歐姆定律極值問題范文第1篇
物理學中的極值問題就是融物理知識與數學知識為一體的一類典型問題.在物理狀態發生變化的過程中,某一個物理量的變化函數可能不是單調的,它可能有最大值或最小值,此類題綜合性較強,技巧性較高,難度較大的一類專題.
分析極值問題的思路有兩種:一種是物理學中,描述某一過程或者某一狀態的物理量,在其發展變化中,根據受到的物理規律和條件的約束、限制,其取值往往只能在一定的范圍內才符合物理問題的實際,求這些量的值的問題便可能涉及到要求物理量的極值,它采用的方法是物理分析法;另一種把物理問題轉化為數學問題,純粹從數學角度去討論或求解某一個物理函數的極值,它采用的方法也是點到直線的距離最短、兩數的幾何平均值小于或等于它們的算術平均值、二次函數求極值的方法、求導數、三角函數、幾何作圖法、有關圓的知識等數學方法.
一、物理極限分析法
物理極限分析法是把某個物理量推向極端,即極大和極小或極左和極右,并依此做出科學的推理分析,從而給出判斷或導出一般結論.極限法在進行某些物理過程的分析時,具有獨特作用,恰當應用極限法能提高解題效率,使問題化難為易,化繁為簡,思路靈活,判斷準確.因此要求解題者,不僅具有嚴謹的邏輯推理能力,而且具有豐富的想象能力,從而得到事半功倍的效果.例1如圖1所示,一質量為m的人,從長為l、質量為M的鐵板的一端勻加速跑向另一端,并在另一端驟然停止.鐵板和水平面間摩擦因數為μ,人和鐵板間摩擦因數為μ',且u'>>μ.這樣,人能使鐵板朝其跑動方向移動的最大距離L是多少?
解析:人驟然停止奔跑后,其原有動量轉化為與鐵板一起向前沖的動量,此后,地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力f,其加速度
由于鐵板移動的距離,故v'越大,L越大.v'是人與鐵板一起開始地運動的速度,因此人應以不會引起鐵板運動的最大加速度奔跑.
人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動時,人若達到最大加速度,則地面與鐵板之間的摩擦力達到最大靜摩擦μ(M+m)g,根據系統的牛頓第二定律得:
設v、v'分別是人奔跑結束及人和鐵板一起運動時的速度
并將a1、a2代入②式解得鐵板移動的最大距離
例2一系列相同的電阻R,如圖2所示連接,求AB間的等效電阻RAB.
解析:無窮網絡,增加或減小網絡的格數,其等效電阻不變,所以RAB跟從CD往右看的電阻是相等的.因此,有解得.
例3如圖3所示,一個U形導體框架,寬度L=1 m,其所在平面與水平面的夾角α=30°,其電阻可以忽略不計,設勻強磁場為U形框架的平面垂直,磁感應強度B=1 T,質量0.2 kg的導體棒電阻R=0.1Ω,跨放在U形框上,并且能無摩擦地滑動.求:
(1)導體棒ab下滑的最大速度vm;
(2)在最大速度vm時,ab上釋放出來的電功率.
解析:導體棒做變加速下滑,當合力為零時速度最大,以后保持勻速運動
(1)棒ab勻速下滑時,有
(2)速度最大時,ab釋放的電功率
二、數學求極值法
在求解物理極值過程中要想實際物理過程與數學知識進行靈活的結合,充分發揮數學的作用,往往要進行數學建模.數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程,對物理規律或物理概念的描述提供了最簡潔、最準確的表達方式,而且在內容上能表述得深刻、精確、簡捷.
利用數學解決實際物理問題的方框圖如圖4.
我們通過實例剖析,就解物理競賽題中的極值問題及極限思想的數學技巧作一簡要探討.
1. 利用二次函數極值公式求極值
對于典型的一元二次函數y=ax2+bx+c,(a≠0)
若a>0,則當時,y有極小值,為;
若a<0,則當時,y有極大值,為;
例4如圖5所示,在一水平面上有A、B、C三點,AB=L,∠CBA=θ,今有甲質點由A向B以速度v1做勻速運動,同時另一質點乙由B向C以速度v2做勻速運動,試求運動過程中兩質點間的最小距離?
