) / (27) , 5〕時, y′<0, 原函數y單調遞減.
且當x= (127) / (27) 時, ymax=6 31/2;
當x=1時, y=2 21/2 ;當x=5時, y=10.
所以, 原函數的值域是〔2 21/2 , 6 31/2〕.
點評:導數是對函數性質的總結和拓展, 也是研究函數性質強有力的工具.運用導數解決函數的單調性、最大值和最小值問題, 不僅可以避開初等函數變形的難點, 使解法程序化, 變“巧法”為“通法”, 而且能優化解題策略、簡化運算, 體會導數的思想及其內涵.將極值點和端點的函數值進行比較即可得出函數的值域.
解法2: (利用三角變換求值域)
由于x∈〔1, 5〕, 不妨設x=4sin2t+1, t∈[0, π/2], 則
由t∈[0, π/2]得,
則原函數的值域是〔2 21/2 , 6 31/2〕.
點評:運用三角變換求函數值域, 涉及到化歸、轉換、類比等重要的數學思想.掌握這種解法, 不僅能加強知識的聯系, 鞏固基礎知識和基本技能, 還能提高數學思維能力和運算能力.當兩根號內自變量符號相反時, 函數的定義域為閉區間[x1, x2], 可令
x= x2-x1sin2t+x1, 且t∈[0, π/2], 原函數可化為
y=Asin (t±φ) 型的函數, 易得出函數的值域.
解法3: (利用方程根的判別式求值域)
由于x∈〔1, 5〕, y>0, 把原函數兩邊平方, 整理, 得
兩邊再平方, 整理得,
729x2-2 (23y2+945) x+y4+30y2+1225=0.
把y看為常數, 該方程有實根x的條件是
Δ= ( 23y2+945) 2-729 ( y4+30y2+1225) ≥0,
化簡, 得y4-108y2≤0, 考慮到y>0,
則0≤y≤6 31/22
由1知y2-23x+15≥0, 即
y= (23x-15) 1/2-在x∈〔1, 5〕是增函數,
則y≥ (23×1-15) 1/2=2 21/23
由23得, 原函數的值域是〔2 21/2, 6 31/2〕.
點評:應用方程根的判別式求某函數的值域, 在解題過程中常用到變形, 往往導致錯誤.因此, 用判別式求函數值域時, 要注意變形過程等價性, 并考慮原函數的定義域、判別式存在的條件和區間端點是否符合要求.此解法是把無理函數解析式兩次平方, 轉化成關于x的二次方程f x, 姨y姨=0. 通過方程有實數根, 判別式Δ≥0, 從而求得原函數的值域.
解法4: (利用換元法與根的判別式求值域)
由題意知x∈〔1, 5〕, y>0, 可令
即兩邊平方, 整理得
27t2-10yt+y2-8=0.
把y看作常數, 此方程有實根的條件是
Δ=100y2-4×27 (y2-8) ≥0, 化簡得y2≤108,
考慮到y>0.得0≤y≤6 31/2 ,
又因t∈[0, 2], 故y=5t+ ( 8-2t2) 1/2≥81/2 =2 21/2 ,
則原函數的值域為〔2 21/2 , 6 31/2 〕.
點評:換元法是一種具有代表性的科學的轉化思想, 在中學數學中具有廣泛的應用, 其實質就是用新的變量替換原來的變量, 把未知轉化為已知, 使問題得以解決.此解法先換元, 將原函數轉化為比較簡單熟悉的函數, 再用根的判別式求值域, 避免了復雜的計算, 簡約了思維的過程.
解法5: (利用數形結合的方法求值域)
根據題意得函數的定義域為〔1, 5〕,
令v=5 (x-1) 1/2 ,
u= ( 10-2x) 1/2 , 消去x得2v2 +25u2 =200.