解s:建立一平面直角坐標系,令其坐標原點與A點重合,x軸沿AB方向,取兩質點分別位于A、B兩位置時時刻t=0,則任一時刻t,甲質點的位置坐標為:乙質點的位置坐標為:
以r表示時刻t時甲、乙兩質點間的距離,則有:
當甲、乙兩者間的距離最小時,r2之值也為最小,由二次函數的極值公式可知:
此過程中甲、乙兩質點間的最小距離為:
2. 利用三角函數求極值
如果所求物理量表達式中含有三角函數,可利用三角函數的有界性求極值.若所求物理量表達式可化為“y=Asinαcosα”的形式,可變
為
當α=45°時,y有極值.
對于復雜的三角函數,例如y=asinθ+bcosθ,要求極值時,先需要把不同名的三角函數sinθ和cosθ,變成同名的三角函數,這個工作叫做“化一”.
因為
其中,故y的極大值為.
解析:水流做斜上拋運動,以噴口O為原點建立如圖所示的直角坐標,本題的任務就是水流能通過點A(d、h)的最小初速度和發射仰角.
根據平拋運動的規律,水流的運動方程為
把A點坐標(d、h)代入以上兩式,消去t,得:
3. 利用幾何法求極值
幾何法一般用于求極小值問題,其特點是簡單、直觀,把物體運動的較為復雜的極值問題,轉化為簡單的幾何問題去解,便于學生掌握.我們熟悉的運動合成分解中“小船過河”模型,當小船在靜水的速度大于水流速度求小船過河的最短位移時,我們巧用圓的切線求最小值,既簡便又使學生直觀易懂,就是一個典型的幾何求極值的例子.
例6如圖7(1)所示,船A從港口P出發去攔截正以速度v0沿直線航行的船B.P與B所在航線的垂直距離為a,A起航時與B船相距為6,b>a.如果略去A船起動時的加速過程,認為它一起航就勻速運動.則A船能攔截到B船的最小速率為多少?
分析與解:分析本題是兩個運動物體求它們之間的相對位置的問題.若以地球為參照系,兩個物體都運動,且運動方向不一致,它們之間的相對位置隨時間變化的關系比較復雜,一時不容易做出正確的判斷與解答.但如果把參照系建立在某一運動的物體上,(如B上)由于以誰為參照系,就認為誰不動,此題就簡化為一個物體,(如A)在此運動參照系的運動問題了.當然解一個物體的運動問題比解兩個物體都運動的問題自然容易多了.
以B為參照系,B不動,在此參照系中A將具有向左的分速度v0,如圖7(2)所示.在此參照系中A只要沿著PB方向就能攔截到B.應用“點到直線的距離以垂線為最短”的結論.過O點作PB的垂線,交PB于E點,OE即為A船對地的速度的最小值vAA,在△AOE中
因為vA=v0sinθ而
所以由于靈活運用了幾何知識,使較為復雜的問題,變為簡單的幾何問題了.
以上求極值的方法是解高中物理題的常用數學方法.在使用中,還要注意題目中的條件及“界”的范圍.求最大和最小值問題,這類問題往往是物理學公式結合必要的教學知識才得出結論,這就要求學生不僅理解掌握物理概念、規律,還要具備較好的運用數學解決問題的能力.解決極值問題的關鍵是扎實掌握高中物理的基本概念,基本規律,在分析清楚物理過程后,再靈活運用所學的數學知識.實際上高中物理極值是高考的熱點內容之一,涉及的知識廣,物理過程多,綜合性強,難度大,具有靈活的考查能力,能體現一個學生綜合運用知識進行思維分析、解決物理問題的能力.由于學生基礎知識不過硬,數學知識不扎實,從而不能靈活地進行知識遷移,加之求解方法上未能找出其一般規律,所以這類問題往往不能得心應手.
歐姆定律極值問題范文第2篇
在初等數學教學中,學生只學過一元函數的極值問題,對于多元的條件極值,由于難以理解其幾何意義而影響解題思路。如果應用幾何畫板軟件,把問題進行直觀表達,通過軟件的度量、函數、軌跡等功能動態地展現出幾何元素的位置關系、運行變化規律,把“數”的問題轉化為“形”的問題,化無形為有形,找到思維的依托,可以用求一元函數的極值問題的基本方法解決多元的條件極值問題提供思路。
1 表示條件
對于多元條件極值問題,首先要對約束條件進行直觀表達。把代數式轉化為幾何圖形,一般是把變量之間的關系式用線段關系表示出來。例如:在邊長為a的正三角形ABC中,設P、Q、R分別在BC、CA、AB上。設BP=x、CQ=y、AR=z且x+y+z=a。求△PQR面積S的最大值。對于約束條件x+y+z=a,用線段直觀表示出來的步驟如下。
(1)如圖1所示,任取一自由點,用“變換”→ “平移”命令,調出“平移”對話框,選極坐標平移變換,設定固定距離的值,設定固定角度為0,得到定長a的線段,設線段標簽為a。用點平移的辦法畫線段的目的在于對長度的精確控制。為方便起見固定距離a的值取3。
(2)在線段a上選取第一個自由點,再在第一個點與終點構造出來的線段上選取第二個自由點,這兩個點把線段分成了三段,利用“構造” →“線段”命令,依次把這三個線段構造出來,設三個線段的標簽分別為x、y、z。拖動第一個點,x、y、z的長度跟著變化,取得(0,a)上的所有值。
2 構造圖形
(1)任取一點B,選定B和線段a,利用“構造”→“以圓心和半徑作圓”命令,繪制邊長為a的正三角形ABC。
(2)分別以A、B、C為圓心,以x、y、z為半徑,依次在BC、CA、AB上截取P、Q、R三點,構造三角形PQR,如圖2所示。
3 觀測規律
(1)度量x、y、z的長和△PQR面積,如圖3所示。
(2)選取x、y、z的長和△PQR面積的度量值,利用“數據”→“制表”命令制表,如表1所示。
(3)選取x和△PQR面積,利用“繪圖” →“繪制點(x,y)”命令,在坐標系中繪制出一動點。
(4)選取該動點和線段a上的第一個點,利用“構造” → “軌跡”命令,得到S-x圖像,如圖4所示。
(5)拖動圖1中線段上的第一個點,第二個點跟著移動,圖2中的△PQR、圖3中x、y、z的長度、表1中的數據和圖4中的點也跟著變化。觀察表1中的數據和圖4中的點,△PQR面積達到最大值時,x、y、z的長度分別約為1,即在
事實上,將z=a-x-y代入:
所示在
4 結束語
用幾何畫板軟件對多元的條件極值問題進行實驗探索,對于理解問題和尋求解題思路有著積極的意義。解決問題的思路為:把約束條件的代數式轉化為幾何圖形,在此基礎上構造問題的幾何圖形,觀測問題的內在規律,尋求解決問題的思路。應用幾何畫板軟件探討多元的條件極值問題,關鍵是要想辦法把約束條件轉圖形化。
參考文獻
[1]劉同軍.幾何畫板在數學教學中的應用[M].山東:中國石油大學出版社,2005:171-173.
[2]王波.用“幾何畫板”的軌跡功能探討數學問題的解法[J].數學通報,2008(11):19-22.