由x∈[1, 5]得,
0≤v≤10, 0≤u≤2 21/2 . 問題轉化為求橢圓2v2 +25u2 =200 (0≤v≤10, 0≤u≤2 21/2 ) 弧上一點, 且斜率為-1的直線系u=-v+y在u軸上的截距y的范圍問題, 如圖1所示.
當直線l過點A (0, 2 21/2 ) 時, 截距ymin=2 21/2 ;
當直線l與橢圓弧相切時, 截距y最大.
由2v2 +25u2 =200和u=-v+y消去v, 整理, 得
27u2 -50yu+25 ( y2 -8 ) =0,
Δ= (-50y) 2 -4×27×25 (y2 -8) =0.
解得y2 2=108, 又y>0, 則ymax=6 31/2 .
所以原函數的值域為〔2 21/2 , 6 31/2 〕.
點評:數形結合的思想就是把抽象嚴謹的數學語言、數量關系與直觀表意的幾何圖形、位置關系結合起來, 使抽象的問題形象化, 從而給我們以形象思維的啟示.通過對函數解析式轉化, 以直線系u=±v+y在u軸上的截距y來考查函數極值, 是解決一些比較復雜的無理函數值域問題的有效方法.
解法6: (利用向量法求值域)
則m2 +n2 =4, 如圖2所示,
向量q的終點 (m, n) 在以原點為圓心, 2為半徑的1/4圓弧上,
則兩向量 的夾角則
當cosθ=1時, p∥q且方向相同, 則
, 向量不等式取等號,
解之得x= (127) / (27) , 此時ymax=6 31/2 .所以原函數的值域為〔2 21/2 , 6 31/2 〕.
點評:向量溝通了代數、幾何與三角函數之間的關系, 巧妙地運用向量知識求無理函數值域, 不僅方法新穎, 過程直觀, 而且操作簡便, 易于理解, 是啟迪思維的有效途徑之一.應用向量求函數值域, 關鍵是構造適當的向量, 利用a·b= a·b cos a, 姨b姨≤a·b的性質, 并注意取“=”號成立的條件。
解法7: (利用線性規劃求值域)
原函數可化為
x∈〔1, 5〕, y>0.設
則m2 +n2 =4, m≥0, n≥0.且y=5m+ 21/2 n,
即m=-21/2/5n+y/5.畫出函數圖像, 如圖3所示.
由線性規劃知識可知 , 當取點 (2, 0) 時, 得
ymin=5×0+21/2×2=2 21/2 ;當直線
m=-21/2/5n+y/5與圓弧m2+n2=4 (m≥0, n≥0) 相切時, y取最大值, 則
考慮到y>0, 得ymax=2 (27) 1/2 =6 31/2 .所以原函數的值域為〔2 21/2 , 6 31/2〕.
點評:如果我們把線性規劃問題與函數值域問題相聯系, 把變化不定的已知條件看作約束條件, 把y=5m+ 21/2n當作目標函數, 那么可以利用線性規劃的知識來求解函數的值域問題.
解法8: (利用柯西不等式求值域)
函數的定義域為x∈〔1, 5〕,
當且僅當21/2× (-1) 1/2 =5× (5-x) 1/2時等號成立, 即當x= (127) / (27) 時, ymax=6 31/2 ;又原函數y在x∈〔1, (127) / (27) 〕內單調遞增, 所以當x=1時, ymin=2 21/2 .則原函數的值域為〔2 21/2 , 6 31/2〕.
點評:柯西不等式結構獨特、形式優美、應用廣泛.特別是在研究函數最值、證明不等式方面是一個強有力的工具.用這一方法求最值, 關鍵是要先對函數解析式進行變形, 使之滿足柯西不等式的條件和結構.
解法9: (利用均值不等式求值域)
解 (略)
所以, 原函數的取值范圍為〔2 21/2 , 6 31/2〕.
點評:均值不等式應用廣泛, 但要求滿足“正數、定值、相等”三個條件.此題通過巧妙地拆分、組合, 使根號內各項式子之和為常數, 符合均值不等式的形式.