歐姆定律極值問題范文第3篇
在機械加工工序設計中確定工序尺寸及公差時,經常會遇到工序基準或測量基準等與設計基準不重合的情況,此時工序尺寸的求解需要借助尺寸鏈,而應用最為廣泛的極值法計算工序尺寸時常常會出現一些問題:(1)通過尺寸換算間接保證封閉環的要求,必須要提高組成環的加工精度。(2)縮小組成環的尺寸公差,使其加工更困難,測量工具也要更精密。(3)用換算后的工序尺寸間接保證原設計尺寸要求時,存在“假廢品”的問題。
2 極值法計算工序尺寸
如圖1所示的軸承碗,圖中標注的設計尺寸L0在加工時不便直接測量。此時可按如下工藝獲得L0:先按尺寸L1的要求車出端面L,然后以L面為測量基準控制尺寸X,間接獲得尺寸L0。
下面分三種情況進行討論,分別求解車內孔端面C的尺寸X及其公差。
(1)第1種情況:L0=50±0.08mm,L1=200-0.13mm
作出尺寸鏈,如圖2所示。其中,L0是封閉環,X是增環,L1是減環。
X值求解如下:
(a)求基本尺寸X:
(b)求上偏差ES(X):
(c)求下偏差EI(X):
(d)校驗計算結果:
各組成環公差之和等于封閉環的公差,計算無誤。
最后求得X=70-0-0..0805mm(如圖3)。
(2)第2種情況:L0=50±0.08mm,L1=200-0.16mm
組成環L1的公差和封閉環L0的公差相等,此時X的公差為零,故必須壓縮尺寸L1的公差,以使尺寸X獲得規定的公差。確定被調整的尺寸公差的大小可采用經驗法、等公差級法。
3 極值法計算工序尺寸時出現的問題
3.1 縮小了尺寸公差,使加工更困難
從上面第1種情況來看,設計尺寸L1、L0的尺寸公差等級是IT11級,經過換算后得到的工序尺寸X=70-0.05-0.08,此時零件工藝尺寸鏈各環的公差帶如圖4,這時尺寸X的公差為0.03mm,公差等級為IT7級精度,從而增加了加工的難度。
3.2 用換算后的工序尺寸間接保證原設計尺寸時存在“假廢品”的問題
例如:當按圖3的尺寸鏈所解算的尺寸X=70-0-0..0805mm進行加工時,若某一個零件加工后的實際尺寸為X=70mm,與工序尺寸相比,其尺寸的上限超差0.05mm,從工序上看此件報廢。但是,當零件的實際尺寸L1=20mm時,封閉環的尺寸L0=(70-20)=50mm,仍然符合設計尺寸50±0.08mm的要求。這種現象就是“假廢品”。
出現這種假廢品現象有兩個方面的原因:
(1)用極值解法計算工藝尺寸鏈時,假設各組成環均是處在極限尺寸狀態。根據尺寸鏈原理,封閉環的公差應等于各組成環公差之和,即:
式中:TLi-組成環公差;TLO-封閉環公差;n-組成環公差。
從上式可以看出,當封閉環公差已定,各組成環分得的公差很小,如果組成環數較多時更為突出。
如果封閉環公差已定,欲求某一組成環公差,則:
式中:TX為某一組成環公差。
上例中,換算尺寸X時,其公差為:TX=0.16-0.13=0.03mm。公差帶如圖4。此時尺寸X公差很小,雖然是可靠,但是太保守。
而實際生產制造時在正常情況下,一批零件加工后各環同時出現極限尺寸的可能性不大,特別是在組成環數較多的尺寸鏈中,所有各環均出現極限尺寸的可能性更小,大多數是處在中間尺寸或接近中間尺寸。
(2)在尺寸鏈換算時,尺寸X在工藝尺寸鏈和設計尺寸鏈中的性質是不一樣的,圖1中尺寸L1、L0為設計尺寸,在由此構成的設計尺寸鏈中,X是間接得到的為封閉環,尺寸L1、L0為組成環,此時尺寸X的上下偏差為:
其公差為:T′X=TL1+TL0=0.29
零件設計尺寸鏈各環公差帶如圖5。
而在圖2中,L0的實際尺寸是最后間接得到的,是封閉環,X是組成環,其公差為TX=0.03mm,可見TX
所以,用極值法來計算工藝尺寸,假廢品現象是始終存在的,確定假廢品的方法如下:
現在將在設計尺寸鏈中封閉環X′=70+0.08-0.21(見圖5),與工藝尺寸鏈中組成環X=70-0.05-0.08mm(見圖4)兩種情況的公差帶疊加,如圖6,公差帶就被分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區域。
在圖6中,區域Ⅰ是合格品區、區域Ⅱ和Ⅲ是假廢品區。若加工后的工序尺寸X在區域Ⅰ內,尺寸L0肯定滿足設計尺寸的要求;若工序尺寸X在假廢品區Ⅱ和Ⅲ內,就必須測量其它組成環的實際尺寸,再計算尺寸L0的實際尺寸,檢驗是否合格;若工序尺寸X超出假廢品區肯定是廢品,不再復測其它組成環的實際尺寸。
3.3 當組成環公差與封閉環公差相等時出現計算與實際矛盾的問題
當組成環L1的公差和封閉環L0的公差相等,此時用極值法計算X的公差為零,這時尺寸X=70-0-0..0808,加工時滿足這一尺寸是不可能的。但是,在實際加工時,先加工尺寸L1在200-0.16內一個定值時,尺寸X值是有一個公差范圍的。例如:當實際尺寸L1=19.9mm時,尺寸X=69.9±0.08mm,其公差為0.16mm;當L1的尺寸在200-0.16內一個任意值20-△時,尺寸X=(70-△)±0.08mm。此情況可采用“一對一”的加工辦法,這時組成環就有一個公差范圍了。
4 結語
(1)通過尺寸換算間接保證封閉環的要求,必須要縮小組成環的尺寸公差,提高組成環的加工精度,使其加工更困難,測量工具也要更精密。
(2)用換算后的工序尺寸間接保證原設計尺寸時,存在“假廢品”的問題。假廢品的范圍就是用極值法求出設計尺寸鏈中封閉環的極限偏差,兩個極限偏差就是假廢品區公差帶的上、下兩個極限值,其中包括合格品區和假廢品區。
(3)當給出的設計尺寸公差不合理時,換算后的工序尺寸的公差可能為零或是負,就不能用極值法計算了,只能采用“一對一”的尺寸加工辦法。
摘要：在機械加工工序設計中確定工序尺寸及公差時,經常會遇到工序基準或測量基準等與設計基準不重合的情況,此時工序尺寸的求解需要借助尺寸鏈。而應用最為廣泛的極值法計算工序尺寸時,常常會出現一些問題,這些問題會使加工更困難,測量工具要更精密,也可能要增加量具的品種,甚至于出現假廢品現象。這種工序尺寸計算合理正確與否,關系到產品的質量穩定、企業的經濟效益,對提高產品質量,降低產品成本都有著很現實的意義。
關鍵詞：極值法,工藝尺寸鏈,實際尺寸,極限尺寸,尺寸精度,假廢品
參考文獻
[1]龔雯,陳則鈞.機械制造技術[M].北京:高等教育出版社,2008.
歐姆定律極值問題范文第4篇
關鍵詞：普高,導數,單調性,極值
導數的引入,為函數的研究與應用提供了有效的工具,把對函數的學習提高到一個新的層次.近年來,對應用導數研究函數性質的考查已成為高考的熱點和重點.就近幾年江蘇高考而言,對導數的考查十分重視,難度保持在中等以上,考試中有時甚至會涉及一些文字型應用題,在數學思想上也有很強的體現,涉及的知識點和分值也頗多,如2012年第18題考查數學建模后利用導數研究函數的極值,2013年第20題考查利用導數研究函數的性質,2014年第11、19題考查導數的幾何意義以及利用導數來研究函數的單調性等,這類問題看似簡單,但從實際教學和檢測中,有些學生由于對概念的理解不夠準確或受到某些知識或方法的負遷移,在解答有關問題時,常會陷入誤區,從而導致會而不對、對而不全.本文筆者就日常教學中學生解題中出現的幾類典型錯誤進行扼要分析.
一、混淆兩類切線的概念
利用導數的幾何意義處理曲線的切線問題是考查導數時常見題型,在此類問題中的重點和關鍵是抓住“切點”,充分利用“切點”的三個作用:①切點在曲線上;②切點在切線上;③切點的橫坐標的導數值等于切線的斜率.在此類問題中有一個易錯點即“在某點處的切線”與“過某點處的切線”的區別,其實質就是已知點是否一定為切點.
例1求過點(1,-1)且與曲線y=x3-2x相切的直線方程.
錯解因為點(1,-1)在曲線上,所以切點為(1,-1),又y'=3x2-2,故切線的斜率為k=1,因此切線方程為x-y-2=0.很顯然學生誤認為過某點的切線即為在該點的切線.曲線在“點P處的切線”意味著“P為切點且P在曲線上”,而“過點P的切線”僅能說明“點P在曲線的切線上”.
正解在處理這類問題時往往會出現兩個關鍵詞“在”與“過”,很容易區別不清,從而陷入誤區,實際上兩者形似而質異,處理切線問題一定要緊緊抓住“切點”,充分利用“切點”的作用解題,這是一個基本的原則.本題正解應為:設切點為(x0,x03-2x0),因為y'=3x2-2,所以切線的斜率為k=3x02-2,進而寫出切線方程,利用點(1,-1)在曲線上,求出切點坐標,切線方程也不難得出為x-y-2=0或5x+4y-1=0.
二、誤用單調函數的充要條件
三、忽視極值存在條件
利用導數研究函數的極值,已成為現在高考的熱點,解決此類問題分為三步:①求定義域及導函數f'(x);②求方程f'(x)=0的根;③檢驗f'(x0)在方程f'(x)=0的根的左右兩邊的符號,如果左正右負,那么f(x)=0在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么f(x)=0在這個根處取得極小值.
結束語
導數是高中數學知識的一個重要交匯點,是聯系多個章節內容及解決相關問題的重要工具,它常與方程、不等式等內容交叉滲透、自然交匯,方法貌似固定,但學生常會陷入誤區,從而導致會而不對、對而不全,本文僅列舉了幾類典型錯誤,有關導數的題型千變萬化,日常教學和復習中,我們要強化學生的分析問題、解決問題的能力,領會應用函數和導數解決具體問題的思想方法,并將知識融會貫通.
參考文獻
[1]南方清平.高考總復習南方鳳凰臺一輪復習導學案[Z].南京:江蘇鳳凰教育出版社,2016.
[2]王朝銀.創新設計高考總復習數學[M].陜西:陜西人民出版社,2017.
歐姆定律極值問題范文第5篇
(1) 會計算天體的質量. (2) 會計算人造衛星的環繞速度. (3) 知道第二宇宙速度和第三宇宙速度. 2. 過程與方法
(1) 通過自主思考和討論與交流，認識計算天體質量的思路和方法
(2) 預測未知天體是萬有引力定律最輝煌的成就之一.引導學生讓學生經歷科學探究的過程，體會科學探究需要極大的毅力和勇氣. (3) 通過對海王星發現過程的了解，體會科學理論對未知世界探索的指導作用. (4) 由牛頓曾設想的人造衛星原理圖，結合萬有引力定律和勻速圓周運動的知識推出第一宇宙速度. (5) 從衛星要擺脫地球或太陽的引力而需要更大的發射速度出發，引出第二宇宙速度和第三宇宙速度. 3. 情感、態度與價值觀
(1) 體會和認識發現萬有引力定律的重要意義. (2) 體會科學定律對人類探索未知世界的作用. 【教材分析】
這節課通過對一些天體運動的實例分析，使學生了解：通常物體之間的萬有引力很小，常常覺察不出來，但在天體運動中，由于天體的質量很大，萬有引力將起決定性作用，對天 體質量的計算，對天文學的發展起了方大的推動作用，其中一個重要的應用就是計算天體的質量. 在講課時，應用萬有引力定律有三條思路要交待清楚。
1.從天體質量的計算，是發現海王星的成功事例，注意對學生研究問題的方法教育，即提出問題，然后猜想與假設，接著制定計劃，應按計劃計算出結果，最后將計算結果同實際結合對照....直到使問題得到解決. 2.把天體(或衛星)的運動看成是勻速圓周運動，即F引=F向，用于計算天體(中心體)的質量，討論衛星的速度、角速度、周期及半徑等問題。
3.在地面附近把萬有引力看成物體的重力，即F引=mg.主要用于計算涉及重力加速 的問題。 【教學重點】
1. 人造衛星、月球繞地球的運動;行星繞太陽的運動的向心力是由萬有引力提供的 2. 會用已知條件求中心天體的質量 【教學難點】
根據已有條件求天體的質量和人造衛星的應用. 【教學過程及師生互動分析】
自從卡文迪許測出了萬有引力常量，萬有引力定律就對天文學的發展起了很大的推動作用，這節課我們來學習萬有引力定律在天文學上的應用. (一) 天體質量的計算
提出問題引導學生思考：在天文學上，天體的質量無法直接測量，能否利用萬有引定 律和前面學過的知識找到計算天體質量的方法呢?
1.基本思路：在研究天體的運動問題中，我們近似地把一個天體繞另一個天體的運動 看作勻速圓周運動，萬有引力提供天體作圓周運動的向心力. 2.計算表達式：
例如：已知某一行星到太陽的距離為r，公轉周期為T，太陽質量為多少?
分析：設太陽質量為M，行星質量為m，由萬有引力提供行星公轉的向心力得：
， ∴
提出問題引導學生思考：如何計算地球的質量?學生討論后自己解決
分析：應選定一顆繞地球轉動的衛星，測定衛星的軌道半徑和周期，利用上式求出地球質量。因此上式是用測定環繞天體的軌道半徑和周期方法測被環繞天體的質量，不能測環 繞天體自身質量. 對于一個天體，M是一個定值.所以，繞太陽做圓周運動的行星都有第三定律。
.即開普勒老師總結：應用萬有引力定律計算天體質量的基本思路是：根據行星(或衛星)運動的情況，求出行星(或衛星)的向心力，而F向=F萬有引力。根據這個關系列方程即可.
(二)預測未知天體：利用教材和動畫模型，講述自1781年天王星的發現后，人們發現天王星的實際軌道與由萬有引力定律計算出的理論軌道存在較大的誤差，進而提出猜想...然后收集證據提出問題的焦點所在---還有一顆未知的行星影響了天王星的運行，最后亞當斯和勒維烈爭得在計算出來的位置上發現了海王星. (此部分內容，讓學生看教材看動畫，然后學生暢所欲言，也可以讓學生課后找資料寫一個科普小論文，闡述一下科學的研究方法. 三)人造衛星和宇宙速度 人造衛星：
問題一：1.有1kg的物體在北京的重力大還是在上海的重力大?
問題二：衛星為什么不會掉下來呢?
問題三：
1、地球在作什么運動?人造地球衛星在作什么運動?
通過展示圖片為學生建立清晰的圖景.
2、作勻速圓周運動的向心力是誰提供的?
回答：地球與衛星間的萬有引力即由牛頓第二定律得：
3、由以上可求出什么?
①衛星繞地球的線速度：
②衛星繞地球的周期：
③衛星繞地球的角速度：
教師可帶領學生分析上面的公式得：
當軌道半徑不變時，則衛星的周期不變、衛星的線速度不變、衛星的角速度也不變.
當衛星的角速度不變時，則衛星的軌道半徑不變. 宇宙速度：當衛星軌道最低—貼近地球表面運動的時候呢?
上式中將R替換r，即可得到第一宇宙速度. 注意:讓學生親自計算一下第一宇宙速度的大小，并幫助學生分析出來，第一宇宙速度就是最大的運行速度和最小的發射速度. 引出第二宇宙速度和第三宇宙速度.指明應用的狀況. 【課堂例題及練習】
例1.木星的一個衛星運行一周需要時間1.5×104s，其軌道半徑為9.2×107m，求木星的質量為多少千克?
解：木星對衛星的萬有引力提供衛星公轉的向心力：
，
例2.地球繞太陽公轉，軌道半徑為R，周期為T。月球繞地球運行軌道半徑為r，周
期為t，則太陽與地球質量之比為多少?
解：⑴地球繞太陽公轉，太陽對地球的引力提供向心力
則， 得：
⑵月球繞地球公轉，地球對月球的引力提供向心力 則 ,得：
⑶太陽與地球的質量之比
例3.一探空箭進入繞太陽的近乎圓形的軌道運行，軌道半徑是地球繞太陽公轉半徑的9倍，則探空火箭使太陽公轉周期為多少年?
解：方法一：設火箭質量為m1，軌道半徑R，太陽質量為M，地球質量為m2，軌道半
徑為r.
⑴火箭繞太陽公轉， 則
得：………………①
⑵地球繞太陽公轉，
則
得：………………②
∴ ∴火箭的公轉周期為27年.
方法二：要題可直接采用開普勒第三定律求解，更為方便. 【課后作業及練習】
1. 已知月球到地球的球心距離為r=4×10m,月亮繞地球運行的周期為30天，求地球 的質量.
82.將一物體掛在一彈簧秤上，在地球表面某處伸長30mm,而在月球表面某處伸長5mm.如果在地球表面該處的重力加速度為9.84 m/s,那么月球表面測量處相應的重力加速度為
A.1.64 m/s2
B.3.28 m/s2
C.4.92 m/s
D.6.56 m/s
2
2
歐姆定律極值問題范文第6篇
關鍵詞：萬有引力,公式,疑難問題
一、萬有引力題目常用公式1.開普勒行星運動第三定律。
2.萬有引力定律公式。
在地面附近重力近似等于萬有引力情況下的公式：mg=，可推得：g=，它可用于題目中隱含重力加速度的問題;GM=gR2可用于題目中G、M未知時代換未知量。
二、萬有引力疑難問題
1.萬有引力與向心力、重力之間的關系。
(1)物體在地面上
物體在地球表面上時受地球的萬有引力。重力和物體隨地球運動的向心力都是萬有引力的分力。
一般認為地球是一個均勻球體，則F引→大小不變，隨緯度的升高，向心力減小，重力增大;在極點處，向心力變為零，萬有引力等于重力;在赤道處向心力達到最大。
例1.在赤道上有一物體，質量為100kg。分別求此物體的萬有引力、向心力與重力。(地球質量M=6×1024kg，萬有引力恒量G=6.67×10-11N·m2/kg2，地球周期24h，地球半徑6370km)
可見物體在地球表面所受向心力遠小于重力，如題目中特別強調極地與赤道上重力大小的差別，此時要考慮到向心力的問題。一般情況下，題目如無特別強調，則認為地面上和地表附近物體的重力等于萬有引力。
例2.一物體在地球表面重16N，它在以5m/s2加速度加速上升的火箭中的視重為9N，則此火箭離地球表面的距離為地球半徑的(%%)。
A.2倍B.3倍C.4倍D.一半
答案：B
(2)物體在太空中繞地球運動時
物體在太空中繞地球作勻速圓周運動，萬有引力作為向心力。此時已不存在重力，故人造衛星中的物體處于完成失重狀態，其視重為0。
例3.行星A和行星B都是均勻球體，A與B的質量比為2∶1, A與B的半徑比為1∶2，行星A的衛星a沿圓軌道運行的周期為Ta，行星B的衛星b沿圓軌道運行的周期為Tb，兩衛星軌道都非常接近各自的行星表面，則它們運動周期比Ta∶Tb為(%%)。
A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.4∶1
答案：A
(3)特殊情況
(1) 天體自轉很快時的情況(我們主要研究赤道上物體的受力情況)
天體自轉很快時(可以是角速度較快，也可以是因為天體半徑較大而引起的線速度較快)，赤道上物體隨天體一起運動所需的向心力也較大。因為F引→=→G+F向→，萬有引力大小不變，而向心力較大，則重力相對變小。當天體自轉達到一定速度時，重力減為零，萬有引力全部用來提供向心力，赤道上物體處于完全失重狀態。如果天體自轉速度再加快，則萬有引力無法提供這么大向心力，天體表面物體會被甩出去，天體就會崩潰。
例4.設想有一宇航員在某行星的極地上著陸時，發現在物體在當地的重力是同一物體在地球上重力的0.01倍，而該行星一晝夜的時間與地球相同，物體在它赤道上時恰好完全失重，若存在這樣的星球，它半徑R應為多大?
解：設該星球的質量為M，半徑為R，則有GMm/R2=mg星=0.01mg (1)
物體在星球的赤道上完全失重，則萬有引力恰好提供隨其自轉的向心力，即有GMm/R2=m·4π2·R/T2 (2)
由 (1) (2) 得R=0.01gT2/4π2,
將g=9.8m/s2, T=24h代入解得：R=1.9×107m。
(2) 近地面衛星第一宇宙速度的另一種計算方法
當衛星在很靠近地面運行時，萬有引力充當向心力。但因為衛星離地面很近，而且萬有引力與重力的計算值相差很小，可近似認為向心力等于mg。